广东省深圳市翠园中学高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科） 一选择题：本大题共8小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上每小题5分，满分40分1（5分）复数z=，则|z|=（）abcd22（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）ax2+y2+2x=0bx2+y2+x=0cx2+y2x=0dx2+y22x=03（5分）已知命题p：x0r，x02+2x0+20，那么下列结论正确的是（）a非p：x0r，x02+2x0+20b非p：xr，x2+2x+20c非p：x0r，x02+2x0+20d非p：xr， x2+2x+204（5分）若椭圆经过原点，且焦点为f1（1，0）、f2（3，0），则其离心率为（）abcd5（5分）已知集合a=1，a，b=1，2，3，则“a=3”是“ab“的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件6（5分）曲线y=x2+在点p（1，2）处的切线方程是（）axy1=0bx+y+1=0cxy+1=0dx+y1=07（5分）已知点o为坐标原点，点a（1，0，0）、点b（1，1，0），则下列各向量中是平面aob的一个法向量的是（）a（1，1，1）b（1，0，1）c（0，1，1）d（0，0，1）8（5分）已知f1、f2为双曲线c：x2y2=1的左、右焦点，点p在c上，f1pf2=60，则p到x轴的距离为（）abcd二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上9（5分）论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足”上述推理用的是（在类比推理、归纳推理、演绎推理中选填一项）10（5分）已知正方体abcda1b1c1d1中，点f是侧面cdd1c1的中心，若=+x+y，则xy等于11（5分）观察下列等式：（1+1）=21（2+1）（2+2）=2213（3+1）（3+2）（3+3）=23135照此规律，第n个等式可为12（5分）求值e|x|dx=13（5分）设抛物线y2=8x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足如果直线af的斜率为，那么|pf|=14（5分）做一个封闭的圆柱形锅炉，容积为v，若两个底面使用的材料与侧面的材料相同，问锅炉的高与底面半径的比为时，造价最低三解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（12分）已知命题p：x，a，命题q：xr，x2+4x+a=0若命题“pq”是真命题，求实数a的取值范围16（12分）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a0）在r上满足f（x）=f（x），当x=1时f（x）取得极值2（1）f（x）的解析式（2）求f（x）的单调区间和极大值17（14分）如图，在长方体abcda1b1c1d1中，a1a=，ad=1，dc=2，点e为ab中点（1）求直线a1d与直线ce所成角的余弦值（2）求二面角d1eca的大小18（14分）首项为正数的数列an满足an+1=（an2+3），nn+（1）证明：若a1为奇数，则对一切n2，an都是奇数；（2）若对一切nn+都有an+1an，求a1的取值范围19（14分）在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（1，1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于（）求动点p的轨迹方程；（）设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m，n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由20（14分）已知函数f（x）=，g（x）=clnx+b，且x=是函数y=f（x）的极值点，直线l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线（1）求实数a的值和直线l的方程（2）若直线l与函数y=g（x）的图象相切于点p（x0，y0），x0，求实数b的取值范围广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共8小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上每小题5分，满分40分1（5分）复数z=，则|z|=（）abcd2考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出解答：解：复数z=，则|z|=故选：b点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题2（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）ax2+y2+2x=0bx2+y2+x=0cx2+y2x=0dx2+y22x=0考点：圆的一般方程；抛物线的简单性质 分析：先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程解答：解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x1）2+y2=1，即x22x+y2=0，故选d点评：本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题3（5分）已知命题p：x0r，x02+2x0+20，那么下列结论正确的是（）a非p：x0r，x02+2x0+20b非p：xr，x2+2x+20c非p：x0r，x02+2x0+20d非p：xr，x2+2x+20考点：命题的否定 专题：阅读型分析：本题考查了，要注意多量词和结论同时进行否定，的否定为，的否定为解答：解：由含有量词的否定的定义得：命题p：x0r，x02+2x0+20的否定为：xr，x2+2x+20，故选b点评：本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题4（5分）若椭圆经过原点，且焦点为f1（1，0）、f2（3，0），则其离心率为（）abcd考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过椭圆定义直接计算即可解答：解：由题可知：长轴长2a=+=4，a=2，焦距2c=1（3）=2，即c=1，e=，故选：b点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题5（5分）已知集合a=1，a，b=1，2，3，则“a=3”是“ab“的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用 专题：简易逻辑分析：先有a=3成立判断是否能推出ab成立，反之判断“ab”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论解答：解：当a=3时，a=1，3所以ab，即a=3能推出ab；反之当ab时，所以a=3或a=2，所以ab成立，推不出a=3故“a=3”是“ab”的充分不必要条件故选a点评：本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件6（5分）曲线y=x2+在点p（1，2）处的切线方程是（）axy1=0bx+y+1=0cxy+1=0dx+y1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程解答：解：函数的导数为f（x）=2x，则f（1）=21=1，即切线斜率为1，则函数在点（1，2）处的切线方程为y2=x1，即xy+1=0，故选：c点评：本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键7（5分）已知点o为坐标原点，点a（1，0，0）、点b（1，1，0），则下列各向量中是平面aob的一个法向量的是（）a（1，1，1）b（1，0，1）c（0，1，1）d（0，0，1）考点：平面的法向量 专题：空间向量及应用分析：设平面aob的一个法向量为=（x，y，z）可得，解出即可解答：解：设平面aob的一个法向量为=（x，y，z）则，解得x=y=0只有d中的向量（0，0，1）满足条件故选：d点评：本题考查了平面的法向量、线面垂直的性质、数量积运算性质，考查了技能数列，属于基础题8（5分）已知f1、f2为双曲线c：x2y2=1的左、右焦点，点p在c上，f1pf2=60，则p到x轴的距离为（）abcd考点：双曲线的定义；余弦定理；双曲线的简单性质 专题：计算题分析：设点p（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，由余弦定理得cosf1pf2=，由此可求出p到x轴的距离解答：解：不妨设点p（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，由余弦定理得cosf1pf2=，即cos60=，解得，所以，故p到x轴的距离为故选b点评：本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上9（5分）论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足”上述推理用的是演绎推理（在类比推理、归纳推理、演绎推理中选填一项）考点：演绎推理的基本方法 专题：证明题；推理和证明分析：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理是从一般到特殊的推理，题目中所给的这种推理符合演绎推理的形式解答：解：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题目中所给的这种推理符合演绎推理的形式，故答案为：演绎推理点评：本题考查演绎推理的意义，是一个基础题，这种题目可以单独出现，但是单独出现的几率不大，通过这个题目同学们要掌握几种推理的特点，学会选择10（5分）已知正方体abcda1b1c1d1中，点f是侧面cdd1c1的中心，若=+x+y，则xy等于0考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：空间向量及应用分析：如图所示，=，可得，即可得出解答：解：如图所示，=，与=+x+y比较可得x=y=，xy=0故答案为：0点评：本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）观察下列等式：（1+1）=21（2+1）（2+2）=2213（3+1）（3+2）（3+3）=23135照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）（n+n）=2n135（2n1）考点：归纳推理 专题：压轴题；阅读型分析：通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式解答：解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n135（2n1）所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）（n+n）=2n135（2n1）故答案为（n+1）（n+2）（n+3）（n+n）=2n135（2n1）点评：本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题12（5分）求值e|x|dx=2e2考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：利用定积分的运算法则将已知定积分分段然后计算求值解答：解：原式=2e2；故答案为：2e2点评：本题考查了定积分的计算；关键是利用定积分的运算法则将已知定积分分段求值13（5分）设抛物线y2=8x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足如果直线af的斜率为，那么|pf|=8考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线af的斜率得到af方程，与准线方程联立，解出a点坐标，因为pa垂直准线l，所以p点与a点纵坐标相同，再代入抛物线方程求p点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|pf|长解答：解：抛物线方程为y2=8x，焦点f（2，0），准线l方程为x=2，直线af的斜率为，直线af的方程为y=（x2），由可得a点坐标为（2，4）pal，a为垂足，p点纵坐标为4，代入抛物线方程，得p点坐标为（6，4），|pf|=|pa|=6（2）=8故答案为8点评：本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题14（5分）做一个封闭的圆柱形锅炉，容积为v，若两个底面使用的材料与侧面的材料相同，问锅炉的高与底面半径的比为1：2时，造价最低考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：两个底面使用的材料与侧面的材料相同，面积最小，造价最低解答：解：设圆柱的底面半径r，高h，容积为v，则v=r2h，h=s=2r（）6r当且仅当即r=时，s最小即造价最低，此时h=r=2h故答案为：1：2点评：本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，利用基本不等式的关键是要符合其形式，并且要注意验证等号成立的条件三解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（12分）已知命题p：x，a，命题q：xr，x2+4x+a=0若命题“pq”是真命题，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：分别求出命题p，q成立时的a的范围，从而得到“pq”是真命题时的a的范围解答：解：设f（x）=（1xe），则f（x）=，又1xe，1lnx0，即f（x）0，f（x）在递增f（x）max=f（e）=，由已知得，命题p：a，由命题q，有=164a0即a4，又命题“pq”是真命题a且a4成立，即a4，故实数a的取值范围是点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了方程问题，考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题16（12分）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a0）在r上满足f（x）=f（x），当x=1时f（x）取得极值2（1）f（x）的解析式（2）求f（x）的单调区间和极大值考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）由f（x）=f（x）可得d=0，得f（x）=ax3+cx，求出f（x），得方程组，解出即可；（2）由f（x）=x33x得f（x）=3x23，令f（x）=0得x1=1，x2=1，从而求出单调区间，进而求出极值解答：解：（1）f（x）=f（x），f（x）为奇函数，由f（0）=0可得d=0，f（x）=ax3+cx，f（x）=3ax2+c，当x=1时f（x）取得极值2，解方程组得a=1，c=3，故所求解析式为f（x）=x33x（2）由f（x）=x33x得f（x）=3x23，令f（x）=0得x1=1，x2=1，即增区间为（，1），（1，+），减区间（1，1）；当x=1时，函数有极大值2点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的极值问题，属于中档题17（14分）如图，在长方体abcda1b1c1d1中，a1a=，ad=1，dc=2，点e为ab中点（1）求直线a1d与直线ce所成角的余弦值（2）求二面角d1eca的大小考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角 专题：空间角分析：（1）根据异面直线所成角的定义即可求直线a1d与直线ce所成角的余弦值（2）根据二面角的定义求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角d1eca的大小解答：解：（1）连接b1c，b1e，由题意b1ca1d，则b1ce即为直线a1d与直线ce所成角，在长方体中，a1a=，ad=1，dc=2，e为ab中点，有b1c=b1e=，ec=，又在等腰b1ec中，有cosb1ce=，故直线a1d与ce所成角的余弦值为（2）连de，由条件得de=ce=，又dc=2，在dec中，de2+ec2=cd2，deec，又根据已知得d1dec，且d1dde=d，ec平面d1de，d1e平面d1de，ecd1e，d1de即为所求的角在d1de中，tand1de=，又d1de为锐角，d1de=45，故二面角d1eca的大小为45点评：本题主要考查异面直线所成角以及二面角的求解，根据空间角的定义，利用定义法是解决本题的关键考查学生的计算能力18（14分）首项为正数的数列an满足an+1=（an2+3），nn+（1）证明：若a1为奇数，则对一切n2，an都是奇数；（2）若对一切nn+都有an+1an，求a1的取值范围考点：数列递推式；数列的函数特性 专题：计算题；证明题分析：（1）首先在n=1时，知a1为奇数，再利用归纳法证明对一切n2，an都是奇数；（2）先求出an+1an的表达式，利用函数思想求解不等式an+1an0，求出an取值范围，利用归纳法求出a1的取值范围解答：（1）证明：已知a1是奇数，假设ak=2m1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak+1=m（m1）+1是奇数根据数学归纳法，对任何n2，an都是奇数（2）法一：由an+1an=（an1）（an3）知，an+1an当且仅当an1或an3另一方面，若0ak1，则0ak+1=1；若ak3，则ak+1=3根据数学归纳法得，0a110an1，nn+；a13an3，nn+综上所述，对一切nn+都有an+1an的充要条件是0a11或a13法二：由a2=a1，得a124a1+30，于是0a11或a13an+1an=，因为a10，an+1=，所以所有的an均大于0，因此an+1an与anan1同号根据数学归纳法，nn+，an+1an与a2a1同号因此，对一切nn+都有an+1an的充要条件是0a11或a13点评：此题主要考查数学归纳法求解有关数列的问题时的应用19（14分）在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（1，1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于（）求动点p的轨迹方程；（）设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m，n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由考点：轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）设点p的坐标为（x，y），先分别求出直线ap与bp的斜率，再利用直线ap与bp的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点p的轨迹方程；（）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点p的纵坐标的方程，解之即得解答：解：（）因为点b与a（1，1）关于原点o对称，所以点b得坐标为（1，1）设点p的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x1）故动点p轨迹方程为x2+3y2=4（x1）（）解：若存在点p使得pab与pmn的面积相等，设点p的坐标为（x0，y0）则因为sinapb=sinmpn，所以所以即（3x0）2=|x021|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点p使得pab与pmn的面积相等，此时点p的坐标为点评：本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题20（14分）已知函数f（x）=，g（x）=clnx+b，且x=是函数y=f（x）的极值点，直线l是函