2011海文数学基础班概率讲义-铁军-.pdf

圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 11 20112011 年万学海文概率统计年万学海文概率统计 春季基础班考研辅导讲义春季基础班考研辅导讲义 主讲主讲铁军铁军教授教授 铁军教授简介 著名考研数学辅导专家 近几年在全国各 大城市声名鹊起 成为与王式安 赵达夫齐名的考研数学辅导 三驾马车 之一 铁军教授从事考研数学辅导工作以来 以 其高屋建瓴 大气磅礴 睿智幽默的风格 对考点 重点 难 点全面 深刻 透彻的把握 关爱学生 高度负责的态度以及 对考题的精准预测 令考生受益无穷 特别是铁军老师的数学 全程保过班 更是以无与伦比的连续性 系统性和考生的数学 成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴 2011 年 考研竞 争空前激烈 万学海文邀请铁军教授亲临面授 为您考研成功 保驾护航 您的理想将在您我的共同努力下实现 这是我们的 信心 也将是您的信心 概率统计是考研数学的难点 也是重点 复习时必须抓住概率统计试题的三个特点 1 知 识点较多 但题型单一 计算量也不大 主要考察基本题型的掌握情况 因此 必须突出重点 计算准确 基本功扎实 2 难点在于应用题多 强调数学建模能力 应多思 多看 多练 3 针 对概率统计考题难以入手 难以下笔的特点 应有目的地记忆一些常见题型和重要公式 并能 灵活运用 举一反三 第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率 随机事件 是概率论中最基本的概念 概率的计算是概率统计的核心 本章涉及到大量 公式 如 加法公式 乘法公式 全概 逆概公式和三个概型 古典概型 几何概型和伯 努利概型 必须熟练掌握 一 随机事件之间的关系与运算一 随机事件之间的关系与运算 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 12 考点分析考点分析 随机事件是样本空间的子集 是样本点的某个集合 要学会正确地设事件 用 字母表示事件 找出事件之间的关系并表示出来 1 德 摩根律 BAABBABA 2 随机事件的概率含义 表示若发生 则必发生BA AB 表示和至少有一个发生BA AB 表示与同时发生ABAB 表示发生 而不发生BA AB 且ABABABA 3 设是三个随机事件 则CBA 恰有CBAA 发生 和发生而不发生ABCCAB ABCCBA 全发生 CBACBA 至少有一个发生 至少有两个事件发生CABCAB 恰有一个事件发生CBACBACBA 恰有两个事件发生BCACBACAB 至多有一个事件发生CABCAB ABCCBA 不全发生 CBACBA 全不发生 4 两事件相互独立与互斥之间没有必然联系 互斥不能推出相互独立 独立也不能推出互 斥 5 若 互不相容互斥与则BAAB 6 若 相互独立与则称BABPAPABP 7 0 BPABPBAAP 相互独立与则若 8 若则有 0 0 BPAP ABBABA相容即与相互独立与 不独立与BAAB 9 若 BPAPABP CPBPBCP CPAPACP CPBPAPABCP 同时独立 则称三事件相互独立 若仅满足前三个等式 则称两两独CBA CBA CBA 立 注意 个事件相互独立 与 个事件两两独立 并非一回事 nn 10 四对事件之中有一对相互独立 则另三对也相互独立 BABABABA与与与与 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 13 11 若相互独立 则中任何一个事件与另外两事件的并 交或差 和 积或CBA CBA 差 均分别独立 典型例题典型例题 1 以表示事件 甲种产品畅销 乙种产品滞销 则其对立事件为 AA A 甲种产品滞销 乙种产品畅销 B 甲 乙两种产品均畅销 C 甲种产品滞销 D 甲种产品滞销或乙种产品畅销 2 设为随机事件且满足 则 BA BAAB BB D A A B C A B B A BAA 3 对于任意二事件 A 和 B 与不等价的是 BBA BA D B B BAC ABAA 4 设为两事件且 则 AB0 ABP A A 与 B 互斥 B AB 是不可能事件 C AB 未必是不可能事件 D P A 0 或 P B 0 5 设 A B 为两事件 若则 1 BPO BAPBAP ABA BAB 相互独立BAC与 ABD 6 对于任意二事件 A 和 B 有 A 若 则 A B 一定独立 AB B 若 则 A B 有可能独立 AB C 若 则 A B 一定独立 AB D 若 则 A B 一定不独立 AB 7 设 A B C 三个事件两两独立 则 A B C 相互独立的充要条件是 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 14 A A 与 BC 独立 B AB 与独立CA C AB 与 AC 独立 D 独立CABA 与 8 设 A B C 是三个相互独立的随机事件 且 0 P C 1 则在下列给定的四对事件中不 相互独立的是 A B CBA与 CAC与 C D CBA与 CAC与 9 将一枚硬币独立地掷两次 引进事件 掷第一次出现正面 1 A 掷第二次出现正面 2 A 反各出现一次正 3 A 则事件 正面出现两次 4 A A 相互独立 321 AAA B 相互独立 432 AAA C 两两独立 321 AAA D 两两独立 432 AAA 二 古典概型二 古典概型 考点分析考点分析 设随机试验 E 的样本空间 n 21 L 若 1 为有限的正整数 n 2 每个样本点出现的可能性相等 2 1 ni i L 则事件 A 发生的概率为 这样定义的概率称作古典型概率 n mA AP 样本空间样本点总数 含的样本点数事件 试验 E 所对应的概率模型称为古典概型 典型例题典型例题 1 在阶行列式的展开式中任取一项 此项不含第一行 第一列元素的概率为 则n 11 a 9 8 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 15 此行列式的阶数 n 2 一间宿舍内住有 6 位同学 求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一月份的概率 P 3 袋中装球 10 个 其中红 6 球个 白球 4 个 从中任取球 3 个 则至少有 2 个红球的概 率为 4 一袋中装有 N 1 只黑球及一只白球 每次从袋中随机地摸出一球 并换入一只黑球 这 样继续下去 问第 K 次摸球时 摸到黑球的概率为 5 袋中的 50 个乒乓球 其中 20 个是黄球 30 个是白球 今有两人 依次随机地从袋中各取一球 取后不放回 则第二个人取得黄球的概率是 三 几何概型三 几何概型 考点分析考点分析 设平面区域的面积为 D 质点可以等可能地落在内任何一点 区域 W 是面积为的 d 的一部分 设事件有 则内质点落入 WA 定义 这样定义的概率为几何概率 的面积 的面积 W D d AP 类似地可对线段 或空间区域 定义几何概率 典型例题典型例题 1 在一张画满边长为 4cm 的方格的纸上 随机地投掷一枚半径为 1cm 的硬币 求硬币与 方格边界线相交的概率 2 随机地向半圆内掷一点 点落在半圆内任何区域的概率与 20 2 为正常数axaxy 则 5 条件概率性质 条件概率也是一种概率 符合概率公理化定义 若 P A 则有 对任意事件 有 1 0 1 AAPAPAP 若 212121 ABPABPABBPBB 则 212121 ABBPABPABPABBP 注意 下面两个等式一般不成立 即 1 1 ABPABP ABPAAP 6 乘法公式 1 设 P A 0 则 P AB P B A P A 2 设 P B 0 则 PAB P A B P B 3 设P A1A2 An 1 0 n 2 则 P A1A2 An P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An 1 典型例题典型例题 1 设 A B 是两事件 且 P A P B 0 9 P A B 0 5 则 BAPBAP 2 从一批次品率为 10 的 100 件产品中依次不放回地取出两件产品 则第二次才取得正品的 概率为 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 17 3 现有两件报警系统 A 和 B 每种系统单独使用时 系统 A 有效的概率为 0 9 系统 B 有效 的概率也为 0 9 在 A 失灵的条件下 B 失灵的概率为 0 2 试求 1 在 B 失灵的条件下 A 有效的概率 2 这两个系统至少有一个有效的概率 4 某厂生产的产品有 70 可直接出厂 有 30 需调试 其中调试后有 80 可以出厂 20 定为 不合格产品 现随机取一件属于可出厂的产品 则该产品属于可直接出厂的概率为 五 利用全概公式 逆概公式 贝叶斯公式 计算概率五 利用全概公式 逆概公式 贝叶斯公式 计算概率 考点分析考点分析 1 全概公式 由原因求结果 若事件组 A1 A2 An满足 1 A1 A2 An两两互不相容 2 P Ai 0 3 i n i A U 1 则称 A1 A2 An为一个完备事件组 且对任一事件 B 有 1 ii n i ABPAPBP 2 贝叶斯公式 由结果找原因 若事件 A1 A2 An构成一个完备事件组 且 P B 0 P Ai 0 i 1 2 n 则 1 ii n i iiii i ABPAP ABPAP BP ABPAP BAP 典型例题典型例题 1 玻璃杯成箱出售 每箱 20 只 假设各箱含 0 1 2 只残次品的概率相应为 0 8 0 1 和 0 1 一顾客欲购一箱玻璃杯 在购买时 售货员随意取一箱 而顾客随机地察看 4 只 若无残次品 则买下该箱玻璃杯 否则退回 试求 1 顾客买下该箱的概率 2 在顾客买下的一箱中 确实没有残次品的概率 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 18 2 设有 4 只白球与 4 只黑球堆放在一起 现从中任取 4 只放入甲盒中 余下的 4 只放入乙盒 中 然后分别在两盒中各取一球 颜色正巧相同 试求甲盒中有 2 只白球的概率 3 1998 年数学三 设有来自三个地区的各 10名 15 名和 25 名考生的报名表 其中女生的报名表分别为 3份 7 份和 5 份 随机地取一个地区的报名表 从中先后抽出两份 1 求先抽到的一份是女生表的概率 P 2 已知后抽到的一份是男生表 求先抽到的一份是女生表的概率 q 第二章第二章一维随机变量及其概率分布一维随机变量及其概率分布 本章是复习备考的重点之一 也是后面其他重点内容的基础 随机变量及其概率分布是 概率论与数理统计的重要概念 引进随机变量及其概率分布的概念 可以使随机事件及其概 率的研究数量化 能够应用微积分等方法研究随机现象 一 一维随机变量及其分布律 分布函数的性质一 一维随机变量及其分布律 分布函数的性质 考点分析考点分析 1 随机变量 若对试验的样本空间中的每一个样本点 变量 X 总有唯一确定的实数 与之对应 即 X X 且对任意实数 X 事件总有确定的概率 则称 X 是一 xX 个随机变量 2 随机变量是一个函数 但与高等数学中的函数有两点不同 1 普通函数的自变量是实数 而随机变量的自变量是样本点 xfx XX 2 随机变量 X 随着试验的结果而取不同的值 因而在试验之前不能肯定它会取哪一个 值 由于试验的各个结果的出现有一定的概率 于是随机变量的取值也有一定的概 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 19 率 这是随机变量与普通函数的本质区别 3 随机变量的分类 1 离散型随机变量 2 连续型随机变量 3 既非离散型又非连续型的随机变量 4 分布函数 设 X 是一个随机变量 对任意实数 称为随机变量 X 分x xXPxF 布函数 又称随机变量 X 服从分布 xF 5 分布函数具有如下性质 xF 1 即的定义域为 值域为 0 1 xxF 1 0 xF 2 单调不减 即若 xF 则 2121 xFxFxx 3 0 lim xFF x 1 lim xFF x 4 是右连续的 即对于每个实数 有 xFa lim 0 aFxF ax 注意 连续型随机变量的分布函数一定为连续函数 离散型随机变量的分布函数 xF 如果有间断点 则在间断点处必右连续 xF 5 X 落入区间内的概率 ba aFbFbXaP 6 X 落在点处的概率a 0 aFaFaXP 典型例题典型例题 1 设随机变量 X 的分布函数为 1 1 11 1 8 1 1 0 0 1 0 0 x x x x xF 2 arctan xxF 3 设分别是随机变量的函数 为使是某一随机 21 xFxF与 21 XX与 21 xbFxaFxF 变量的分布函数 在下列给定的各组数中应取 A B 5 2 5 3 ba 3 2 3 2 ba C D 2 3 2 1 ba 2 3 2 1 ba 4 设随机变量 X 的分布函数只有两个间断点 则 xF A X 必是离散型随机变量 B X 必是连续型随机变量 C X 必不是离散型随机变量 D X 可能既不是离散型随机变量 也不是连续型随机变量 二 离散型随机变量及其概率分布二 离散型随机变量及其概率分布 考点分析考点分析 1 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 且 若 2 1 L kxk 2 1 L kPxXP kk 满足 1 2 0 k P 1 1 k k P 则称为 X 的概率分布或分布 kk pxXP 2 离散型随机变量 X 的分布函数为 xx k k PxF 显然 处间断 右连续且的跳跃间断点 k xxxF 在 xFxx k是 典型例题典型例题 1 设随机变量 X 服从 0 1 分布 其分布律为 则常数 c cccP X 839 10 2 2 设随机变量 X 的分布函数为 3 1 31 8 0 11 4 0 1 0 x x x x xXPxF 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 111 求 X 的概率分布 三 二项分布及其应用三 二项分布及其应用 考点分析考点分析 1 伯努利公式 在 n 重伯努利概型中 设 P A p 则事件 A 恰好发生 k 次的概率 P A 恰好发生 k 次 knkk n qpC 其中 q 1 p k 0 1 2 n 2 二项分布 在 n 重伯努利试验中 设在每次试验中 事件 A 发生的概率为 p 即 P A p 令 X 为 n 次试验中 A 发生的次数 则 X 服从参数为 n P 的二项分布 记作 X B n p 其概率分布为 1 P0 2 1 0 1 nkPPCkXP kkk n L 3 设 X B n p 则X 的分布函数为 knkk n xk PPCXF 1 4 P A 发生次数少于 m 次 P 0 X m 0 1 0 nmqPC inii n m K 5 P A 发生次数多于 m 次 inii n n mK qPCnmP 其中Lke k kXP k 则称 X 服从参数为的泊松分布 2 泊松分布的最可能值 其他 为整数或 1 0 k 3 设 X 服从泊松分布 参数为 则 EX DX 4 泊松定理 二项分布的极限分布是泊松分布 设随机变量 Xn n 1 2 服从二项分布 B n Pn 且则 0lim n n nP L 2 1 0 lim ke k kXP k n n 因此 由泊松定理 当 n 很大且 P 很小时 令 则有近似计算公式 nP L 2 1 0 1 ke k PPC k knkk n 典型例题典型例题 1 设随机变量 X 服从泊松分布 且 P X 1 P X 2 则 P X 4 2 某地区一个月内发生交通事故的次数 X 服从参数为的泊松分布 据统计资料知 一个月 内发生 8 次交通事故的概率是发生 10 次交通事故概率的 2 5 倍 则 3 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N t 服从参数为 t 的泊松分布 1 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布 2 求在设备已无故障工作 8 小时的情形下 再无故障运行 8 小时的概率 Q 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 114 五 一维连续型随机变量性质五 一维连续型随机变量性质 考点分析考点分析 1 连 续 型 随 机 变 量 若 存 在 非 负 可 积 函 数 f x 使 得 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 xdttfxF x 则称 X 是连续型随机变量 称 f x 是 X 的概率密度函数或概率密度 简称密度 2 密度函数具有如下性质 1 0 xf 2 1 dxxf 典型例题典型例题 1 下列命题正确的是 A 连续型随机变量取某个数值的概率必为 0 而离散型随机变量取某个数值的概率一定不为 0 B 连续型随机变量的概率密度不一定是连续函数 但它的概率密度一定唯一 C 两个分布函数的和是分布函数 D 不同的随机变量 它们的分布函数可能相同 2 设是任意两个相互独立的连续型随机变量 它们的概率密度分别为 21 XX和 21 xfxf和 分布函数分别为 则 21 xFxF和 A 必为某一随机变量的概率密度 21 xfxf B 必为某一随机变量的分布函数 21 xFxF C 必为某一随机变量的分布函数 21 xFxF D 必为某一随机变量的概率密度 21 xfxf 3 已知连续型随机变量 x 的概率密度函数 f x 是偶函数 即 是 X 的分布 xfxf xF 函数 则对任意常数 C 有 F C 等于 A F c B dxfx c 2 1 0 C 2F c 1 D dxxf c 1 0 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 115 4 设随机变量 X 的概率密度为 0 6 3 9 2 1 0 3 1 其他 若 若 x x xf 若 k 使得的取值范围是 kkXP则 3 2 5 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F x 密度函数为 f x 若 X 与有相同的分布函X 数 则 A F x F x B F x F x C f x f x D f x f x 六 正态分布及其应用六 正态分布及其应用 考点分析考点分析 1 设 X N 0 1 则 X 的分布函数为 xdtex t x 2 1 2 2 2 1 xx 3 设 X N 2 则X 的分布函数 且 x xF XPXP 典型例题典型例题 1 若随机变量 X N 0 1 其分布函数 N04 2 Xyy 则 2 1 3 设随机变量 X 服从正态分布 若X 的密度函数的最大值为 且P X a 0 95 0 2 N 2 则 a 4 若随机变量 X 服从均值为 2 方差为的正态分布 且 P 2 X 4 0 3 则 P X 0 0 0 x xe xf x 0 则称 X 服从参数为的指数分布 2 其分布函数为 0 0 0 1 x xe xF x 3 2 1 1 DXEX 4 指数分布具有无记忆性 常用来作为各种 寿命 分布的近似 典型例题典型例题 1 已知某类电子元件使用寿命 单位 小时 服从参数为的指数分布 现有 10 个此 100 1 类元件独立工作 求这 10 个元件中 至少有 1 个元件的寿命小于 50 小时的概率 2 甲打电话所花时间 T 服从参数为的指数分布 已知所花时间超过 2 分钟的概率与不超过 2 分钟的概率相等 当甲打电话时 乙在旁等候 求乙等候时间超过 5 分钟的概率 八 均匀分布及其应用八 均匀分布及其应用 考点分析考点分析 1 设连续型随机变量 X 的概率密度为 0 1 上服从均匀分布在区间则称 其它 baX bxa ab xf 2 设 X 在上服从均匀分布 则 ba 1 X 的分布函数为 bx bxa ab ax ax xf 1 0 2 2 ba EX 3 12 2 ab DX 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 118 典型例题典型例题 1 设二次型 其中在区间 0 5 上服从均匀分布 则此 32 2 3 2 2 2 1321 22 xxxxxxxxf 二次型为正定二次型的概率是 2 在某公共汽车站甲 乙 丙三人分别独立地等 1 2 3 路汽车 设每个人等车时间 单位 分钟 均服从 0 5 上的均匀分布 求 3 人中至少有两个人等车时间不超过 2 分钟的概率 九 其他重要分布 九 其他重要分布 考点分析考点分析 1 几何分布几何分布 设在 n 重伯努利试验中 事件 A 在第 X 次首次发生 则称 X 服从几何分布 且 其中又 PPkXP k1 1 2 1 nkPAPL 2 1 1 P P DX P EX 2 超几何分布超几何分布 设 N 个产品中有 M 个次品 从中任取 n 个 则这 n 个产品中所含的次品 数 X 就是服从超几何分布 且 2 1 0 nk C CC kXP n N kn mN K M L 其中 N nM EX 十 一维随机变量的函数的分布十 一维随机变量的函数的分布 考点分析考点分析 1 已知离散型随机变量 X 的分布律为 2 1 L kPxXP kk 设 Y 是 X 的连续函数 即 Y g X 则可用列举法求 X 的函数 Y g X 的分布律为 jkkk xgxgjkPxgYP 时当 如果在中有相同的数值 则将它们相应的概率之和作为随机变量取该值的 k xg XgY 概率 就可以得到的概率分布 XgY 2 已知连续型随机变量 X 的概率密度 又已知连续 则求随机变量函数 xfX XgY 的密度函数 方法如下 XgY 1 设上取非零值 并求出 y 上的最大值与最小值 baxfX在 baxg在 2 当0 yFy Y 时 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 119 当 1 yFy Y 时 3 当的分布函数 XgYy 时 yXgPyYPyFY 4 求的导数 即得到 Y 的密度函数 yFY yfY 3 定理 已知 X 的密度函数为 且在内取非零值 连续 xfX xfX ba xgy 若内单调 可导且 则的密度函数为 baxgy在 0 xg XgY 其他 0 11 yygygf yf X Y 其中 max min bgagbgag 4 设也服从正态分布 且 0 2 abaXYNX则 22 abaNbaXY 典型例题典型例题 1 设 X 服从参数为的指数分布 求 Y X3的概率密度 2 设随机变量 X 的密度函数为 0 则 2 1 1 DXEX 6 若 X 服从参数为的 分布 其中 则 r 0 0 r 2 r DX r EX 特别地 当 分布即为参数为的指数分布 1时r 典型例题典型例题 1 设随机变量 X 的概率密度为 且已知 则 a b 其他 0 1 0 xbxa xf 12 7 EX 2 设随机变量 X 服从参数为的泊松分布 且已知 E X 1 X 2 1 则 3 设随机变量 X 在 1 2 上服从均匀分布 令随机变量 则方差 DY 0 1 0 0 0 1 X X X Y 4 已知甲 乙两箱中装有同种产品 其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品 乙箱中仅装 有 3 件合格品 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后 求 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 122 1 乙箱中次品件数 X 的数学期望 2 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 5 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 P 0 P 1 各产品合格与否相互独立 当出 现一个不合格产品时即停机检修 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X 求 X 的数学期望 EX 和方差 DX 6 设某种商品每周的需求量 X 是服从区间 10 30 上均匀分布的随机变量 而经销商店 进货数量为区间 10 30 中的某一整数 商店每销售一单位商品可获利 500 元 若供大 于求则削价处理 每处理 1 单位商品亏损 100 元 若供不应求 则可从外部调剂供应 此时每 1 单位商品仅获利 300 元 为使商店所获利润期望值不少于 9280 元 试确定最少 进货量 第四章第四章二维随机变量及其概率分布二维随机变量及其概率分布 两个或多个随机变量的联合分布 边缘分布 独立性等是概率论中的重要概念 也是数 理统计的基础 本章作为考试的重点 难点章节应予以高度重视 一 二维随机变量及其联合分布函数一 二维随机变量及其联合分布函数 考点分析考点分析 1 二维随机变量 设随机试验的样本空间为 X 和 Y 是定义在上的两个随机变量 则称向量 X Y 为二维随机变量或二维随机向量 2 二维随机变量的联合分布函数 1 定 义 设 X Y 是 二 维 随 机 变 量 x y是 任 意 实 数 函 数 称为 X Y 的分布函数或随机变量 X 与 Y 的联合分布 yYxXPyxF 函数 2 联合分布函数的性质 对任 0 11 0 yxFRyx有 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 123 0 lim yxFyF x 0 lim yxFxF y 0 lim yxFF y x 1 lim yxFF y x 对分 别 是 单 调 不 减 的 即 对 于 固 定 的y 若 则 0 2 yxFyx和 21 xx 对于固定的x 若 则 21 yxFyxF 21 yy 21 yxFyxF 关于右连续 关于右连续 即 0 3 yxFxy 0 0 yxFyxF yxFyxF 随机点 X Y 落在矩形域 0 4 上的概率为 2121 yYyxXxyxG 2121 yYyxXxPGYXP 11211222 yxFyxFyxFyxF 3 二维随机变量的边缘分布函数 设二维随机变量 X Y 的分布函数为 分别称函数 yxF lim yxFYxXPxFxF y X 和为 X Y 关于 X 和 Y 关于 lim yxFyYxPyFyF x Y yYP 为在 Y y 的条件下 X 的条件分布函数 yYxXPyxF YX 若 P X x 0 则称为在 X x 的条件下 Y 的条件分布函 xXyYPxyF XY 数 7 二维离散型随机变量的条件分布律 设二维离散型随机变量 X Y 的概率分布为 若 2 1 jiPyYxXP ijji 2 1 0 L jyYP j 则称 j ij j ji ji P P yYP yYxXP yYxXP 称为在条件下 X 的条件分布律 j yY 同理 若 2 1 0 L ixXP i 则称 ij xXyYP L 2 1 j P P xXP yYxXP i ij j ji 为在条件下随机变量 Y 的条件分布律 i xX 8 设二维随机变量 X Y 的分布函数为 若存在 使对任x和y yxF yxF0 都有 则 X Y 为二维连续随机变量 函数称为 yxF yx dudvvuf yxf X Y 的概率密度或随机变量 X 和 Y 的联合概率密度 9 联合概率密度的性质 yxf 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 125 1 yxf0 2 1 dxdyyxf 3 若在点处连续 则 yxf yx yxf yx yxF 2 4 随机点 X Y 落在平面上区域 G 内的概率为 xoy G dxdyyxfGYXP 10 二维连续型随机变量的边缘概率密度 设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为 则 yxf 1 关于 X 的边缘概率密度为 dyyxfxfX 2 关于 Y 的边缘概率密度为 dxyxfyfY 3 二维连续型随机变量 X Y 的边缘分布函数分别为 dxxfxF XX dyyfyF YY 11 二维连续型随机变量的条件概率密度 1 设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为 边缘概率密度 yxf 连续且恒大于 0 则称为在 Y y 条件下 X 的条件和 xfX yfY yf yxf yxf Y YX 概率密度 称为在 X x 下 Y 的条件概率密度 xf yxf xyf X X Y 2 二维连续型随机变量 X Y 的条件分布函数 dt yf ytf yYxXPyxf Y x Y X dt xf txf xXyYPxyf X y X Y 12 二维随机变量的独立性 1 定义 若对任都有 yx yYPxXPyYxXP 或成立 称随机变量 X 和 Y 相互独立 yFxFyxF YX 2 离散型随机变量 X 和 Y 相互独立的充要条件是 jiji yYPxXPyYxXP 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 126 即 2 1 L jiPPP jiij 3 连续型随机变量 X 和 Y 相互独立的充要条件是 Ryxyfxfyxf YX 典型例题典型例题 1 设二维随机变量 X Y 具有概率密度 yxyxyxD 率为 2 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 其他 0 1 0 6 2 xxyx yxf 则 X Y 关于 X 的边缘概率密度 关于 Y 的边缘概率密度 xfX yfY 3 1999 年数学一 设随机变量 X 和 Y 相互独立 下表列出了二维随机变量 X Y 的 联合概率分布及关于 X 和关于 Y 的边缘概率分布的部分数值 将其余数值填入表中的空白处 Y X 1 y 2 y 3 y ii PxXP 1 x 8 1 2 x 8 1 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 127 4 已知二维离散型随机变量 X Y 的概率分布如下表 则在 Y 2 条件下 X 的条件概率分布为 5 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为的泊松分布 每位乘客在中途下车的 0 概率为 P 0 P 其他 0 0 0 2 1 yxxe k yxf yx 1 求常数 k 2 求 X Y 关于 X 和 Y 的边缘概率密度 3 判断随机变量 X 和 Y 是否相互独立 9 设随机变量在区间上服从均匀分布 在的条件下 随机变量在X 1 0 10 YXP 二 常见的二维随机变量及其分布二 常见的二维随机变量及其分布 考点分析考点分析 1 二维均匀分布 若二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 129 其中 G 是面上的有界区域 A 是 G 的面积 则称 X Y 其他 0 1 Gyx A yxfxoy 在区域 G 上服从均匀分布 2 二维正态分布 如果二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 2 21 2 1 2 1 exp 12 1 yyxx yxf 其中均为常数 则称 X Y Ryx 11 0 0 2121 服从参数为的二维正态分布 记作 和 2121 X Y N 也称 X Y 为二维正态随机变量 2 2 2 121 3 二维正态随机变量是最重要的二维随机变量 它有许多好的性质 1 若 X Y N 则 2 2 2 121 X 的边缘分布为 2 11 N Y 的边缘分布为 2 21 N 2 若 X Y 相互独立 记 2 11 NX 2 22 NY 2 2 22 1 2 21 babaNbYaX 则 典型例题典型例题 1 设二维随机变量 X Y 在平面上由曲线所围成的区域上服从均匀xoy 2 xyxy 与 分布 则概率 2 1 0 2 1 0 1 三 二维随机变量函数的分布三 二维随机变量函数的分布 考点分析考点分析 1 设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为为二元连续函数 yxgzyxf 则是一维连续型随机变量 YXgZ 求 Z 的分布函数的步骤如下 1 先求的取值范围 yxgz 2 求的分布函数 即 YXgZ zyxg z dxdyyxfZYXgPzZPzF 3 对求导 得的概率密度 zFZ YXgZ zfZ ZF dz d Z 2 求和的分布YXZ 1 设 X Y 的 联 合 概 率 密 度 为 f x y 则 Z X Y 的 概 率 密 度 为 dyyyzfdxxzxfzfz 2 若X与Y相互独立 则有卷积公式 dyyfyzfdxxzfxfzf YXYXz 3 求差 Z X Y 的分布 设 X Y 的概率密度为f x y 则 Z X Y 的概率密度为 dxzxxfzfZ 4 可加性定理 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 131 1 设且 X 与 Y 相互独立 则 pnBYpmBX pmnBYXZ 2 设 且 X 与 Y 相互独立 则 21 PXPX 21 PYXZ 3 设 且 X 与 Y 相互独立 则 2 22 2 11 NYNX 2 2 2 121 NYXZ 4 设 且 X 与 Y 相互独立 则 21 YX 21 YXZ 5 极大值和极小值的分布 1 设 X Y 的联合分布函数为 则极大值的分布函数为 yxF max YXM zzFzYzXPzMPzFM 极小值的分布函数为 min YXN 1 1 zYzXPzNPzNPzFN 6 商的分布 Y X Z 设 X Y 的联合密度为 则的密度 yxf Y X Z dyyyzfyzfZ 7 积 Z XY 的分布 设 X Y 的联合密度为 则 Z XY 的密度为 yxf dx x z xf x zfZ 1 8 二维离散型随机变量函数的分布 设 X Y 是二维离散型随机变量 其联合分布律为 L 2 1 jiPyYxXP ijji 1 若连续 且对于不同的有相同的函数值 则取这些不 yxgz ji yx yxgz 同的相应概率之和 作为 Z 取这一数值的概率 ji yx 2 若连续 且对于不同的有不同的函数值 则的分布 yxgz ji yx YXgZ 律为 ijjikk PyYxXPzYXgPzZP 其中 kii zyxg 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 132 9 求二维离散型随机变量 X Y 的和 Z X Y 的分布 设 X Y 的联合分布律为 L 2 1 jiPyYxXP ijji 则 Z X Y 的概率分布为 k i ikYiXP YkXPkYXpkYXPkZP 0 0 1 1 0 L 典型例题典型例题 1 设是两个相互独立且服从同一分布的随机变量 如果的分布律为 3 2 1 3 1 iiP 又设 求 X 与 Y 的分布律 min max YX 2 设二维随机变量 X Y 在矩形 上服从均匀分布 试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密 10 20 yxyxD 度 SfS 3 设随机变量 X 和 Y相互独立 试求 Z X Y的密度函数 计 2 RYNX 算结果用标准正态分布函数表示 xdt t ex 2 2 2 1 4 设二维随机变量 X Y 的密度函数为 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 133 其他 0 0 0 2 2 yxe yxf yx 求随机变量 Z X 2Y 的分布函数 5 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布N 0 1 和N 1 1 则 2 1 0 YXPA 2 1 1 YXPB 2 1 0 YXPC 2 1 1 YXPA 6 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形上的均匀分布 试 31 31 yxyxG 求随机变量 U X Y 的概率密度 p u 7 设独立 21 XX和 1 2 1 2 1 qpiqXPPXP ii 令 为偶数若 为奇数若 21 21 0 1 XX XX X 则的概率分布为 2 X 8 设随机变量 X 与 Y 独立 其中 X 的概率分布为 7 03 0 21 X 而 Y 的概率密度为 求随机变量 U X Y 的概率密度 xf ug 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 134 第五章第五章二维随机变量的数字特征二维随机变量的数字特征 二维随机变量的数字特征主要包括协方差和相关系数 协方差表明了两个随机变量之间 的相关性 相关系数显示了两个随机变量之间的线性相关性 考点分析考点分析 1 二维随机变量函数的数学期望 1 设 二 维 离 散 型 随 机 变 量 X Y 的 概 率 分 布 为 则 随 机 变 量的 数 学 期 望 为 L 2 1 jiPyYxXP ijji YXgZ 11 ji ijji PyxgYXgEZE 2 设二维连续型随机变量的概率密度为 则随机变量的数学期 YX yxf YXgZ 望为 dxdyyxfyxgYXgEZE 2 矩 1 设 X 是随机变量 若存在 则称阶原点矩 L 2 1 kXE k kXXE k 的为 2 若存在 则称之为 X 的阶中心矩 L 2 kXEXE k k 3 设 X 和 Y 是两个随机变量 如果存在 则称之为 X 和 Y 的L 2 1 lkYXE lk 阶混合 原点 矩 lk 4 若存在 则称之为 X 和 Y 的阶混合中心矩 L 2 1 lkYEYXEXE lk lk 3 协方差 1 定义 对于随机变量 X 和 Y 如果存在 则称之为 X 和 Y 的协 YEYXEXE 方差 记作 事实上 协方差为 X 和 Y 的 1 1 阶混合 cov YX YEYXEXE 中心矩 2 公式 对于任意两个随便机变量 X 和 Y 有 cov 2 cov YXYDXDYXDYEXEXYEYX 3 协方差的性质 1 cov cov XYYX 2 是常数 baYXabbYaX cov cov 其中 3 cov cov cov 2121 YXYXYXX 4 相关系数 1 定义 对于随机变量 X 和 Y 如果的相YX YDXD YX YDXD和为则称 cov 0 0 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 淘宝旺旺 韩圆圆 135 关系数 记为 即 XY XY cov YDXD YX 其中 X 和 Y 分别