【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第15章 选考部分 矩阵与变换教学案 苏教版选修4.doc

选修42矩阵与变换1了解二阶矩阵的概念，了解矩阵与向量乘法的意义，了解几种常见的平面变换2会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法，理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)3了解二阶方阵乘法的意义并理解其运算律，理解逆矩阵的意义及简单性质4会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组，理解线性方程组的存在性、唯一性5理解特征值与特征向量的定义会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)，并能用它来解决问题1二阶方阵左乘向量的运算法则是_，从几何上说，矩阵乘向量的作用是把一个向量变成另一个向量；如果把视为点的坐标，那它就是把平面上的一个点变成另一个点2几种常见的矩阵变换：(1)因为，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵表示_(2)因为，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵表示关于y轴的反射变换；类似地，分别表示关于_、_和_的反射变换(3)因为，该变换把点变成点，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k倍，故矩阵表示y轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵可以用来表示_(4)把点a(x，y)绕着坐标原点旋转角的变换，对应的矩阵是.(5)表示的是沿x轴的切变变换，沿y轴的切变变换对应的矩阵是_；(6)，该变换把所有横坐标为x的点都映射到了点(x，0)，因此矩阵表示的是x轴上的投影变换类似地，表示的是_上的投影变换3假设矩阵a，b，则矩阵a和矩阵b的乘积ab.4在交换律、结合律、消去律中，矩阵运算满足_律，即_；而通常不满足交换律和消去律5对平面上任意一个向量a，依次实施两次变换f和g，使之最终对应于向量a，我们称之为变换f和变换g的_记作agf(a)，如果变换f和g分别对应矩阵a和b，则有ab(aa)(ba)a，我们称ba是矩阵b与矩阵a的_6设以原点为中心，旋转角为的旋转变换f对应于矩阵a，则a_，如果向量a在变换f的作用下对应到向量a，那么应该对向量a实施一个变换f：以原点为中心，旋转角为的旋转变换，方可使之对应到向量a.变换f相应的矩阵b_.7如果对于线性变换f，存在着一个线性变换f，使得_，则称变换f可逆，并称f是变换f的_类比到矩阵，如果和变换f和f相应的矩阵分别是二阶方阵a、b，有_我们称矩阵a可逆，并称b是a的_，记作ba1.8并不是每一个二阶方阵都是可逆的，矩阵a可逆的充要条件是它对应的行列式|a|满足_，且a1_.9逆矩阵具有两个重要的性质：(1)_；(2)_10关于变量x，y的二元一次方程组(其中a，b，c，d均为常数)，写成矩阵形式可以表达成_；从线性变换的角度看，该方程组表示向量通过矩阵对应的变换的作用后对应到向量.11因为每一个二元一次方程组都可以用矩阵表示成，如果矩阵a可逆，则方程组的解可以表示成_12对于给定矩阵m，如果存在一个非零向量a和实数，使得_，则称是矩阵m的特征值，a是矩阵m的属于特征值的特征向量13矩阵m有特征值的充要条件是_14如果矩阵m有特征值和属于特征值的特征向量a，则可以得到以下两个重要的结论：(1)mta_；(2)mna_(其中nn*)1若点a(2,2)在矩阵m对应变换的作用下得到的点为b(2,2)，求矩阵m的逆矩阵2(2012江苏泰州第一学期期末)已知矩阵a，b，求满足axb的二阶矩阵x.3已知为矩阵a属于的一个特征向量，求实数a，的值及a2.1如何求两个矩阵乘积的逆矩阵？提示：求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法，即先求乘积ab，再求逆矩阵(ab)1；也可利用性质(ab)1b1a1求解，但要注意顺序，不能误以为其逆矩阵是a1b1.2是不是所有的二阶矩阵都存在逆矩阵？矩阵的乘法满足什么运算律？提示：并不是所有的二阶矩阵都存在逆矩阵，有些二阶矩阵是不可逆的矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律与消去律一、二阶矩阵与平面向量的乘法【例1】在平面直角坐标系xoy中，设椭圆4x2y21在矩阵a对应的变换作用下得到曲线f，求f的方程方法提炼二阶矩阵a与平面向量的乘积仍然是一个平面向量，它的第一个分量为a的第一行的元素与的对应位置元素乘积的和，第二个分量为a的第二行的元素与的对应位置元素乘积的和请做针对训练1二、线性变换的基本性质【例2】(2012江苏南京三模)已知曲线c：x2y21，对它先作矩阵a对应的变换，再作矩阵b对应的变换，得到曲线c：y21.求实数b的值方法提炼二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或点)请做针对训练2三、逆变换与逆矩阵【例3】已知矩阵a.(1)求出矩阵a的逆矩阵a1；(2)a决定的线性变换a将哪一个点变换到点(3,1)?方法提炼1设a是一个二阶矩阵，如果a是可逆的，则a的逆矩阵是唯一的此时，记a的逆矩阵为a1，则有a1aaa1，可通过解线性方程组确定a1中的各个值，从而求得a1.2矩阵的行列式adbc，如果adbc0，则矩阵存在逆矩阵3矩阵的逆矩阵为.请做针对训练3四、特征值与特征向量【例4】(2012江苏扬州第一学期期末)求矩阵m的特征值和特征向量方法提炼1a是一个二阶矩阵，则f()2(ad)adbc称为a的特征多项式2矩阵m的特征值满足(a)(d)bc0，属于的特征向量满足m.请做针对训练4矩阵与变换以初中数学知识为基础，以二阶矩阵为研究对象，通过平面图形的变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性，题目难度适中1已知矩阵a，向量，求向量，使得a2.2如图，矩形oabc的顶点o(0,0)，a(2,0)，b(2，1)，c(0，1)将矩形oabc绕坐标原点o旋转180得到矩形oa1b1c1；再将矩形oa1b1c1沿x轴正方向作切变变换，得到平行四边形oa1b2c2，且点c2的坐标为(，1)求此矩形oabc变为平行四边形oa1b2c2的线性变换对应的矩阵3设矩阵m(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩阵m的逆矩阵m1；(2)若曲线c：x2y21在矩阵m所对应的线性变换作用下得到曲线c：y21，求a，b的值4(2012江苏盐城二模)已知二阶矩阵a将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵a.参考答案基础梳理自测知识梳理1.2(1)恒等变换(2)x轴直线yx直线yx(3)水平伸缩变换(5)(6)y轴4结合a(bc)(ab)c5复合变换乘积6.7ffffi(i是恒等变换)逆变换abbae2逆矩阵8|a|adbc09(1)如果矩阵a可逆，则a1是唯一的(2)(ab)1b1a110.11.112maa13方程0有解14(1)ta(2)na基础自测1解：m，即，所以解得所以m.由m1m，得m1.2解：由题意得a1.因为axb，所以xa1b.3解：由条件可知，所以解得a2.因此a，所以a2.考点探究突破【例1】 解：设p(x0，y0)是椭圆上任意一点，点p(x0，y0)在矩阵a对应的变换下变为点p(x0，y0) ，则有 ，即所以 又因为点p在椭圆上，故4xy1，从而(x0)2(y0)21. 所以曲线f的方程为 x2y21.【例2】 解：从曲线c1变到曲线c2的变换对应的矩阵为ba.在曲线c1上任意选一点p(x0，y0)，设它在矩阵ba对应的变换作用下变为p(x，y)，则有，即.故解得代入曲线c1的方程得，y221，即曲线c2的方程为2x2y21.与已知的曲线c2的方程y21比较得(2b)24.所以b1.【例3】解：(1)方法一：a的行列式2，a1.方法二：设a的逆矩阵为a1，由aa1得解得所以a1.(2)设a决定的线性变换a将点(x，y)变到(3,1)则，a决定的线性变换a将点变到(3,1)【例4】解：由题意知，f()(1)(6)82514(7)(2)，由f()0可得17，22.由可得属于17的一个特征向量为.由可得属于22的一个特征向量为.所以矩阵m的特征值和特征向量分别为17，或22，.演练巩固提升针对训练1解：a2.设.由a2，得，从而解得所以.2解法一：设矩阵m对应的变换将矩形oabc变为矩形oa1b1c1，则m.设矩阵n对应的变换将矩形oa1b1c1变为平行四边形oa1b2c2.可设矩阵n(k0)，因为点c2的坐标为(，1)，所以，解得k.所以n.将矩形oabc变换为平行四边形oa1b2c2的线性变换对应的矩阵为nm，nm，因此将矩形oabc变换为平行四边形oa1b2c2的线性变换对应的矩阵为.解法二：因为矩形oa1b1c1是矩形oabc绕原点o旋转180得到的，所以a1(2,0)，b1(2,1)，c1(0,1)又矩形oa1b1c1沿x轴正方向作切变变换得到平行四边形oa1b2c2，且c2的坐标为(，1)，所以点b2的坐标为(2,1)设将矩形oabc变为平行四边形oa1b2c2的线性变换对应的矩阵为，则，所以得因此所求矩阵为.3解：(1)设矩阵m的