三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的单调性与最值(值域)课件.ppt

2 2函数的单调性与最值 值域 1 函数的单调性 1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的 两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 则f x 在区间d上是减函数 2 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是增函数或减函数 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间d叫做f x 的单调区间 任意 2 判断函数单调性的方法 1 定义法 利用定义严格判断 2 利用函数的运算性质 若f x g x 为增函数 则在公共定义域内 1 f x g x 为增函数 2 为减函数 f x 0 3 为增函数 f x 0 4 f x g x 为增函数 f x 0 g x 0 5 f x 为减函数 3 奇函数在两个关于原点对称的区间内单调性相同 偶函数在两个关于原点对称的区间内单调性相反 4 导数法 利用导数理论研究函数的单调性 5 图象法 6 复合函数的单调性如果y f 和 g x 单调性相同 则y f g x 为增函数 如果y f 和 g x 单调性相反 则y f g x 为减函数 3 函数的最值 1 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m 满足 a 对于任意的x i 都有f x m b 存在x0 i 使得f x0 m 则称m是f x 的最大值 2 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m 满足 a 对于任意的x i 都有f x m b 存在x0 i 使得f x0 m 则称m是f x 的最小值 4 对函数单调性的理解 1 单调性是与 区间 紧密相关的概念 一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性 即使一个函数在几个不同的区间上具有相同的单调性 这些区间也应该用 隔开写 而不能用 连接 如函数y 分别在 0 0 内单调递减 但不能说它在整个定义域 即 0 0 上单调递减 2 函数的单调区间是函数定义域的非空子集 求函数的单调区间必须先确定函数的 求函数单调区间的运算必须在函数定义域内进行 3 函数的单调性定义中的x1 x2有三个特征 一是任意性 二是有大小 即x 定义域 1x2 三是同属于一个单调区间 三者缺一不可 4 函数单调性的作用在于 已知函数f x 的单调性 则可使自变量x1 x2的大小关系与函数值f x1 f x2 的大小关系相互转化 如已知f x 为增函数 则x1 x2 f x1 f x2 5 将较为复杂的函数分解为一些基本初等函数的组合 则利用基本初等函数的单调性就可快速判断复杂函数的单调性 1 下列函数中 在区间 1 上为增函数的是 a y x 1b y c y x 1 2d y 31 x答案b函数y 在 1 上是增函数 故选b c 2 2015浙江富阳中学期中 若函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上单调递减 则a的取值范围是 a 3 b 3 c 3 d 3 答案b函数f x x2 2 a 1 x 2的图象的对称轴为直线x 1 a 要使函数f x 在区间 4 上单调递减 只需1 a 4 所以a 3 故选b c 3 已知y loga 2 ax 在 0 1 上是减函数 则a的取值范围是 a 0 1 b 1 2 c 0 2 d 2 答案b令u 2 ax a 0且a 1 y loga 2 ax 在 0 1 上是减函数 a 1且u 0在 0 1 上恒成立 umin 2 a 0 即a 2 1 a 2 故选b c 4 若f x 是r上的单调递增函数 则实数a的取值范围为 a 1 b 4 8 c 4 8 d 1 8 答案b依题意得解得4 a 8 故选b c 5 已知实数x y满足3x2 2y2 6x 则x2 y2的最大值为 a b 4c 5d 2答案b由3x2 2y2 6x得y2 3x x2 所以x2 y2 x2 3x x2 x 3 2 由y2 3x x2 0 解得0 x 2 令f x x 3 2 则当x 2时f x 取最大值4 即x2 y2的最大值为4 故选b c 6 求函数f x log2 x 2 在区间 1 1 上的最大值 解析y 在 1 1 上为减函数 y log2 x 2 在 1 1 上为增函数 所以f x log2 x 2 在 1 1 上为减函数 所以函数的最大值为f 1 3 c 函数单调性的判断及单调区间的求解典例1 2014北京 2 5分 下列函数中 在区间 0 上为增函数的是 a y b y x 1 2c y 2 xd y log0 5 x 1 答案a解析y x 1 2仅在 1 上为增函数 排除b y 2 x 为减函数 排除c 因为y log0 5t为减函数 t x 1为增函数 所以y log0 5 x 1 为减函数 排除d y 和t x 1均为增函数 所以y 为增函数 故选a c 1 1 2015浙江镇海中学阶段测试 16 10分 求函数y lox 2 4lox 3在区间上的单调区间 解析原函数由函数f u u2 4u 3与u lox复合而成 函数u lox在上为减函数 且 2 u 3 当 2 u 2时 f u 为减函数 当2 u 3时 f u 为增函数 令 2 lox 2 解得 x 4 令2 lox 3 解得 x 因函数u lox在上为减函数 且2 u 3 而f u u2 4u 3在区间 2 3 上为增函数 故函数y lox 2 4lox 3在区间上为减函数 因函数u lox在上为减函数 且 2 u 2 而f u u2 4u 3在区间 2 c 2 上为减函数 故函数y lox 2 4lox 3在区间上为增函数 故函数y lox 2 4lox 3的单调增区间为 单调减区间为 1 2 2015杭州高级中学月考 5 已知函数f x a 1 在区间 0 4 上是增函数 则实数a的取值范围是 a b 0 1 c d 0 a 10 0 a 答案a解析 f x a 1 在区间 0 4 上是增函数 3 4a 0 a 分段函数的单调性典例2 2015金华一中高考全真模拟文 已知函数f x 在其定义域内为单调递增函数 求实数a的取值范围 解析f x 在定义域内为增函数 应满足解得 a 3 c 分段函数要具有单调性 既要每一段在各自的区间内具有相同的单调性 同时要注意不同段在交界处的函数值的大小关系 从而保证函数整体的单调性 2 1 2015浙江温州十校联考改编 已知函数f x x2 2 求f x 的单调递增区间 解析f x x2 2 结合图象可知 函数的单调递增区间为 1 2 2 2014上海 18 5分 设f x 若f 0 是f x 的最小值 则a的取值范围是 c a 1 2 b 1 0 c 1 2 d 0 2 答案d解析当x 0时 f x x a 2 又f 0 是f x 的最小值 所以a 0 当x 0时 f x x a 2 a 当且仅当x 1时取等号 要满足f 0 是f x 的最小值 需2 a f 0 a2 即a2 a 2 0 解得 1 a 2 所以a的取值范围为 0 2 故选d 函数的值域 最值 典例3 2015稽阳联考 17 14分 设f x x a a x 1 6 a 1 6 1 若a 1 2 求f x 的单调区间 2 求f x 的最小值 解析 1 f x 因为当1 a 2时 f x 在 1 a 上是增函数 在 a 6 上也是增函数 所以当1 a 2时 y f x 在x 1 6 上是增函数 2 当1 a 2时 由 1 知 f x min f 1 2a 5 当2 a 6时 f x 在 1 2 上是增函数 在 2 a 上是减函数 在 a 6 上是增函 c 数 f 1 2a 5 f a a 且f 1 f a a 5 令a 5 0 可得4 a 6 所以当2 a 4时 f x min f 1 2a 5 当4 a 6时 f x min f a a 综上可知 f x min 求函数值域 最值 的方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求值域 2 图象法 先作出函数图象 再根据图象求值域 3 换元法 通过代数换元或三角换元等 简化函数表达形式 再用相应方法求解 但换元过程中一定要注意新变量的 取值范围对解题的影响 4 不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后再用