2010年高考分类汇编-立体几何答案.doc

12999 数学网 1 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 立体几何立体几何 2010 浙江理数 浙江理数 6 设 是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是lm A 若 则 B 若 则lm m l l lm m C 若 则 D 若 则l m lm l m lm 解析 选 B 可对选项进行逐个检查 本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其 中的公理和判定定理 也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察 属中档题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 11 与正方体 1111 ABCDABC D 的三条棱AB 1 CC 11 AD所在 直线的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 答案 D 解析 直线上取一点 分别作垂直于于则 分别作 垂足分别为 M N Q 连 PM PN PQ 由三垂线 定理可得 PN PM PQ AB 由于正方体中各个表面 对等角全等 所以 PM PN PQ 即 P 到三条棱 AB CC1 A1D1 所在直线的 距离相等所以有无穷多点满足条件 故选 D 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 9 已知正四棱锥SABCD 中 2 3SA 那么当该棱锥的体积 最大时 它的高为 A 1 B 3 C 2 D 3 答案 C 命题意图 本试题主要考察椎体的体积 考察告辞函数的最值问题 解析 设底面边长为 a 则高所以体积 12999 数学网 2 设 则 当 y 取最值时 解得 a 0 或 a 4 时 体积最大 此时 故选 C 2010 陕西文数 陕西文数 8 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几何 体的体积是 B A 2 B 1 C D 2 3 1 3 解析 本题考查立体图形三视图及体积公式 如图 该立体图形为直三棱柱 所以其体积为1221 2 1 20102010 辽宁文数 辽宁文数 11 已知是球表面上的点 S A B CO 则球的表面积等于SAABC 平面ABBC 1SAAB 2BC O A 4 B 3 C 2 D 解析 选 A 由已知 球的直径为 表面积为O22RSC 2 44 R 2010 辽宁理数 辽宁理数 12 12 有四根长都为 2 的直铁条 若再选两根长都为 a 的直铁条 使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a 的取值范围是 A 0 B 1 62 2 2 C D 0 62 62 2 2 答案 A 命题立意 本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力 解析 根据条件 四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架 有以下两种情况 1 地面是边长为 2 的正三角形 三条侧棱长为 2 a a 如图 此时 a 可以取最大值 可知 AD SD 则有 2 即3 2 1a 2 1a 3 即有 a0 综上分析可知 a 0 62 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 11 与正方体 ABCD A1B1C1D1的三条棱 AB CC1 A1D1所在直线的 距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 解析解析 D D 本题考查了空间想象能力 本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴 以正方体边长为半径的圆柱面上 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴 以正方体边长为半径的圆柱面上 三个圆柱面有无数个交点 三个圆柱面有无数个交点 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 8 已知三棱锥中 底面为边长等于 2 的等边三角形 SABC ABC 垂直于底面 3 那么直线与平面所成角的正弦值为SAABCSAABSBC A B 3 4 5 4 C D 7 4 3 4 解析解析 D D 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E 连结 连结 SESE 过 过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交 SESE 于于 F F 连 连 BFBF 正三角形正三角形 ABCABC E E 为为 BCBC 中点 中点 BC AEBC AE SA BCSA BC BC BC 面面 SAESAE BC AFBC AF AF SEAF SE AF AF 面面 SBCSBC ABF ABF 为直线为直线 ABAB 与面与面 SBCSBC 所成角 由正三角形边长所成角 由正三角形边长 3 3 AS 3AS 3 SE SE AF AF 3AE 2 3 3 2 3 sin 4 ABF 20102010 江西理数 江西理数 10 过正方体的顶点 A 作直线 1111 ABCDABC D L 使 L 与棱 所成的角都相等 这样的直线 L 可以作AB AD 1 AA A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 D A B C S E F 12999 数学网 4 解析 考查空间感和线线夹角的计算和判断 重点考查学生分类 划归转化的能力 第一 类 通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1 第二类 在图形外部和每条棱的外 角和另 2 条棱夹角相等 有 3 条 合计 4 条 2010 安徽文数 安徽文数 9 一个几何体的三视图如图 该几 何体的表面积是 A 372 B 360 C 292 D 280 9 B 解析 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等 于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和 2 10 8 10 28 2 2 6 88 2 360S 方法技巧 把三视图转化为直观图是解决问题的关键 又三视图很容易知道是两个长方体的 组合体 画出直观图 得出各个棱的长度 把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上 面长方体的 4 个侧面积之和 2010 重庆文数 9 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 A 只有 1 个 B 恰有 3 个 C 恰有 4 个 D 有无穷多个 解析 放在正方体中研究 显然 线段 EF FG GH 1 OO HE 的中点到两垂直异面直线 AB CD 的距离都相等 所以排除 A B C 选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB CD 的距离相等 2010 浙江文数 浙江文数 8 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 A cm3 352 3 B cm3 320 3 C cm3 224 3 D cm3 160 3 解析 选 B 本题主要考察了对三视图所表达示的空 间几何体的识别以及几何体体积的计算 属容易题 2010 山东文数 山东文数 4 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 12999 数学网 5 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 20102010 北京文数 北京文数 8 如图 正方体的棱长 1111 ABCD A B C D 为 2 动点 E F 在棱上 点 Q 是 CD 的中点 动点 11 A B P 在棱 AD 上 若 EF 1 DP x E y x y 大于零 1 A 则三棱锥 P EFQ 的体积 A 与 x y 都有关 B 与 x y 都无关 C 与 x 有关 与 y 无关 D 与 y 有关 与 x 无关 答案 C 20102010 北京文数 北京文数 5 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的 正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该 集合体的俯视图为 答案 C 20102010 北京理数 北京理数 8 如图 正方体 ABCD 的棱长为 1111 ABC D 2 动点 E F 在棱上 动点 P Q 分别在棱 AD CD 上 11 AB 若 EF 1 E x DQ y D 大于零 则四 1 A 面体 PE 的体积 与 都有关 与 有关 与 无关 12999 数学网 6 B C D A N M O 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 答案 D 20102010 北京理数 北京理数 3 一个长方体去掉一个小长方体 所得几 何体的正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该几何 体的俯视图为 答案 C 2010 四川理数 四川理数 11 半径为的球的直径垂直于平面 垂足为 ROAB B 是平面内边长为的正三角形 线段 分别BCDA RACAD 与球面交于点 M N 那么 M N 两点间的球面距离是 A B w w w k s 5 u c o m 17 arccos 25 R 18 arccos 25 R C D 1 3 R 4 15 R 解析 由已知 AB 2R BC R 故 tan BAC w w w k s 5 u c o m 1 2 cos BAC 2 5 5 连结 OM 则 OAM 为等腰三角形 AM 2AOcos BAC 同理 AN 且 MN CD w w w k s 5 u c o m 4 5 5 R 4 5 5 R 而 AC R CD R5 故 MN CD AN AC w w w k s 5 u c o m 12999 数学网 7 MN 4 5 R 连结 OM ON 有 OM ON R 于是 cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON A 所以 M N 两点间的球面距离是 w w w k s 5 u c o m 17 arccos 25 R 答案 A 2010 广东理数 广东理数 6 如图 1 ABC 为三角形 平面 ABC 且 3 AA BB CC CC AB 则多面体 ABC 的正视图 也称主视图 是 AA 3 2 BB CC A B C 6 D 20102010 广东文数 广东文数 20102010 福建文数 福建文数 3 若一个底面是正三角形的三棱柱 的正视图如图所示 则其侧面积等于 A B 2 3 C D 62 3 12999 数学网 8 A B C D A1 B1 C1 D1 O 答案 D 解析 由正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 所以底面积为 侧面积为 选 D 3 242 3 4 3 2 16 命题意图 本题考查立体几何中的三视图 考查同学们识图的能力 空间想象能力等基本 能力 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 12 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为 则有h 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 22 max 2 212 3h max 4 3 3 V 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 9 正方体 中 与平面所成角的余弦值ABCD 1111 ABC D 1 BB 1 ACD 为 A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 9 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的 求法 利用等体积转化求出 D 到平面 AC的距离是解决本题的关键所在 这也是转化思想的 1 D 具体体现 解析 1 因为 BB1 DD1 所以B与平面 AC所成角和DD1与 1 B 1 D 平面 AC所成角相等 设 DO 平面AC 由等体积法得 1 D 1 D 即 设 DD1 a 11 D ACDDACD VV 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 则 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 12999 数学网 9 所以 记 DD1与平面 AC所成角为 则 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 1 D 所以 1 3 sin 3 DO DD 6 cos 3 解析 2 设上下底面的中心分别为 与平面AC所成角就是B与平面AC 1 OO 1 O O 1 D 1 B 所成角 1 D 1 11 1 36 cos1 32 OO OOD OD 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 6 直三棱柱中 若 111 ABCA BC 90BAC 则异面直线 1 ABACAA 与所成的角等于 1 BA 1 AC A 30 B 45 C 60 D 90 6 C 命题意图 本小题主要考查直三棱柱的性质 异面直线所成的角 异面 111 ABCA BC 直线所成的角的求法 解析 延长 CA 到 D 使得 则为平行四边形 就是异面直线ADAC 11 ADAC 1 DAB 与所成的角 又三角形为等边三角形 1 BA 1 AC 1 ADB 0 1 60DAB 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 7 正方体 ABCD 中 B与平面AC所成角的余弦值为 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 12999 数学网 10 2010 四川文数 四川文数 12 半径为的球的直径垂直于平面 垂足为 ROABaB 是平面内边长为的正三角形 线段 BCD aRAC 分别与球面交于点 那么 两点间ADMNMN 的球面距离是高 考 资 源 网 A B 17 arccos 25 R 18 arccos 25 R C D 1 3 R 4 15 R 解析 由已知 AB 2R BC R 故 tan BAC 1 2 cos BAC w w w k s5 u c o m 2 5 5 连结 OM 则 OAM 为等腰三角形 AM 2AOcos BAC 同理 AN 且 MN CD 4 5 5 R 4 5 5 R 而 AC R CD R5 故 MN CD AN AC MN 4 5 R 连结 OM ON 有 OM ON R 于是 cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON A 所以 M N 两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 答案 A 2010 湖北文数 湖北文数 4 用 表示三条不同的直线 表示平面 给出下列命题 abcy 若 则 若 则 abbcacabbcac 若 则 若 则 aybyabaybyab A B C D 12999 数学网 11 20102010 山东理数 山东理数 3 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 解析 由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案 命题意图 考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质 属基础题 1 2010 安徽理数 8 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积为 A 280B 292C 360D 372 8 C 解析 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等于下面长方体的 全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和 2 10 8 10 28 2 2 6 88 2 360S 方法技巧 把三视图转化为直观图是解决问题的关键 又三视图很容易 知道是两个长方体的组合体 画出直观图 得出各个棱的长度 把几何体 的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和 2 20102010 福建理数 福建理数 12999 数学网 12 所以 故 所以选项 A C 正确 因为平面 EHFGEHFG 11 BC 11 AD 11 ABB A 所以平面 又平面 故 所以选EH 11 ADEH 11 ABB AEF 11 ABB AEH EF 项 B 也正确 故选 D 命题意图 本题考查空间中直线与平面平行 垂直的判定与性质 考查同学们的空间想象 能力和逻辑推理能力 2010 上海文数 上海文数 6 已知四棱椎的底面是边长为 6 的正方形 侧棱底面PABCD PA 且 则该四棱椎的体积是 96 ABCD8PA 解析 考查棱锥体积公式96836 3 1 V 2010 湖南文数 湖南文数 13 图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm2的几何体的三视图 则 h 4 cm 12999 数学网 13 2010 浙江理数 浙江理数 12 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 3 cm 解析 图为一四棱台和长方体的组合体的三视图 由卷中 所给公式计算得体积为 144 本题主要考察了对三视图所表达 示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算 属容易题 20102010 辽宁文数 辽宁文数 16 如图 网格纸的小正方形的边长是 1 在其上用粗线画 出了某多面体的三视图 则这个多面体最长的一条棱的 长为 解析 填画出直观图 图中四棱锥即是 2 3PABCD 所以最长的一条棱的长为2 3 PB 2010 辽宁理数 辽宁理数 15 如图 网格纸的小正方形的边长是 1 在其上用粗线画出了某多面体的三视图 则这个多面体最 长的一条棱的长为 答案 2 3 P D CB A 12999 数学网 14 命题立意 本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题 考查了同学们的识图 能力以及由三视图还原物体的能力 解析 由三视图可知 此多面体是一个底面边长为 2 的 正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥 所以最长棱 长为 222 2222 3 20102010 江西理数 江西理数 16 如图 在三棱锥中 三条棱 OABC OA 两两垂直 且 分别经过三条棱 OBOCOA OB OCOA 作一个截面平分三棱锥的体积 截面面积依次为 OBOC 1 S 2 S 则 的大小关系为 3 S 1 S 2 S 3 S 答案 321 SSS 解析 考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力 通过补形 借助长方体验证结 论 特殊化 令边长为 1 2 3 得 321 SSS 20102010 北京文数 北京文数 14 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动 设顶点 p x y 的纵坐标与横坐标的函数关系是 则的最小正周期为 yf x f x 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 yf x 所围区域的面积为 说明 正方形 PABC 沿 x 轴滚动 包含沿 x 轴正方向 和沿 x 轴负方向滚动 沿 x 轴正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转 当顶点 B 落在 x 轴上时 再以顶点 B 为中心顺时针旋转 如此继 续 类似地 正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动 答案 4 1 20102010 北京理数 北京理数 14 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动 设顶点 p x y 的轨迹方程是 则的最小 yf x f x 正周期为 在其两个相邻零点间的图 yf x 像与 x 轴所围区域的面积为 说明 说明 正方形 PABC 沿轴滚动 包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动 沿轴正方向 12999 数学网 15 A B 滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转 当顶点 B 落在轴上时 再以顶点 B 为中心顺时 针旋转 如此继续 类似地 正方形 PABC 可以沿轴负方向滚动 答案 4 1 2010 四川理数 四川理数 15 如图 二面角的大小是 60 线段 l AB Bl 与 所成的角为 30 则与平面所成的角的正弦值是 ABlAB 解析 过点 A 作平面 的垂线 垂足为 C 在 内过 C 作 l 的垂线 垂足为 D 连结 AD 有三垂线定理可知 AD l 故 ADC 为二面角的平面角 为 60 l 又由已知 ABD 30 连结 CB 则 ABC 为与平面所成的角AB 设 AD 2 则 AC CD 13 AB 4 0 sin30 AD sin ABC 3 4 AC AB 答案 3 4 20102010 天津文数 天津文数 12 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 答案 3 解析 本题主要考查三视图的基础知识 和主题体积 的计算 属于容易题 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形 则正视图和 俯视图可知该几何体的高为 1 结合三个试图可知该几 何体是底面为直角梯形的直四棱柱 所以该几何题的体 积为 1 2 1 2 2 1 3 温馨提示 正视图和侧视图的高是几何体的高 由 俯视图可以确定几何体底面的形状 本题也可以将几 何体看作是底面是长为 3 宽为 2 高为 1 的长方体 的一半 20102010 天津理数 天津理数 12 一个几何体的三视图如图所 A B C D 12999 数学网 16 A B 示 则这个几何体的体积为 答案 10 3 解析 本题主要考查三视图的概念与柱体 椎体体积的计算 属于容易题 由三视图可知 该几何体为一个