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5 3平面向量的平行与垂直及平面向量的应用 高考数学 一 向量平行的判定1 当b 0时 a b的充要条件是 存在实数 使a b 2 已知a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是 x1y2 x2y1 0 3 三点a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 共线的充要条件为 x2 x1 y3 y1 x3 x1 y2 y1 0 二 向量垂直的充要条件1 已知非零向量a b 则a b a b 0 2 已知非零向量a b a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是 x1x2 y1y2 0 知识清单 三 中点公式已知a x1 y1 b x2 y2 则ab中点m的坐标为 四 两点间的距离公式已知a x1 y1 b x2 y2 则 ab 五 几个重要结论1 若a b为不共线向量 则a b a b是以a b为邻边的平行四边形的对角线向量 如图 2 a b 2 a b 2 2 a 2 b 2 3 g为 abc的重心 0 g a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 平面向量与三角函数综合问题的解决方法求解此类问题的关键 1 巧妙 转化 将以向量数量积 向量共线 向量垂直等形式出现的条件转化为对应坐标乘积之间的关系 2 活用 性质 活用三角函数的性质 包括两域 定义域 值域 四性 奇偶性 单调性 周期性 对称性 以及整体换元思想 3 妙用 定理 解三角形问题 应认真分析已知条件中的边角关系 再用正弦定理或余弦定理即可顺利解决 方法技巧 例已知向量m sin2x 2 cosx n 1 2cosx 设函数f x m n 1 求f x 的最小正周期与单调递增区间 2 在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 若f a 4 b 1 abc的面积为 求a的值 解题导引先利用平面向量的数量积 求出函数f x 的解析式 再利用三角公式对函数f x 的解析式进行化简 1 利用三角函数的最小正周期公式 求出f x 的最小正周期 利用三角函数的单调性 求出f x 的单调递增区间 2 由f a 4 可求出角a的值 再利用任意三角形的面积公式 可求出c的值 最后利用余弦定理求a的值 解析因为m sin2x 2 cosx n 1 2cosx 函数f x m n 所以f x sin2x 2 2cos2x sin2x cos2x 3 2sin 3 1 f x 的最小正周期t 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 所以f x 的单调递增区间为 k z 2 因为f a 4 所以2sin 3 4 即sin 由于0 a 所以2a 即a 又因为s abc bcsina 且b
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