广东省深圳市高考数学二模试卷 文（含解析）.doc

广东省深圳市2015届高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）i是虚数单位，复数z=1+在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2（5分）平面向量=（1，2），=（2，x），若，则x等于（）a4b4c1d23（5分）已知集合=x|1x0，b=x|2x1，则ab=（）abx|0x1cx|x0dx|x14（5分）命题p：x00，x0+=2，则p为（）ax0，x+=2bx0，x+2cx0，x+2dx0，x+25（5分）已知直线l，平面，则下列能推出的条件是（）al，lbl，lc，d，6（5分）已知某路口最高限速50km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度如图的茎叶图（单位：km/h）若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）abcd7（5分）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于原点对称，则的最小正值为（）abcd8（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y24y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）abcd29（5分）如图所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的、两处应分别填写（）ai5？，bi5？，ci5？，di5？，10（5分）定义在t，+）上的函数f（x）、g（x）单调递增，f（t）=g（t）=m，若对任意km存在x1x2，使得f（x1）=g（x2）=k成立，则称g（x）是f（x）在t，+）上的“追逐函数”，已知f（x）=x2，给出下列四个函数：g（x）=x；g（x）=lnx+1；g（x）=2x1；g（x）=2；其中f（x）在1，+）上的“追逐函数”有（）a1个b2个c3个d4个二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答11（5分）等差数列an中，a4=4，则2a1+a5+a9=12（5分）若实数x，y满足，则x2+y2的最小值为13（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线c：（t为参数）相交于a、b两点，则|ab|=（几何证明选讲选做题）15如图，ab、ac是o的两条切线，切点分别为b、c若bac=60，bc=6，则o的半径为三、解答题：本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）在abc中，已知，cos（b）=（1）求sina与b的值；（2）若角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值17（12分）pm2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与pm2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与pm2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758pm2.5的浓度y（微克/立方米）6970747879（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时pm2.5的浓度为多少（保留整数）？18（14分）如图，abc是边长为4的等边三角形，abd是等腰直角三角形，adbd，平面abc平面abd，且ec平面abc，ec=2（1）证明：de平面abc；（2）证明：adbe19（14分）已知数列an的前n项和为sn，且满足a1=2，an+1+3sn+2=0（nn*）（1）求a2、a3的值；（2）求数列an的通项公式；（3）是否存在整数对（m、n），使得等式an2man=4m+8成立？若存在，请求出所有满足条件的（m，n）；若不存在，请说明理由20（14分）已知平面上的动点p与点n（0，1）连线的斜率为k1，线段pn的中点与原点连线的斜率为k2，k1k2=（m1），动点p的轨迹为c（1）求曲线c的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：以曲线c的弦ab为直径；过点n；直径|ab|=|求m的取值范围21（14分）已知函数f（x）=lnxax+（a，br），且对任意x0，都有（1）求a，b的关系式；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1x2，求出a的取值范围并证明；（3）在（2）的条件下，判断y=f（x）零点的个数，并说明理由广东省深圳市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）i是虚数单位，复数z=1+在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出解答：解：复数z=1+=1=1i在复平面内对应的点（1，1）位于第四象限故选：d点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题2（5分）平面向量=（1，2），=（2，x），若，则x等于（）a4b4c1d2考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量 专题：计算题；平面向量及应用分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可解答：解：平面向量=（1，2），=（2，x），且，1x（2）（2）=0，解得x=4故选：a点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目3（5分）已知集合=x|1x0，b=x|2x1，则ab=（）abx|0x1cx|x0dx|x1考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出集合，然后求解交集即可解答：解：集合=x|1x0=x|x1，b=x|2x1=x|x0，则ab=x|0x1故选： b点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力4（5分）命题p：x00，x0+=2，则p为（）ax0，x+=2bx0，x+2cx0，x+2dx0，x+2考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：x00，x0+=2，则p为：x0，x+2故选：b点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查5（5分）已知直线l，平面，则下列能推出的条件是（）al，lbl，lc，d，考点：平面与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：根据空间中的平行与垂直关系，对选项中的问题进行判断分析，以便得出正确的结论解答：解：对于a，当l，l时，有，或，a不符合条件；对于b，当l，l时，与可能平行，也可能相交，b不符合条件；对于c，当，时，与可能平行，也可能相交，c不符合条件；对于d，当，时，有，d满足题意故选：d点评：本题考查了空间中的平行与垂直的应用问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题目6（5分）已知某路口最高限速50km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度如图的茎叶图（单位：km/h）若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）abcd考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图 专题：概率与统计分析：求出基本事件的总数，满足题意的数目，即可求解概率解答：解：不同车速有6辆，从中任取2辆，共有c62=15则恰好有1辆汽车超速的数目：24=8从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为：故选：c点评：本题考查古典概型的概率的求法，基本知识的考查7（5分）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于原点对称，则的最小正值为（）abcd考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得平移后函数的解析式为y=sin（2x+2），再根据正弦函数的图象的对称性，可得2=k，kz，由此求得的最小正值解答：解：将函数的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为 y=sin2（x）+=sin（2x+2），再根据所得函数的图象关于原点对称，可得2=k，kz，即=，则的最小正值为，故选：a点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题8（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y24y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）abcd2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线（a0，b0）的一条渐近线y=x与圆x2+y24y+3=0相切圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出解答：解：取双曲线（a0，b0）的一条渐近线y=x，即bxay=0由圆x2+y24y+3=0化为x2+（y2）2=1圆心（0，2），半径r=1渐近线与圆x2+y24y+3=0相切，=1化为3a2=b2该双曲线的离心率e=2故选：d点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键9（5分）如图所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的、两处应分别填写（）ai5？，bi5？，ci5？，di5？，考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：根据流程图所表示的算法功能可知求的值，从而应该利用来累加，根据循环的次数，可得处理框应填结果解答：解：程序框图是计算的值，则可利用循环结构累加，共循环4次，则第一个处理框应为i5，然后计算，第二空应填写故选：c点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，本题属于基础题10（5分）定义在t，+）上的函数f（x）、g（x）单调递增，f（t）=g（t）=m，若对任意km存在x1x2，使得f（x1）=g（x2）=k成立，则称g（x）是f（x）在t，+）上的“追逐函数”，已知f（x）=x2，给出下列四个函数：g（x）=x；g（x）=lnx+1；g（x）=2x1；g（x）=2；其中f（x）在1，+）上的“追逐函数”有（）a1个b2个c3个d4个考点：函数单调性的性质 专题：新定义；函数的性质及应用分析：求出m=1，解方程求得x1，x2，运用函数的单调性和特殊值法，判断是否存在x1x2，即可得到结论解答：解：对于，可得f（1）=g（1）=1=m，k1，有x12=x2=k，即为x1=，x2=k，k显然成立，存在x1x2；对于，易得m=1，k1，有x12=1+lnx2=k，即为x1=，x2=ek1，即有ek1ke2k2，由x1时，xe2x2的导数为12e2x20，即有xe2x2，则存在x1x2；对于，易得m=1，k1，有x12=1=k，即为x1=，x2=log2（k+1），当k=100时，log2（k+1），即不存在x1x2对于，易得m=1，k1，有x12=2=k，即为x1=，x2=，当k=4，不存在x1x2故f（x）在1，+）上的“追逐函数”有故选b点评：本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的单调性的运用，以及特殊值的运用，考查判断能力，属于中档题和易错题二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答11（5分）等差数列an中，a4=4，则2a1+a5+a9=16考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列an的公差为d，由通项公式可得2a1+a5+a9=2（43d）+（4+d）+（4+5d），化简可得解答：解：设等差数列an的公差为d，a4=4，2a1+a5+a9=2（43d）+（4+d）+（4+5d）=16故答案为：16点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题12（5分）若实数x，y满足，则x2+y2的最小值为考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由题意画出图形，由点到直线的距离公式求得可行域内点与原点距离最小值的平方得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，x2+y2的最小值为坐标原点o到直线x+2y2=0的距离的平方，等于故答案为：点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题13（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为82考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，再根据题目中的数据求出它的体积解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，且正方体的棱长为2，圆柱体的底面圆半径为2，高为2；该几何体的体积为v=v正方体v圆柱体=23222=82故答案为：82点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线c：（t为参数）相交于a、b两点，则|ab|=考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：把直线l的参数方程化为直角坐标方程，把曲线c的参数方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求出结果解答：解：把直线l：（s为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 x+y3=0把曲线c：（t为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 y=（x3）2把直线方程和曲线c的方程联立方程组解得 ，或故|ab|=，故答案为：点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求直线和曲线的交点坐标，两点间的距离公式，属于中档题（几何证明选讲选做题）15如图，ab、ac是o的两条切线，切点分别为b、c若bac=60，bc=6，则o的半径为2考点：弦切角 专题：立体几何分析：直接利用切线长定理解得：bd=3，aob=60，进一步利用勾股定理求出od的长，最后求出半径的长解答：解：连接ob，oa交bc于点d，ab、ac是o的两条切线，切点分别为b、c且bac=60，bc=6，则：abo=90，aob=60，且bd=3，设：od=x，则：bo=2x，利用勾股定理得：x2+9=4x2解得：x=所以：圆的半径为2故答案为：2点评：本题考查的知识要点：勾股定理的应用，切线长定理的应用，及相关的运算问题三、解答题：本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）在abc中，已知，cos（b）=（1）求sina与b的值；（2）若角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值考点：正弦定理 专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出解答：解：（1），又0a，且0b，（2）由正弦定理得，另由b2=a2+c22accosb得49=25+c25c，解得c=8或c=3（舍去），b=7，c=8点评：本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题17（12分）pm2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与pm2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与pm2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758pm2.5的浓度y（微克/立方米）6970747879（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时pm2.5的浓度为多少（保留整数）？考点：线性回归方程 专题：应用题；概率与统计分析：（1）利用描点法可得数据的散点图；（2）根据公式求出b，a，可写出线性回归方程；（3）根据（2）的性回归方程，代入x=25求出pm2.5的浓度解答：解：（1）散点图如图所示（2分）（2），（6分），（9分）故y关于x的线性回归方程是：（10分）（3）当x=25时，y=1.2825+4.88=36.8837所以可以预测此时pm2.5的浓度约为37（12分）点评：本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力18（14分）如图，abc是边长为4的等边三角形，abd是等腰直角三角形，adbd，平面abc平面abd，且ec平面abc，ec=2（1）证明：de平面abc；（2）证明：adbe考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）取ab的中点f，连接df，cf，由已知可证dfec，可得四边形defc为平行四边形，可得defc，由de平面abc，从而可证de平面abc（2）以fa，fc，fd为x，y，z轴的正方向建立直角坐标系，求出向量，的坐标，由=0，即可证明adbe解答：证明：（1）取ab的中点f，连接df，cf，abc是边长为4的等边三角形，abd是等腰直角三角形，adbd，平面abc平面abd，dfcf，df=bc=2又ec平面abc，既有：ecfc，ec=2dfec，故四边形defc为平行四边形，defcde平面abc，可得de平面abc（2）以fa，fc，fd为x，y，z轴的正方向建立直角坐标系，则有：a（2，0，0），d（0，0，2），b（2，0，0），e（0，2，2）=（2，0，2），=（2，2，2）由于=0，故adbe点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查19（14分）已知数列an的前n项和为sn，且满足a1=2，an+1+3sn+2=0（nn*）（1）求a2、a3的值；（2）求数列an的通项公式；（3）是否存在整数对（m、n），使得等式an2man=4m+8成立？若存在，请求出所有满足条件的（m，n）；若不存在，请说明理由考点：数列递推式；数列的应用 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）根据递推公式即可求出a2、a3的值；（2）an+1+3sn+2=0，an+2+3sn+1+2=0，得到an+2=2an+1，继而得到数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，问题得以解决；（3）由题意求出m=（2）n4+，分别代入n的值求出（m，n）的坐标解答：解：（1）a1=2，an+1+3sn+2=0（nn*），a2+3s1+2=0，a3+3s2+2=0，a2+3a1+2=0，a3+3（a1+a2）+2=0，a2=4，a3=8，（2）an+1+3sn+2=0，an+2+3sn+1+2=0，得，an+2an+1+3（sn+1+sn）=0，an+2=2an+1，=2，数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，an=2（2）n1=（2）n，（3）an2man=4m+8，m=（2）n4+，m为整数，则为整数，当n=1时，m=2，当n=2时，m=1，当n=3时，m=14，则满足条件的（m，n）共有（2，1），（1，2），（14，3）点评：本题考查了数列的递推公式，等比数列的通项公式，考查了学生的运算能力，属于中档题20（14分）已知平面上的动点p与点n（0，1）连线的斜率为k1，线段pn的中点与原点连线的斜率为k2，k1k2=（m1），动点p的轨迹为c（1）求曲线c的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：以曲线c的弦ab为直径；过点n；直径|ab|=|求m的取值范围考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设p（x，y），记pn的中点为m，所以，求出斜率，利用k1k2=（m1），可得曲线c的方程；（2）若存在以曲线c的弦ab为直径的圆过点n，则有nanb，所以直线na、nb的斜率都存在且不为0，设出方程与曲线联立，求出|na|，|nb|，利用|ab|=|，确定k，m的关系，分类讨论求m的取值范围解答：解：（1）设p（x，y），记pn的中点为m，所以由题意（x0），（x0），由可得：（x0），化简整理可得：（x0），曲线c的方程为（x0）（6分）（2）由题意n（0，1），若存在以曲线c的弦ab为直径的圆过点n，则有nanb，所以直线na、nb的斜率都存在且不为0，设直线na的斜率为k（不妨设k0），所以直线na的方程为y=kx+1，直线nb的方程为，将直线na和曲线c的方程联立，得，消y整理可得（1+m2k2）x2+2m2kx=0，解得，所以，以替换k，可得，又因为，即有，所以，所以k3+m2k=1+m2k2，即（k1）k2+（1m2）k+1= 0，（1）当时，（k1）k2+（1m2）k+1=（k1）3=0，解得k=1；（2）当 时，方程k2+（1m2）k+1=0有=（1m2）240，所以方程（k1）k2+（1m2）k+1=（k1）3=0有唯一解k=1；（3）当时，方程k2+（1m2）k+1=0有=（1m2）240，且12+（1m2）1+10，所以方程（k1）k2+（1m2）k+