【科学备考】（新课标）高考数学二轮复习 第六章 数列 等比数列的综合与应用 理（含试题）.docVIP

【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第六章 数列 等比数列的综合与应用 理（含2014试题）理数1. (2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于()a.6b.5c.4d.3答案 1.c解析 1.由题意知a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10,数列lg an的前8项和等于lg a1+lg a2+lg a8=lg(a1a2a8)=lg(a4a5)4=4lg(a4a5)=4lg 10=4.故选c.2. (2014重庆,2,5分)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是()a.a1,a3,a9成等比数列b.a2,a3,a6成等比数列c.a2,a4,a8成等比数列d.a3,a6,a9成等比数列答案 2.d解析 2.不妨设公比为q,则=q4,a1a9=q8,a2a6=q6,当q1时,知a、b均不正确;又=q6,a2a8=q8,同理,c不正确;由=q10,a3a9=q10,知d正确.3. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，6) 等比数列满足，且，则当时，( ) a. b . c. d. 答案 3. a解析 3. 根据等比数列的性质可得，解得，当n=1时，也适合上式，所以，所以.4. (2014福州高中毕业班质量检测, 5) 已知等比数列的前项积为若，则( ) a. 512b. 256c. 81d. 16答案 4. a解析 4. 因为数列是等比数列，所以，所以.5. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，6) 已知等比数列 的前项和为 , 且，则（ ）a. b. c. d. 答案 5. c解析 5. ，.6. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，9) 等比数列中，若，则的值是（ ）a. b. c. d. 答案 6. b解析 6. 依题意，所以.7.(2014湖北八市高三下学期3月联考，3) 等比数列an的各项均为正数，且，则log3 a1+log3a2+log3 al0=( ) a12 b10 c8 d2+log3 5答案 7. b解析 7.由题意可知，又得，而8.(2014周宁、政和一中第四次联考，10) 已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数满足 考察下列结论：；为偶函数；数列为等比数列；数列为等差数列. 其中正确的结论是( )abcd答案 8. d解析 8. 令，则；令，则，故正确；，是上的奇函数，故不正确；，由此类推，（共个），数列为等比数列，故正确，由，数列为等差数列，故正确.故正确的有.9. (2014周宁、政和一中第四次联考，6) 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）a. 3b. 2c. 1d. 答案 9. b解析 9. ，顶点坐标为，又成等比数列，.10. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 4) 设为数列的前项和，已知，若，则（ ）a. 512b. 16c. 64d. 256答案 10. d解析 10. 由，则，数列从第二项起是等比数列，.11. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 6) 已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（ ）a. 1b. 2c. 4d. 8答案 11. d解析 11.等差数列的各项不为0，且满足，即，解得或（舍去），又，又数列是等比数列，.12. (2014广东,13,5分)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20=_.答案 12.50解析 12.因为等比数列an中,a10a11=a9a12,所以由a10a11+a9a12=2e5,可解得a10a11=e5.所以ln a1+ln a2+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50.13.(2014安徽,12,5分)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=_.答案 13.1解析 13.设an的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5).(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)(a1+1)+4(d+1),(a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1),d=-1,a3+3=a1+1,公比q=1.14.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是_.答案 14.4解析 14.由a8=a6+2a4,两边都除以a4,得q4=q2+2,即q4-q2-2=0(q2-2)(q2+1)=0,q2=2.a2=1,a6=a2q4=122=4.15.(2014天津,11,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,sn为其前n项和.若s1,s2,s4成等比数列,则a1的值为_.答案 15.-解析 15.s1=a1,s2=2a1-1,s4=4a1-6.故(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.16.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，11）正项等比数列中，则答案 16. 12解析 16. .17. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，12) 设等比数列的公比q=2，前n项和为sn，则= 。答案 17. 解析 17. .18. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，10）在等比数列中，, 若为等差数列，且, 则数列的前5项和等于_. 答案 18.10解析 18. 由得(舍) 或。从而，所以.19. (2014广东广州高三调研测试，9) 在等比数列中，若，则_. 答案 19.3解析 19. 由已知可得，所以，即.20.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 12) 设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为 答案 20. 129解析 20. 设数列的首项为，公比为，由已知得，解得或，当时，与矛盾，舍去，解得，.21. (2014重庆七校联盟, 12) 数列的前项和为，且，则的通项公式_答案 21. 解析 21. 由，当时，即，数列是首项为1，公比为2的等比数列，.22.(2014广州高三调研测试, 9) 在等比数列中，若，则 答案 22. 3解析 22. 数列为等比数列，即.23. (2014兰州高三第一次诊断考试, 16) 数列的首项为1，数列为等比数列且，若，则 . 答案 23. 解析 23. 由，且，得，即，即，数列为等比数列，.24.(2014浙江,19,14分)已知数列an和bn满足a1a2a3an=(nn*).若an为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.()求an与bn;()设cn=-(nn*).记数列cn的前n项和为sn.(i)求sn;(ii)求正整数k,使得对任意nn*均有sksn.答案 24.查看解析解析 24.()由题意a1a2a3an=(,b3-b2=6,知a3=(=8.又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列an的通项为an=2n(nn*),所以,a1a2a3an=()n(n+1).故数列bn的通项为bn=n(n+1)(nn*).()(i)由()知cn=-=-(nn*),所以sn=-(nn*).(ii)因为c1=0,c20,c30,c40;当n5时,cn=,而-=0,得1,所以,当n5时,cn0.综上,对任意nn*,恒有s4sn,故k=4.25.(2014山东,19,12分)已知等差数列an的公差为2,前n项和为sn,且s1,s2,s4成等比数列.()求数列an的通项公式;()令bn=(-1)n-1,求数列bn的前n项和tn.答案 25.查看解析解析 25.()因为s1=a1,s2=2a1+2=2a1+2,s4=4a1+2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.()bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,tn=-+-=1-=.当n为奇数时,tn=-+-+=1+=.所以tn=26.(2014天津,19,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合m=0,1,2,q-1,集合a=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xim,i=1,2,n.()当q=2,n=3时,用列举法表示集合a;()设s,ta,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,bim,i=1,2,n.证明:若anbn,则st.答案 26.查看解析解析 26.()当q=2,n=3时,m=0,1,a=x|x=x1+x22+x322,xim,i=1,2,3.可得,a=0,1,2,3,4,5,6,7.()证明:由s,ta,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,bim,i=1,2,n及anbn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1(q-1)+(q-1)q+(q-1)qn-2-qn-1=-qn-1=-10.所以st.27.(2014课标全国卷,17,12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.()证明是等比数列,并求an的通项公式;()证明+.答案 27.查看解析解析 27.()由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.an+=,因此an的通项公式为an=.()由()知=.因为当n1时,3n-123n-1,所以.于是+1+=.所以+.28. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，22) 已知数列中，, 点在直线上，其中. （1）令，求证数列是等比数列;（2）求数列的通项； 设分别为数列的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出. 若不存在, 则说明理由.答案 28.查看解析解析 28.解：（i）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列. 4分（ii）由（i）知，将以上各式相加得： 8分（iii）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列. 14分解法二：存在，使数列是等差数列.由（i）、（ii）知，又当且仅当时，数列是等差数列. 14分29. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，17) 已知等差数列中，；是与的等比中项（）求数列的通项公式：（）若求数列的前项和答案 29.查看解析解析 29.（）因为数列是等差数列，是与的等比中项所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或. （6分)（）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以. （13分）30.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试，18) 已知数列的前项和，等差数列中，且公差.（）求数列、的通项公式；（）是否存在正整数，使得 若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.答案 30.查看解析解析 30.（）时，相减得：，又，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，. （6分）（）令得：，即，当，当。的最小正整数为4. （12分）31. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，19) 已知点的图象上一点，等比数列的首项为，且前项和() 求数列和的通项公式；() 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？答案 31.查看解析解析 31.解：() 因为，所以，所以，又数列是等比数列，所以，所以，又 公比，所以，因为，又，所以，所以，所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，所以，当时，所以. （6分）() 由() 得，（10分）由得，满足的最小正整数为72. （12分）32. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，20）设数列的前项和为, 已知，. () 求的值；() 求数列的通项公式；证明：对一切正整数，有.答案 32.查看解析解析 32.() 依题意, , 又, 所以；(3分) () 当时, ,两式相减得(5分)整理得, 即,所以，(6分)又因为且， 所以 ，故数列是首项为, 公比为的等比数列,所以, 所以.() 因为当时, ，(10分)当时, ；(考生易漏)当且为奇数时, 令(),；当为偶数时, 令(), 此时， 综上, 对一切正整数, 有. (14分)33. (2014广东广州高三调研测试，19) 已知数列满足，. () 求证：数列为等比数列；() 是否存在互不相等的正整数，使，成等差数列，且，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，；如果不存在，请说明理由.答案 33.查看解析解析 33.解：() 因为，所以.所以.因为，则.() 由() 知，所以.假设存在互不相等的正整数，满足条件，则有由与，得. （10分）即.因为，所以.因为，当且仅当时等号成立，这与，互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数，满足条件. （14分）34. (2014北京东城高三第二学期教学检测，20) 在数列，中，且成等差数列，成等比数列（）. （）求，及，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：.答案 34.查看解析解析 34.（）由条件得，由此可得.猜测. （4分）用数学归纳法证明：当时，由上可得结论成立.假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由，可知对一切正整数都成立. （7分）（）因为.当时，由（）知.所以.综上所述，原不等式成立. (12分）35.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，17) 数列满足，等比数列满足.（）求数列，的通项公式；（）设，求数列的前项和.答案 35.查看解析解析 35.（）由，所以数列是等差数列，又，所以，由，所以，所以，即，所以. （6分) （）因为，所以，则，所以，两式相减的，所以. (12分）36. （2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，20）已知各项均为正数的数列满足, 且, 其中. () 求数列的通项公式；() 设数列满足，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.答案 36.查看解析解析 36.() 因为, 即，又, 所以有, 即,所以数列是公比为的等比数列.由得, 解得.从而，数列的通项公式为. （6分）() =，若成等比数列，则，即由，可得，所以，解得：。又，且，所以，此时故当且仅当，. 使得成等比数列. （12分）37.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，17）已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，其中 （1）求的通项公式； （2）令求的前20项和。答案 37.查看解析解析 37.38. (2014广西桂林中学高三2月月考，20) 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记() 求数列的通项公式；() 记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有答案 38.查看解析解析 38.() 当时，即，又，所以，即，所以数列呈等比数列，其首项为，公比，所以，. （6分）（）由（）知， （7分） = ，（9分）又当当. （12分）39.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，18）已知数列的前项和是，且（）求数列的通项公式；（）设，求使成立的最小的正整数的值答案 39.查看解析解析 39. （1） 当时，由， 1分 当时， 是以为首项，为公比的等比数列 4分 故 6分（2）由（1）知， 8分 ， 故使成立的最小的正整数的值. 12分40. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，20) 已知数列的前项和为，且. （）求数列的通项公式；（）设，求使恒成立的实数的取值范围.答案 40.查看解析解析 40.解：（i）由可得，1分， ，即， 3分数列是以为首项，公比为的等比数列，. 5分（）7分 8分由对任意恒成立，即实数恒成立；设，当时，数列单调递减，时，数列单调递增；10分又，数列最大项的值为 12分41.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，17)已知为锐角，且，函数，数列的首项，.（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和答案 41.查看解析解析 41. （1）由， 是锐角， （2），, （常数）是首项为, 公比的等比数列, ，42.(2014湖北武汉高三2月调研测试，18) 已知数列an满足a10，an12|an|，nn*（）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；（）是否存在a1，使数列an为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由答案 42.查看解析解析 42.解：（）a10，a22|a1|2a1，a32|a2|2|2a1|当0a12时，a32(2a1) a1，a(2a1) 2，解得a11当a12时，a32(a12) 4a1，a1(4a1) (2a1) 2，解得a12（舍去）或a12综上可得a11或a126分（）假设这样的等差数列存在，则由2a2a1a3，得2(2a1) a1(2|2a1|) ，即|2a1|3a12当a12时，a123a12，解得a10，与a12矛盾；当0a12时，2a13a12，解得a11，从而an1（nn*），此时an是一个等差数列；综上可知，当且仅当a11时，数列an为等差数列12分43.(2014湖北八市高三下学期3月联考，18) 己知各项均不相等的等差数列an的前四项和s4=14，且a1，a3，a7成等比数列 （i）求数列an的通项公式； （ii）设tn为数列的前n项和，若tn对恒成立，求实数的最小值答案 43.查看解析解析 43. （）设公差为d. 由已知得3分解得，所以6分（），9分 对恒成立，即对恒成立 又 的最小值为12分44. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），18) 已知数列前项和为，首项为，且，成等差数列. （）求数列的通项公式； （ii）数列满足，求证：，答案 44.查看解析解析 44. （）成等差数列, ，当时，,两式相减得： .所以数列是首项为，公比为2的等比数列，. （6分） () ， （8分）， . （12分）45. (2014重庆七校联盟, 22) 设数列an 的前项和为，满足，且，成等差数列 （）求，的值； （）求证：数列是等比数列 （）证明：对一切正整数，有答案 45.查看解析解析 45. 解析 （）因为，成等差数列，所以，当时，当时，解方程组得， （3分） （）由，得，两式相减得，所以是首项为3，公比为3的等比数列（7分）（）由，又，即，所以当时，两边同时相乘得，所以（12分）46. (2014天津七校高三联考, 19) 已知数列满足，其中为数列的前项和() 求的通项公式；() 若数列满足： () ，求的前项和公式.答案 46.查看解析解析 46. () ， 得，又时，. （5分）() ，两式相减得，. （13分）47. (2014天津七校高三联考, 15) 已知是一个公差大于0的等差数列，且满足（）求数列的通项公式；（）若数列和等比数列满足等式：（为正整数）求数列的前项和.答案 47.查看解析解析 47. 解析 （）设等差数列的公差为，则依题设，由，得由得 （3分）由得将其代入得，即，即，又，则代入得，. （8分）（）由于数列，是等比数列，故数列的前项和为. （13分）48. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，17) 已知数列的前项和为，且. （）求数列的通项公式；（）设数列满足，求数列的前项和.答案 48.查看解析解析 48. 解析 （）当时，又当时，. (6分） （），. （12分）49. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 20) 已知各项均为正数的数列满足，且，其中. （）求数列的通项公式； （）设数列满足是否存在正整数、（），使得成等比数列？若存在，求出所有的、的值，若不存在，请说明理由.答案 4