广西桂林中学高三数学上学期12月月考试卷 理（含解析）.doc

广西桂林中学2015届高三上学期12月 月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1（5分）满足条件m1=1，2，3的集合m的个数是（）a1b2c3d42（5分）已知复数z满足（1+2i3）z=1+2i，则z等于（）abcd3（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）abcd4（5分）已知x，y满足，则2xy的最大值为（）a1b2c3d45（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a2b4c8d166（5分）已知abc中，则cosc的值等于（）a或bcd或7（5分）函数f（x）=asin（x+）（a0，0，0）的图象如图所示，则f（）的值为（）ab0c1d8（5分）已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是（）abcd9（5分）设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别于点m、n，则|mn|的最小值为（）abc1+ln2dln2110（5分）已知abc中，平面内一点p满足=+，若|=t|，则t的值为（）a3bc2d11（5分）设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球半径为r，四面体sabc的体积为v，则r=（）abcd12（5分）直线l过抛物线y2=2px（p0）的焦点，且交抛物线于a，b两点，交其准线于c点，已知，则p=（）a2bcd4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）将5名学生分到a，b，c三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到a宿舍的不同分法有种14（5分）已知sn=4an（nn*） 则通项公式an=15（5分）设的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则的值为16（5分）已知g为abc为重心，a、b、c分别为a、b、c所对的边，若a+b+c=，则a=三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17（10分）已知等比数列an的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，求数列an+bn的前n项和tn18（12分）设函数（）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（）已知abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c若求a的最小值19（12分）如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，o是ac的中点，a1o平面abc，bca=90，aa1=ac=bc（）求证：a1bac1；（）求二面角abb1c的余弦值20（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495，（495，500，（510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设y为重量超过505克的产品数量，求y的分布列（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率21（12分）已知椭圆e：+=1（ab0）的离心率e=，并且经过定点p（，）（）求椭圆e的方程；（）设a，b为椭圆e的左右顶点，p为直线l：x=4上的一动点（点p不在x轴上），连ap交椭圆于c点，连pb并延长交椭圆于d点，试问是否存在，使得sacd=sbcd成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由22（12分）已知函数f（x）=ax2+2xlnx，其中a0（）若函数f（x）在定义域内单调递减，求a的取值范围；（）若a=且关于x的方程f（x）=xb在1，4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围广西桂林中学2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1（5分）满足条件m1=1，2，3的集合m的个数是（）a1b2c3d4考点：并集及其运算 专题：集合分析：先由m1=1，2，3可知集合m必含2和3，是否含1，不确定，则得出两种可能集合，得出答案解答：解：满足条件m1=1，2，3的集合m，m必须包含元素2，3，所以不同的m集合，其中的区别就是否包含元素1那么m可能的集合有2，3和1，2，3，故选：b点评：本题考查集合的并集运算，属于基础题目，较简单，掌握并集的定义即可2（5分）已知复数z满足（1+2i3）z=1+2i，则z等于（）abcd考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件 专题：计算题分析：先求出2i3的值，然后等式两边同乘1+2i，化简求出复数z即可解答：解：（1+2i3）z=1+2i，（12i）z=1+2i所以，（1+2i）（12i）z=（1+2i）（1+2i），5z=3+4i 所以z=故选b点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，利用共轭复数化实数，是本题的关键点，考查计算能力3（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，利用间接法求出其体积解答：解：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，而得到的几何体原正三棱锥的底面边长为2，高为2，体积v1=sh=2=2截去的三棱锥的高为1，体积v2=1=故所求体积为v=v1v2=故选a点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键4（5分）已知x，y满足，则2xy的最大值为（）a1b2c3d4考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，令z=2xy，化为直线方程的斜截式y=2xz，由图可知，当直线过点c（1，0）时，zmax=210=2故选：b点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a2b4c8d16考点：循环结构 专题：算法和程序框图分析：列出循环过程中s与k的数值，不满足判断框的条件即可结束循环解答：解：第1次判断后s=1，k=1，第2次判断后s=2，k=2，第3次判断后s=8，k=3，第4次判断后33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8故选c点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力6（5分）已知abc中，则cosc的值等于（）a或bcd或考点：两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：由cosb的值及b为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinb的值，由sinb大于sina，得到a为锐角，由sina的值求出cosa的值，将cosc变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值解答：解：在abc中，sina=，cosb=，sinb=sina，a为锐角或钝角，cosa=，则cosc=cos（a+b）=cosacosb+sinasinb=+=或故选a点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键7（5分）函数f（x）=asin（x+）（a0，0，0）的图象如图所示，则f（）的值为（）ab0c1d考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：利用y=asin（x+）的部分图象可确定振幅a及周期t，继而可求得=2，利用曲线经过（，2），可求得，从而可得函数解析式，继而可求f（）的值解答：解：由图知，a=2，t=，t=，解得=2，又2+=2k+（kz），=2k+（kz），0，=，f（x）=2sin（2x+），f（）=2sin=故选：d点评：本题考查利用y=asin（x+）的部分图象确定解析式，的确定是关键，考查识图与运算能力，属于中档题8（5分）已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是（）abcd考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：首先求出抛物线的焦点坐标，由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合得到椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且求得半焦距c，然后利用a2=b2+c2求出椭圆的半长轴，则离心率可求解答：解：由抛物线y2=8x，得2p=8，其焦点坐标为f（2，0）因为椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，所以椭圆的右焦点为f（2，0）则椭圆是焦点在x轴上的椭圆，由a2=b2+c2=2+22=6，得所以椭圆的离心率为故选d点评：本题考查了椭圆的简单性质，涉及圆锥曲线离心率的求解问题，一定要找到关于a，c的关系，隐含条件a2=b2+c2的应用是解答该题的关键，此题是基础题9（5分）设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别于点m、n，则|mn|的最小值为（）abc1+ln2dln21考点：两点间距离公式的应用 专题：综合题分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）g（x），再求此函数的最小值，即可得到结论解答：解：设函数y=f（x）g（x）=x2lnx（x0），求导数得y=2x=（x0）令y0，x0，0x函数在（0，）上为单调减函数，令y0，x0，x函数在（，+）上为单调增函数，x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：ln=故所求|mn|的最小值即为函数y的最小值：故选a点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档题10（5分）已知abc中，平面内一点p满足=+，若|=t|，则t的值为（）a3bc2d考点：向量加减混合运算及其几何意义 专题：平面向量及应用分析：在ca上取ce=2ea，过点e作epbc交ab于点p，过点p作pfac交bc于点f，可得，可得点p满足=+，利用平行四边形法则即可得出解答：解：如图所示，在ca上取ce=2ea，过点e作epbc交ab于点p，过点p作pfac交bc于点f，则，点p满足=+，满足|=2|，又|=t|，t=2故选：c点评：本题考查了向量共线定理、平行四边形法则、平行线分线段成比例定理，属于中档题11（5分）设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球半径为r，四面体sabc的体积为v，则r=（）abcd考点：类比推理 专题：探究型分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可解答：解：设四面体的内切球的球心为o，则球心o到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以o为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 r=故选c点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）12（5分）直线l过抛物线y2=2px（p0）的焦点，且交抛物线于a，b两点，交其准线于c点，已知，则p=（）a2bcd4考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出解答：解：过a，b分别作准线的垂线交准线于e，d，|ae|=4，|cb|=3|bf|，且|bf|=|bd|，设|bf|=|bd|=a，则|bc|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，即，故选c点评：熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）将5名学生分到a，b，c三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到a宿舍的不同分法有60种考点：计数原理的应用 专题：应用题；二项式定理分析：以甲单独住，合伙住进行分类，利用分类计数原理可得解答：解：利用分类计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有=12种，第二类，当甲和另一个一起时有=48种，所以共有12+48=60种故答案为：60点评：本题主要考查了分类计数原理，分类是要不重不漏，属于中档题14（5分）已知sn=4an（nn*） 则通项公式an=考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得，当n2时，an=snsn1=（4an）（4an1），由此得到2n1an是首项为1，公差为1的等差数列，从而能求出an=解答：解：sn=4an（nn*），解得a1=1，当n2时，an=snsn1=（4an）（4an1），又211a1=1，2n1an是首项为1，公差为1的等差数列，2n1an=n，an=故答案为：点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用15（5分）设的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则的值为4考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数，再根据x3的系数为a，二项式系数为b，求得a、b的值，可得的值解答：解：的展开式的展开式通项公式为，令，得k=2，即即系数为a=60，二项式系数为b=15，则，故答案为：4点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题16（5分）已知g为abc为重心，a、b、c分别为a、b、c所对的边，若a+b+c=，则a=考点：余弦定理；平面向量的基本定理及其意义 专题：解三角形分析：g为abc为重心可得，代入已知可得a+bc（）=，整理有（ac）+（bc）=，可求a=b=c，由余弦定理可求cosa，从而得解解答：解：因为g为abc为重心，所以 所以，又因为a+b+c=，所以：a+bc（）=，所以（ac）+（bc）=，所以ac=0，bc=0，所以，a=b=c，所以，由余弦定理：cosa=，可得：a=故答案为：点评：本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义，余弦定理的简单应用，属于基本知识的考查三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17（10分）已知等比数列an的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，求数列an+bn的前n项和tn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设出公比，利用已知条件列出关系式，即可求解公比与首项，然后求数列an的通项公式；（2）通过bn=log2an，得到通项公式bn，然后求解数列an+bn的前n项和tn解答：解：（1）设等比数列的公比为q，有，解得a1=2，q=2，所以；（5分）（2）由（1）知，有，从而（10分）点评：本题考查数列通项公式及其前n项和公式的求法，数列求和的方法拆项法的应用，考查计算能力18（12分）设函数（）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（）已知abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c若求a的最小值考点：余弦定理；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域 专题：计算题分析：（）把函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域得到余弦函数的最大值为1，可得出函数f（x）的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得出此时x的范围，即可确定出使f（x）取最大值是x的集合；（）由f（b+c）=，将b+c代入第一问化简后的式子中，利用诱导公式化简后得到cos（2a）的值，由a为三角形的内角，得出2a的范围，利用特殊角的三角函数值求出a的度数，进而确定出cosa的值，再利用余弦定理表示出a2=b2+c22bccosc，利用完全平方公式化简后，将b+c及cosc的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，可得出a的最小值解答：解：（）f（x）=cos（2x）+2cos2x=（cos2xcos+sin2xsin）+（1+cos2x）=cos2xsin2x+1=cos（2x+）+1，（3分）1cos（2x+）1，即cos（2x+）最大值为1，f（x）的最大值为2，（4分）要使f（x）取最大值，cos（2x+）=1，即2x+=2k（kz），解得：x=k（kz），则x的集合为x|x=k（kz）；（6分）（）由题意，f（b+c）=cos2（b+c）+1=，即cos（22a+）=，化简得：cos（2a）=，（8分）a（0，），2a（，），则有2a=，即a=，（10分）在abc中，b+c=2，cosa=，由余弦定理，a2=b2+c22bccos=（b+c）23bc=43bc，（12分）由b+c=2知：bc=1，当且仅当b=c=1时取等号，a243=1，则a取最小值1（14分）点评：此题考查了余弦定理，三角函数的化简求值，余弦函数的图象与性质，基本不等式，两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19（12分）如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，o是ac的中点，a1o平面abc，bca=90，aa1=ac=bc（）求证：a1bac1；（）求二面角abb1c的余弦值考点：二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由已知条件推导出a1obc，从而得到bc平面a1acc1，进而得到ac1bc，再由aa1=ac，得到ac1a1c，由此能证明a1bac1（）以oc为单位长度，建立空间直角坐标系oxyz，利用向量法能求出二面角abb1c的余弦值解答：解：（）因为a1o平面abc，所以a1obc又bcac，所以bc平面a1acc1，所以ac1bc（2分）因为aa1=ac，所以四边形a1acc1是菱形，所以ac1a1c所以ac1平面a1bc，所以a1bac1（5分）（）以oc为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，则a（0，1，0），b（2，1，0），c（0，1，0），c1（0，2，）=（2，2，0），=（0，1，），设=（x，y，z）是面abb1的一个法向量，则=0，=0，即，取x=，得=（，1）同理面cbb1的一个法向量为=（0，1）（10分）因为cos=所以二面角abb1c的余弦值（12分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495，（495，500，（510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设y为重量超过505克的产品数量，求y的分布列（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率考点：频率分布直方图；组合及组合数公式 专题：概率与统计分析：（1）重量超过505克的产品结合频率分布直方图可知有两个部分，求出两矩形的面积，根据重量超过505克的产品数量等于该频率乘以样本容量即可；（2）y的所有可能取值为0，1，2，然后利用组合数分别求出它们的概率，列出分布列即可；（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克，则有两件合格，有三件不合格，利用组合数计算出概率即可解答：解：（1）重量超过505克的产品数量是40（0.055+0.015）=12件；（2）y的所有可能取值为0，1，2；，y的分布列为 y012p（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，重量不超过505克的概为1=；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及组合及组合数公式的应用，属于基础题21（12分）已知椭圆e：+=1（ab0）的离心率e=，并且经过定点p（，）（）求椭圆e的方程；（）设a，b为椭圆e的左右顶点，p为直线l：x=4上的一动点（点p不在x轴上），连ap交椭圆于c点，连pb并延长交椭圆于d点，试问是否存在，使得sacd=sbcd成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知条件推导出且，由此能求出椭圆e的方程（）设p（4，y0），直线ap的方程为：，代