高考数学一轮复习 第十章 概率与统计 第五节 用样本估计总体课件 文.ppt

第五节用样本估计总体 总纲目录 教材研读 1 作频率分布直方图的步骤 考点突破 2 频率分布折线图和总体密度曲线 3 茎叶图的优点 考点二茎叶图 考点一频率分布直方图 考点三样本的数字特征 4 样本的数字特征 1 作频率分布直方图的步骤 1 求极差 一组数据中 最大值与 最小值的差 2 决定 组距与 组数 3 将数据 分组 4 列 频率分布表 5 画 频率分布直方图 教材研读 2 频率分布折线图和总体密度曲线 1 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 就得到频率分布折线图 2 总体密度曲线 一般地 随着样本容量的增加 作频率分布直方图时 所分组数增加 组距减小 相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线 3 茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始数据 而且可以随时记录 4 样本的数字特征 1 众数 中位数 平均数 与平均数有关的结论 1 若给定一组数据x1 x2 xn的平均数为 则ax1 ax2 axn的平均数为a 2 若给定一组数据x1 x2 xn的平均数为 则ax1 b ax2 b axn b的平均数为a b 3 若m个数的平均数是x n个数的平均数是y 则这 m n 个数的平均数是 若两组数据x1 x2 xn和y1 y2 yn的平均数分别是和 则x1 y1 x2 y2 xn yn的平均数是 与方差有关的结论 1 若给定一组数据x1 x2 xn 其方差为s2 则ax1 ax2 axn的方差为a2s2 2 若给定一组数据x1 x2 xn 其方差为s2 则ax1 b ax2 b axn b的方差为a2s2 特别地 当a 1时 有x1 b x2 b xn b的方差为s2 这说明将一组数据的每一个数据都加上一个相同的常数 方差是不变的 即不影响数据的波动性 1 2017课标全国 2 5分 为评估一种农作物的种植效果 选了n块地作试验田 这n块地的亩产量 单位 kg 分别为x1 x2 xn 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 a x1 x2 xn的平均数b x1 x2 xn的标准差c x1 x2 xn的最大值d x1 x2 xn的中位数 答案b统计问题中 体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差 故选b b 2 10名工人某天生产同一种零件 生产的件数分别是15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 设其平均数为a 中位数为b 众数为c 则有 a a b cb b c ac c a bd c b a d 答案da 14 7 因为这组数据中 17出现的次数最多 故c 17 这些数据由小到大排列依次是10 12 14 14 15 15 16 17 17 17 因此b 15 所以c b a 3 把样本容量为20的数据分组 分组区间与频数如下 10 20 2 20 30 3 30 40 4 40 50 5 50 60 4 60 70 2 则在区间 10 50 上的数据的频率是 a 0 05b 0 25c 0 5d 0 7 d 答案d由题意知 在区间 10 50 上的数据的频数是2 3 4 5 14 故其频率为 0 7 4 某中学初中部共有110名教师 高中部共有150名教师 其性别比例如图所示 则该校女教师的人数为 a 93b 123c 137d 167 c 5 已知甲 乙两组数据如茎叶图所示 若它们的中位数相同 平均数也相同 则图中的m n a 7b 8c 9d 10 c 答案c根据茎叶图 可得甲组数据的中位数为 21 根据甲 乙两组数据的中位数相等 得乙组数据的中位数为21 20 n 解得n 1 又甲组数据的平均数为 乙组数据的平均数为 22 所以 22 解得m 8 所以m n 9 d 答案d由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22 5小时的频率为1 0 02 0 10 2 5 0 7 则这200名学生中每周的自习时间不少于22 5小时的人数为200 0 7 140 故选d 典例1某大学艺术专业400名学生参加某次测评 根据男女学生人数比例 使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生 记录他们的分数 将数据分成7组 20 30 30 40 80 90 并整理得到频率分布直方图 考点一频率分布直方图命题方向一利用频率分布直方图求频数或频率 考点突破 1 从总体的400名学生中随机抽取一人 估计其分数小于70的概率 2 已知样本中分数小于40的学生有5人 试估计总体中分数在区间 40 50 内的人数 3 已知样本中有一半男生的分数不小于70 且样本中分数不小于70的男女生人数相等 试估计总体中男生和女生人数的比例 典例2某市居民用水拟实行阶梯水价 每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元 立方米收费 超出w立方米的部分按10元 立方米收费 从该市随机调查了10000位居民 获得了他们某月的用水量数据 整理得到如下频率分布直方图 命题方向二利用频率分布直方图求数字特征 1 如果w为整数 那么根据此次调查 为使80 以上居民在该月的用水价格为4元 立方米 w至少定为多少 2 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替 当w 3时 估计该市居民该月的人均水费 解析 1 由用水量的频率分布直方图知 该市居民该月用水量在区间 0 5 1 1 1 5 1 5 2 2 2 5 2 5 3 内的频率依次为0 1 0 15 0 2 0 25 0 15 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85 用水量不超过2立方米的居民占45 依题意 w至少定为3 2 由用水量的频率分布直方图及题意 得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表 根据题意 该市居民该月的人均水费估计为4 0 1 6 0 15 8 0 2 10 0 25 12 0 15 17 0 05 22 0 05 27 0 05 10 5 元 典例3 2017广东惠州第一次调研 某大学生在开学季准确销售一种文具盒进行试创业 在一个开学季内 每售出1盒该产品获得利润30元 未售出的产品 每盒亏损10元 根据历史资料 得到开学季市场需求量的频率分布直方图 如图所示 该同学为这个开学季购进了160盒该产品 以x 单位 盒 100 x 200 表示这个开学季内的市场需求量 y 单位 元 表示这个开学季内经销该产品的利润 命题方向三利用频率分布直方图估计概率 1 根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数 2 将y表示为x的函数 3 根据直方图估计利润y不少于4000元的概率 解析 1 由频率分布直方图得 这个开学季内市场需求量x的众数是150盒 需求量在 100 120 内的频率为0 0050 20 0 1 需求量在 120 140 内的频率为0 0100 20 0 2 需求量在 140 160 内的频率为0 0150 20 0 3 需求量在 160 180 内的频率为0 0125 20 0 25 需求量在 180 200 内的频率为0 0075 20 0 15 则平均数 110 0 1 130 0 2 150 0 3 170 0 25 190 0 15 153 盒 2 因为每售出1盒该产品获得利润30元 未售出的产品 每盒亏损10元 所以当100 x 160时 y 30 x 10 160 x 40 x 1600 当160 x 200时 y 160 30 4800 规律总结解决频率分布直方图问题的要点 1 直方图中各小长方形的面积之和为1 2 直方图中纵轴表示 故每组样本的频率为组距 即矩形的面积 3 直方图中每组样本的频数为频率 总数 1 1某高校从参加今年自主招生考试的1000名学生中随机抽取100名学生的成绩进行统计 得到如图所示的样本频率分布直方图 若规定60分及以上为合格 则估计这1000名学生中合格的人数是 a 600b 650c 700d 750 c 答案c样本中合格的频率是1 0 1 0 2 0 7 故估计这1000名学生中成绩合格的人数是1000 0 7 700 故选c 考点二茎叶图 c 答案c 解析从茎叶图知 a d是正确的 乙运动员的得分较集中 甲运动员得分较分散 故b是正确的 甲运动员得分的平均分为 27 故选c 规律总结茎叶图的应用及注意事项 1 茎叶图的绘制需注意 叶 的每个位置上只有一个数字 而 茎 的每个位置上的数的位数一般不需要统一 重复出现的数据要重复记录 不能遗漏 2 茎叶图通常用来记录两位数的数据 可以用来分析单组数据 也可以用来比较两组数据 通过茎叶图可以确定数据的中位数 数据大致集中在哪块茎 数据分布是否均匀等 b 答案b由茎叶图可知在20名教师中 上学期使用多媒体进行教学的次数在 16 30 内的人数为8 据此可以估计400名教师中 使用多媒体进行教学的次数在 16 30 内的人数为400 160 2 2为了比较两种治疗失眠症的药 分别称为a药 b药 的疗效 随机地选取20位患者服用a药 20位患者服用b药 这40位患者在服用一段时间后 记录他们日平均增加的睡眠时间 单位 h 试验的观测结果如下 服用a药的20位患者日平均增加的睡眠时间 0 61 22 71 52 81 82 22 33 23 52 52 61 22 71 52 93 03 12 32 4服用b药的20位患者日平均增加的睡眠时间 3 21 71 90 80 92 41 22 61 31 41 60 51 80 62 11 12 51 22 70 5 解析 1 设a药观测数据的平均数为 b药观测数据的平均数为 由观测结果可得 0 6 1 2 1 2 1 5 1 5 1 8 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 5 2 3 0 5 0 5 0 6 0 8 0 9 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 4 2 5 2 6 2 7 3 2 1 6 由以上计算结果可得 因此可看出a药的疗效更好 2 由观测结果可绘制如下茎叶图 从以上茎叶图可以看出 a药疗效的试验结果有的叶集中在茎2 3上 而b药疗效的试验结果有的叶集中在茎0 1或茎1 2上 由此可看出a药的疗效更好 考点三样本的数字特征 典例5 1 某项测试成绩满分为10分 现随机抽取30名学生参加测试 得分如图所示 假设得分值的中位数为me 平均值为 众数为m0 则 a me m0 b me m0 c me m0 d m0 me 命题方向一数字特征的计算 2 将某选手的9个得分去掉1个最高分 去掉1个最低分 7个剩余分数的平均分为91 现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊 无法辨认 在图中用x表示 则7个剩余分数的方差为 a b c 36d 答案 1 d 2 b 解析 1 由题图知m0 5 由中位数的定义知me应该是第15个数与第16个数的平均值 由题图知将数据从小到大排 第15个数是5 第16个数是6 所以me 5 5 5 97 5 5 所以m0 me 2 由题意知90 91 得x 4 所以方差s2 4 2 32 1 2 02 1 2 32 02 故选b 典例6 2016课标全国 19 12分 某公司计划购买1台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 命题方向二数字特征的应用 解析 1 当x 19时 y 3800 当x 19时 y 3800 500 x 19 500 x 5700 所以y与x的函数解析式为y x n 2 由柱状图知 需更换的零件数不大于18的频率为0 46 不大于19的频率为0 7 故n的最小值为19 3 若每台机器在购机同时都购买19个易损零件 则这100台机器中有70台在购买易损