高考数学 排列组合 讲义-北京清北学堂.pdf

解排列问题和组合问题时 当问题分成互斥各类时 根据加法原理 可用 分类法 当问题考虑先后次序时 根据乘法原理 可用位置法 这两种方法又称作直接法 当问题的反面简单明了时 可通过求差排除采用间接法求解 另外 排列中 相邻 问题可 以用 捆绑法 分离 问题可能用 插空法 等 解排列问题和组合问题 一定要防止 重复 与 遗漏 教师边讲 边板书 互斥分类 分类法 先后有序 位置法 反面明了 排除法 相邻排列 捆绑法 分离排列 插空法 二 举例 例 1 有 12 个人 按照下列要求分配 求不同的分法种数 1 分为两组 一组 7 人 一组 5 人 2 分为甲 乙两组 甲组 7 人 乙组 5 人 3 分为甲 乙两组 一组 7 人 一组 5 人 4 分为甲 乙两组 每组 6 人 5 分为两组 每组 6 人 6 分为三组 一组 5 人 一组 4 人 一组 3 人 7 分为甲 乙 丙三组 甲组 5 人 乙组 4 人 丙组 3 人 8 分为甲 乙 丙三组 一组 5 人 一组 4 人 一组 3 人 9 分为甲 乙 丙三组 每组 4 人 10 分为三组 每组 4 人 教师慢速连续读一遍例 1 同时要求学生审清题意 仔细分析 周密考虑 独立地求解 这是一个层次分明的排列 组合题 涉及非平均分配 平均分配和排列组合综合 各小题之 间有区别 有联系 便于学生分析 比较 归纳 有利于学生加深理解 提高能力 师 请一位同学说一下各题的答案 只需要列式 生 1 2 3 都是 5 5 7 12C C 4 5 都是 6 6 6 12C C 6 7 8 都是 3 3 4 7 5 12 CCC 9 10 都是 4 4 4 8 4 12 CCC 师 从这个同学的解答中 我们可以看出他对问题的考虑分先后次序 用位置法求解是掌握 了的 但是还请大家审清题意 看 3 与 1 2 5 与 4 8 与 6 7 10 与 9 是否分别相同 有没有出现 重复 和 遗漏 的问题 找班里水平较高的一位学生回答 生 3 和 1 2 5 和 4 8 和 6 7 10 和 9 并不相 同 3 5 8 10 的答案都错了 既出现了 重复 也出现了 遗漏 的问题 3 的答案是 2 2 5 5 3 12 PCC 5 是 2 2 6 6 6 12 P CC 8 是 3 3 3 3 4 7 5 12 PCCC 10 是 3 3 4 4 4 8 4 12 P CCC 师 回答的正确 请说出具体的分析 生 3 把 12 人分成甲 乙两组 一组 7 人 一组 5 人 但并没有指明甲 乙谁是 7 人 谁是 5 人 所以要考虑甲 乙的顺序 再乘以 2 2 P 8 也是同一道理 5 把 12 人分成 两组 每组 6 人 如果是分成甲组 乙组 那么共有 6 6 6 12C C种不同分法 但是 5 只要求平均分 成两组 这样甲 乙组两元素的所有不同排列顺序 甲乙 乙甲共 P22 个就是同一种分组了 所以 5 的答案是 2 2 6 6 6 12 P CC 10 的道理相同 师 分析的很好 我们大家必须认识到 题目中具体指明甲 乙与没有具体指明是有区别的 如果在解题过程中不加以区别 就会出现 重复 和 遗漏 的问题 这是解决排列 组 合题时要特别注意的 例 1 中 1 2 6 7 都是非平均分配问题 虽然 1 6 都没有指出 组名 而 2 7 给出了组名 但是在非平均分配中是一样的 这是因为 2 7 不仅 给出了组名 而且还指明了谁是几个人 这一点上又与 3 8 有差异 3 8 给了 组名却没有指明谁是几个人 题中 4 5 9 10 都属于平均分配问题 在平均分配中 如果没有给出组 名 一定要除以组数的阶乘 如果 12 个人分成三组 其中一组 2 人 另外两组都是 5 人 求所有不同的分法种数 这里 有不平均 一组 2 人 又有平均 两组都是是 5 人 怎么办 生 分两步完成 第一步 12 个人中选 2 人的方法数 C212 第二步 剩下的 10 个人平均分 成两组 每组 5 人的方法数 2 2 5 5 5 10 P CC 根据乘法原理得到 共有 2 2 5 5 5 102 12 P CC C 种不同的分法 师 很好 大家已经理解了不平均分配的 平均分配 以及部分平均分配的计算 部分平均 分配问题先考虑不平均分配 剩下的仍是平均分配 平均分配要商除 这样分配问题已彻底 解决了 请看例题 2 1 6 男 2 女排成一排 2 女相邻 2 6 男 2 女排成一排 2 女不能相邻 3 4 男 4 女排成一排 同性者相邻 4 4 男 4 女排成一排 同性者不能相邻 教师读题 巡视 师 请一位同学说出 1 2 的答案 生甲 N1 2 2 7 7 PP N2 2 2 7 7 8 8 PPP 师 完全正确 他是用捆绑法解决 相邻 问题的 把 2 女 捆绑 在一起看成一组 与 6 男共 7 组 组外排列为 7 7 P 女生组内排列为 2 2 P 得 2 女相邻排法数 N1 2 2 7 7 PP 2 是 用捆 绑法结合排除法来解得 从总体排列 8 8 P中排除 N1得 2 女不相邻的排法数 N2 2 2 7 7 8 8 PPP 教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路 了解分析方法 真正理解解法 师 2 的不相邻的分离排列还有没有其它解法 生乙 可以用插空法直接求解 6 男先排实位 再在 7 个空位中排 2 女 共有 N2 2 7 6 6 PP种 不同排法 师 对于 2 的两种解法思路不同 但殊途同归 结果一样 都是正确的 两种解法解决 分离问题是否都很方便呢 试想 如果 5 男 3 女排成一排 3 女都不能相邻 3 3 6 6 8 8 PPP 与 3 6 5 5 PP一样吗 大家动手计算一下 生 前者是 36 000 后者是 14 400 不一样 肯定有问题 师 3 3 6 6 PP是什么 生 3 女相邻 师 3 女相邻的反面是什么 生 3 3 6 6 8 8 PPP 是 3 女不都相邻 其中有 2 女相邻 不是 3 女都不相邻 师 这一例题说明什么 生 不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些 师 请大家下课后想一想 用捆绑法结合排除法能否解决上述问题 如果能解决 应该怎么 做 我们继续分析和解决 3 4 两小题 N3 4 4 4 4 3 3 PPP N4 4 4 4 4 2PP 板书 3 4 的算式 师 非常正确 4 吸取了 2 的教训 没有用 4 4 4 4 3 3 8 8 PPPP 并且没有简单的用 4 5 4 4 PP 插空 而是考虑到了男 女都要排实位 否则会出现 女男男女男女男女 两男或两女相邻的问题 这时同性不相邻必须男女都排好 即男奇数 位 女偶数位 或者对调 通过对例 2 的讨论和分析 能够帮助学生对于分离排列 排除法以及插空法有更清楚的认 识 只有这样学生才会找到合理的解法 提高分析和解决问题的能力 师 我们再来看一个例题 例 3 某乒乓球队有 8 男 7 女共 15 名队员 现进行混合双打练习 两边都必须是 1 男 1 女 共有多少种不同的搭配方法 教师朗读一遍例 3 后巡视 师 请同学说一下答案 生 N 4 4 2 7 2 8 PCC 板书此式 师 怎么分析的呢 生 每一种搭配都需要 2 男 2 女 先把 4 名队员选出来 有 2 7 2 8C C种选法 然后考虑 4 人的 排法 故乘以 4 4 P 师 选出的 4 名队员做全排列 那么 板书 男 A 男 B 女 A 女 B 行吗 生 不行 有 重复 了 应该乘以什么呢 师 这就需要我们再把问题想想清楚了 当选出 2 男 2 女队员进行混合双打时 有几种搭配 方法呢 板书 男 男女 Aa Bb Ab Ba Ba Ab Bb Aa 以上四种吗 生 不是 与 与 属于同一种 只有 2 种搭配 应该乘以 2 师 这就对了 N 2 7 2 8 2CC 还可以用下面的思路 先在 8 男中选 2 男各据一侧 是排列问 题 有 2 8 P种方法 再在 7 女中选 2 女与之搭配 是组合问题 有 2 7 C种方法 一共有 N 2 7 2 8C P 种搭配方法 解法 1 N 2 7 2 8 2CC 解法 2 N 2 7 2 8C P 师 最后看例 4 例 4 高二 1 班要从 7 名运动员中选出 4 名组成 4 100 米接力队 参加校运会 其中甲 乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种 教师读题 引导分析 师 从 7 人中选 4 人分别安排第一 二 三 四棒这四个不同任务 一定与组合和排列有关 对甲 乙有特殊要求 这就有了不同情况 要分类相加了 先不考虑谁跑哪棒 就说 4 人的 选择有几类情况呢 生 三类 第一类 没有甲乙 有 5 4 C种选法 第二类 有甲没乙或有乙没甲 有 3 5 2C种选 法 第三类 既有甲也有乙 有 2 5 C种选法 师 如果把上述三类选法数相加再乘以 4 4 P行不行 生 不行 对于上面三类不同选法 并不能都有 P44 种安排方法 考虑甲 乙二人都不跑中 间两棒 应有不同的安排方法数是 N 2 2 2 2 2 5 3 3 1 2 3 5 4 4 4 5 2PPCPPCPC 师 第二项中的 3 3 1 2P P是什么意思呢 生 第二类中甲 乙两人只有 1 人选中时 甲 乙 的排法数量是 1 2 P 其他三人的排法数