【步步高】（四川专用）高三数学大一轮复习讲义 8.1空间几何体的结构、三视图和直观图 理 新人教A版.DOC

8.1空间几何体的结构、三视图和直观图2014高考会这样考1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；2.考查三视图、直观图及其应用复习备考要这样做1.重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型；2.熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图1 多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似2 旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到3 空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图4 空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点o，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点o，且使xoy45(或135)(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x轴、y轴(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半(4)在已知图形中过o点作z轴垂直于xoy平面，在直观图中对应的z轴也垂直于xoy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度不变难点正本疑点清源1正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形2正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心3三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法1 利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是_(写出所有正确的序号)三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；圆的直观图是椭圆；菱形的直观图是菱形答案解析正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故错；正确；中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误2 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱答案解析存在可以得正视图为三角形的情况；四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得正视图为三角形；三棱柱，把侧面水平放置，正对着底面看，得正视图为三角形；四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；圆锥的底面水平放置，正视图是三角形；圆柱从不同方向看是矩形或圆，不可能是三角形3 用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()a圆柱 b圆锥c球体 d圆柱、圆锥、球体的组合体答案c解析当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面4 (2012湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案c解析根据几何体的三视图知识求解由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是c.5. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是 ()答案b解析通过观察图形，三棱锥的正视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形题型一空间几何体的结构特征例1设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_思维启迪：利用有关几何体的概念判断所给命题的真假答案解析命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的探究提高解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可 以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()a0 b1 c2 d3答案b解析命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题错，因这腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行题型二几何体的三视图例2如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 ()思维启迪：对于三视图的有关问题，一定要抓住“投影”这个关键词，把握几何体的形状答案c解析若该几何体的俯视图是选项a，则该几何体的体积为1，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项b，则该几何体的体积为，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项c，则该几何体的体积为，满足题意；若该几何体的俯视图是选项d，则该几何体的体积为，不满足题意故选c.探究提高对于几何体的三视图，要注意以下几点：三视图的排放位置正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边注意实虚线的区别画三视图的规则：长对正，宽平齐，高相等 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为 ()答案c解析由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为c.题型三空间几何体的直观图例3已知abc的直观图abc是边长为a的正三角形，求原abc的面积思维启迪：按照直观图的画法，建立适当的坐标系将三角形abc还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注意线段和角的变化规律解建立如图所示的坐标系xoy，abc的顶点c在y轴上，ab边在x轴上，把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，在y轴上取点c使oc2oc，a、b点即为a、b点，长度不变已知abaca，在oac中，由正弦定理得，所以ocaa，所以原三角形abc的高oca，所以sabcaaa2.探究提高对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积s与其直观图面积s之间的关系ss，并能进行相关问题的计算 正三角形aob的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xoy，则它的直观图的面积是_答案a2解析正三角形aob的面积为a2，其直观图的面积为原图形面积的倍，故它的直观图的面积等于a2a2.三视图识图不准确致误典例：(4分)一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是_易错分析不能把三视图反映出的空间几何体的形状、大小准确的还原出来审题视角由三视图还原成直观图或几何体，要注意几何体的不同放置；结合三视图的规则综合考虑，正确得到原几何体解析这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个表面积是212212224244.答案44温馨提醒在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑方法与技巧1 棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决2 旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状3 三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”4 直观图画法：平行性、长度两个要素失误与防范1台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行2注意空间几何体的不同放置对三视图的影响3能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 给出四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是 ()a0 b1 c2 d3答案a解析反例：直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误，故选a.2 (2012福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()a球 b三棱锥 c正方体 d圆柱答案d解析考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项a和c.对于如图所示三棱锥oabc，当oa、ob、oc两两垂直且oaoboc时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项b.不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选d.3 (2011课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 ()答案d解析由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选d.4 如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()答案d解析由俯视图可知是b和d中的一个，由正视图和侧视图可知b错二、填空题(每小题5分，共15分)5 一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为_答案解析由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为的三角形，所以原三角形的面积为.6. 如图所示，e、f分别为正方体abcda1b1c1d1的面add1a1、面bcc1b1的中心，则四边形bfd1e在该正方体的面dcc1d1上的投影是_(填序号)答案解析四边形在面dcc1d1上的投影为，b在面dcc1d1上的投影为c，f、e在面dcc1d1上的投影应在边cc1与dd1上，而不在四边形的内部，故错误7 图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h_cm.答案4解析如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中sa平面abc，baac.由于vsabch56h5h，5h20，h4.三、解答题(共22分)8 (10分)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积解这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为s1222(12)2(24)3.9 (12分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高解如图所示，正三棱台abca1b1c1中，o、o1分别为两底面中心，d、d1分别为bc和b1c1的中点，则dd1为棱台的斜高由题意知a1b120，ab30，则od5，o1d1，由s侧s上s下，得(2030)3dd1(202302)，解得dd1，在直角梯形o1odd1中，o1o4，所以棱台的高为4 cm.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2011山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图其中真命题的个数是 ()a3 b2c1 d0答案a解析底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此正确；当圆柱侧放时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此正确2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为()答案c解析依题意可知该几何体的直观图如下图所示，故其俯视图应为c.3 在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，过对角线bd1的一个平面交aa1于e，交cc1于f，得四边形bfd1e，给出下列结论：四边形bfd1e有可能为梯形；四边形bfd1e有可能为菱形；四边形bfd1e在底面abcd内的投影一定是正方形；四边形bfd1e有可能垂直于平面bb1d1d；四边形bfd1e面积的最小值为.其中正确的是()a bc d答案b解析四边