高考数学一轮必备 第十五单元《矩阵与变换》考情分析学案(1).doc

15.1矩阵与变换考情分析1本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质2本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题基础知识1乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：a11a12a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则： .(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(ab)ca(bc)，abba，由abac不一定能推出bc.一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算2常见的平面变换恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换3逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵a、b，若有abbae，则称a是可逆的，b称为a的逆矩阵；(2)若二阶矩阵a、b均存在逆矩阵，则ab也存在逆矩阵，且(ab)1b1a1.4特征值与特征向量设a是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使a，那么称为a的一个特征值，而称为a的属于特征值的一个特征向量题型一矩阵与变换【例1】求曲线2x22xy10在矩阵mn对应的变换作用下得到的曲线方程，其中m，n.解mn.设p(x，y)是曲线2x22xy10上任意一点，点p在矩阵mn对应的变换下变为点p(x，y)，则，于是xx，yx，代入2x22xy10，得xy1.所以曲线2x22xy10在mn对应的变换作用下得到的曲线方程为xy1.【变式1】 四边形abcd和四边形abcd分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为a(1,2)，b(3,2)，c(3，2)，d(1，2)，a(1,0)，b(3,8)，c(3,4)，d(1，4)，求将四边形abcd变成四边形abcd的变换矩阵m.解该变换为切变变换，设矩阵m为，则.所以k20，解得k2.所以m为.题型二矩阵的乘法与逆矩阵【例2】已知矩阵a，b，求(ab)1.解ab .设(ab)1，则由(ab)(ab)1，得 ，即，所以解得故(ab)1.【变式2】 已知矩阵a，b，求矩阵ab的逆矩阵解设矩阵a的逆矩阵为a1，则 ，解之得，a1，b2，c0，d1，所以a1.同理得，b1.又(ab)1b1a1，所以(ab)1.题型三矩阵的特征值与特征向量【例3】已知矩阵m，其中ar，若点p(1，2)在矩阵m的变换下得到点p(4,0)，求：(1)实数a的值；(2)矩阵m的特征值及其对应的特征向量解(1)由，所以22a4.所以a3.(2)由(1)知m，则矩阵m的特征多项式为f()(2)(1)6234.令f()0，得矩阵m的特征值为1与4.当1时，xy0.所以矩阵m的属于特征值1的一个特征向量为.当4时，2x3y0.所以矩阵m的属于特征值4的一个特征向量为.【变式3】 已知二阶矩阵a，矩阵a属于特征值11的一个特征向量为a1，属于特征值24的一个特征向量为a2，求矩阵a.解由特征值、特征向量定义可知，aa11a1，即1，得同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩阵a.重难点突破【例4】设矩阵m(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩阵m的逆矩阵m1；(2)若曲线c：x2y21在矩阵m所对应的线性变换作用下得到曲线c：y21，求a，b的值 解析 (1)设矩阵m的逆矩阵m1，则mm1.又m，所以，所以2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵 m1.(5分)(2)设曲线c上任意一点p(x，y)，它在矩阵m所对应的线性变换作用下得到点p(x，y)，则 ，即又点p(x，y)在曲线c上，所以y21，则b2y21为曲线c的方程又已知曲线c的方程为x2y21，故又a0，b0，所以(10分)巩固提高1曲线c1：x22y21在矩阵m的作用下变换为曲线c2，求c2的方程解设p(x，y)为曲线c2上任意一点，p(x，y)为曲线x22y21上与p对应的点，则，即因为p是曲线c1上的点，所以c2的方程为(x2y)22y21.2已知矩阵a将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵a.解设a，由 ，得由3，得所以所以a.3已知圆c：x2y21在矩阵形a(a0，b0)对应的变换作用下变为椭圆1，求a，b的值解设p(x，y)为圆c上的任意一点，在矩阵a对应的变换下变为另一个点p(x，y)，则 ，即又因为点p(x，y)在椭圆1上，所