考研数学 线性代数讲义 2009数一.pdf

水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一线性代数试题 数学一线性代数试题 一 选择题 每小题 4 分 一 选择题 每小题 4 分 5 设是 3 维向量空间的一组 基 则由基 5 设是 3 维向量空间的一组 基 则由基 32 1 aaa 3 R 321 3 1 2 1 aaa到基 到基 133221 aaaaaa 的过渡矩阵为 的过渡矩阵为 A A 330 022 101 B B 301 320 021 C C 6 1 4 1 2 1 6 1 4 1 2 1 6 1 4 1 2 1 D D 6 1 6 1 6 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 答案 A 答案 A 解析 由基 解析 由基 321 3 1 2 1 aaa到 到 133221 aaaaaa 的过渡矩阵满足 的过渡矩阵满足 1 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 330 022 101 3 1 2 1 321 133221 aaa aaaaaa 所以选 A 所以选 A 讲评 本题考查的知识点为过渡矩阵 讲评 本题考查的知识点为过渡矩阵 6 设 6 设BA 均为 2 阶矩阵 均为 2 阶矩阵 BA 分别为分别为 BA 的伴随矩阵 若的伴随矩阵 若 3 2 BA则分块 矩阵 则分块 矩阵 0B AO 的伴随矩阵为 的伴随矩阵为 A A OA BO 2 3 B B OA BO 3 2 C C OB AO 2 3 D D OB AO 3 2 答案 B 答案 B 解析 由于分块矩阵 解析 由于分块矩阵 0 0 B A 的行列式的行列式 2 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 3 632 1 0 0 22 BA B A 即分块 矩阵可逆 根据公式 即分块 矩阵可逆 根据公式 1 CCC 0 1 1 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0 0 1 1 1 A A B B A B B A B A B A 03 20 0 2 1 3 1 0 6 A B A B 故答案为 B 故答案为 B 讲评 本题考查的知识点有 伴随矩阵和 逆矩阵的关系 分块矩阵的行列式 分块矩 阵的逆矩阵等 讲评 本题考查的知识点有 伴随矩阵和 逆矩阵的关系 分块矩阵的行列式 分块矩 阵的逆矩阵等 二 填空题 每小题 4 分 二 填空题 每小题 4 分 13 若 3 维向量 13 若 3 维向量 满足满足2 T 其中 其中 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 T 为为 的转置 则矩阵的转置 则矩阵 T 的非零特征值 为 的非零特征值 为 答案 2 答案 2 解析 由 解析 由2 T 2 TT T 的非零特征值为 2 的非零特征值为 2 讲评 本题考查的知识点有 特征值和特 征向量的概念 讲评 本题考查的知识点有 特征值和特 征向量的概念 本题也可根据矩阵本题也可根据矩阵 T 是秩为 1 的 3 阶矩 是秩为 1 的 3 阶矩 阵 可知其特征值必为 0 0 阵 可知其特征值必为 0 0 T tr 而 而 2 TT tr 求得答案 求得答案 三 解答题 三 解答题 20 本题满分 11 分 设 20 本题满分 11 分 设 2 1 1 240 111 111 1 A 求满足 求满足 13 2 12 AA的所有向 量 的所有向 量 32 对 中的任一向量 对 中的任一向量 32 证明 证明 4 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 5 321 线性无关 线性无关 解析 解方程 解析 解方程 12 A 0000 2 1 2 1 10 2 1 2 1 01 0000 2 1 2 1 10 1111 2240 1111 1111 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 6 故故 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 12 k 其中 其中 1 k为任意常 数 为任意常 数 解方程解方程 13 2 A 044 022 022 2 A 0000 0000 2 1 011 2044 1022 1022 故故 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 323 kk 其 中 其 中 32 k k为任意常数 为任意常数 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 7 证明 由于 证明 由于 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 0 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 00 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 11 31 21 31 21 21 kk kk kk kk kk kk 故故 321 线性无关 线性无关 讲评 本题考查的知识点有 矩阵的运算 非齐次线性方程组求解 解的结构 线性无 关的概念 三个三维向量线性无关的充要条 件是行列式不为零 行列式的计算等 讲评 本题考查的知识点有 矩阵的运算 非齐次线性方程组求解 解的结构 线性无 关的概念 三个三维向量线性无关的充要条 件是行列式不为零 行列式的计算等 8 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 21 本题满分 11 分 设二次型 21 本题满分 11 分 设二次型 3231 2 3 2 2 2 1321 22 1 xxxx xaaxaxxxxf 求二次型的矩阵的所有特征值 求二次型的矩阵的所有特征值 f 若二次型的规范形为 若二次型的规范形为f 2 2 2 1 yy 求 的值 求 的值 a 解析 解析 111 10 10 a a a A 121 10 00 111 10 0 111 10 10 9 a a a a a aa a a a AE 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 2 1 2 2 aaa aaa 所 以 二 次 型 的 矩 阵所 以 二 次 型 的 矩 阵A的 特 征 值 为 的 特 征 值 为 1 2 aaa 若规范形为 若规范形为 2 2 2 1 yy 说明有两个特 征值为正 一个为 0 说明有两个特 征值为正 一个为 0 当时 三个