江苏省江浦高级中学高二年级数学阶段性测试试12.doc

江苏省江浦高级中学高二年级数学阶段性测试试题参考答案答题时应写出文字说明、证明或演算步骤.1.设随变量X的概率分布如下表所示，且E(X)=2.5,求a和b.X1234Pab解：由题意得：+ a+ b=1，且 1 +2+3a+4b=2.55分 解得：a= b= 10分。2、已知：的顶点A（1，2），B（3，3），C（2，1），求在矩阵对应的变换下所得图形的面积 解：由， 所以，A，B，C在矩阵变换下变为， 从而可得，可得S=6 10分3、变换T是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换，求曲线在变换T作用下所得的曲线方程【解】变换T所对应变换矩阵为，设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，即，代入 ，即，所以变换后的曲线方程为 10分4、已知圆在矩阵A=对应的变换下变为椭圆，求的值解: 设为圆C上的任意一点，在矩阵对应的变换下变为另一个点，则 ， 2分 所以 4分又因为点在圆C:上，所以 6分所以 ，即 由已知条件可知，椭圆方程为，8分所以 ，因为 所以 。 10分5、已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（）判断直线和圆的位置关系解：（）消去参数，得直线的普通方程为3分，即，两边同乘以得，得的直角坐标方程为6分（）圆心到直线的距离，所以直线和相交10分6、已知曲线，直线将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；设点在曲线上，求点到直线距离的最小值解： -4分设， （其中， 当时， 点到直线的距离的最小值为。 -10分7、已知展开式中偶数项二项式系数和比展开式中奇数项二项式系数和小，求：（1）展开式中第三项的系数;（2）展开式的中间项。解：由题意得 即 ， （1）展开式的第三项的系数为 5分 （2）展开的中间项为10分8、如图，在直三棱柱中，90，30，BC=1， 是棱的中点。（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值。解法一：（1）如图，以B为原点，BA、所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系。则B（0，0，0），（0，2，），A（0，2，0），所以，.所以=0+3-3=0，即.所以5分 （2）因为轴面，所以面的发向量取.设直线AM与平面所成角为，所以所以直线AM与平面所成角的正弦值为10分解法二：（1）因为平面ABC，BCAC，所以分别以CA，CB，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则B（0，1，0），A（，0，0），所以=（，1，）（，0，），所以=0+3-3=0，所以.所以5分 （2）由（1）知，=（0，0，），设面的法向量为，则不妨取设直线AM与平面所成角度为。所以所以直线AM与平面所成角的正弦值为10分9、已知二次曲线，若将其图形绕原点逆时针旋转角后，所得图形的新方程式中不含项，求 解：由已知得旋转变换矩阵M=T：，从而有5分代入原二次曲线方程，得：化间得关于的新方程式：要使其中不含项，必须满足，即，。10分10、一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分甲从暗箱中有放回地依次取出3只球（1）写出甲总得分的分布列；（2）求甲总得分的期望E（）解：（1）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记为甲总得分 ，4分6789P（x）7分 （2）甲总得分的期望E（） 10分11、个人坐在一排个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 个空位只有 个相邻的坐法有多少种?(3) 个空位至多有个相邻的坐法有多少种?解：个人排有种, 人排好后包括两端共有个“间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将个空位安插在上述个“间隔”中,有种插法，故空位不相邻的坐法有种。4分(2)将相邻的个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往个“间隔”里插有种插法,故个空位中只有个相邻的坐法有种。8分(3) 个空位至少有个相邻的情况有三类：个空位各不相邻有种坐法;个空位个相邻，另有个不相邻有种坐法;DOMABC个空位分两组,每组都有个相邻,有种坐法.综合上述,应有种坐法。14分12、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, 底面, ,为的中点.（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求平面与平面所成的二面角的余弦值.解: 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系，则,2分（）设与所成的角为,， , 与所成角的大小为7分（），设平面OCD的法向量为,则，即 ，取,解得 .10分易知 平面OAB的一个法向量为 12分13分由图形知，平面与平面所成的二面角的余弦值为14分13已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败.若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值.（1）求随机变量的数学期望E()；（2）记“函数f(x)= x2x-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P（A）解：（1）由题意知：的可能取值为0，2，4“=0”指的是实验成功2次 ，失败2次；.2分 “=2”指的是实验成功3次 ，失败1次或实验成功1次 ，失败3次； 4分 “=4”指的是实验成功4次 ，失败0次或实验成功0次 ，失败4次；. 6分024P.故随机变量的数学期望E()为.10分（2）由题意知：f(2)f(3)=(3-2)(8-3)，故 .14分，故事件A发生的概率P（A）为.16分14（本小题满分16分）在数列中，已知，(，)（1）当，时，分别求的值，判断是否为定值，并给出证明；（2）求出所有的正整数，使得为完全平方数解：（1）由已知得，所以时，；当时，2分猜想：() 5分下面用数学归纳法证明：当时