空气交换数学建模.pdf

1 冬季北方室内空气交换问题的数学建模冬季北方室内空气交换问题的数学建模 林紫雄 1 于良健2 蒲天一3 1 南京航空航天大学机电学院 南京 210000 2 中油管道天燃气管道德州压缩技术分公司 德州 253000 3 中国煤炭科学研究院太原分院 太原 030000 E mail purple paradise 摘摘 要 要 北方冬季寒冷 室内外温差大 为保证室内空气质量和保暖需要 需要定期开窗户 本文以辽宁阜新地区气象统计数据为例 用数学模型解决室内外空气换气问题 在探讨特定 人数下 不同面积的住房所需要的开窗次数和开窗换气时间 解决问题的依据在于保证室内 温度和空气中 CO2浓度达到国家规定的室内空气质量标准的要求 在解决温度上的问题 利用静压方程和热平衡方程 CO2浓度的变化 结合生理数据和冷风侵入等因素建立数学模 型 利用 MATLAB 软件绘出白天 晚上的开窗前后的室内 CO2浓度随时间的变化曲线 这 样可以直观的得出考虑 CO2浓度的情况下说需要的开窗次数及开窗时间 最后结合温度变 化与 CO2浓度变化 确定最终需要的开窗次数及开窗时间 关键词 关键词 室内空气换气 自然通风 冷风侵入 数学建模 中图分类号 中图分类号 TU 0 引言引言 北方冬季寒冷 室内外温差大 室内温度在 180以上人们才感到舒适 为了保暖 各家 各户门窗紧闭 减少了开窗换气的时间 使得室内的空气不流通导致室内空气质量差 从而 使人们易患呼吸道感染性疾病 经常开窗换气 保持室内空气新鲜 在北方已得到了人们 的重视 那么 在房间面积一定的条件下 已知室内外温度 每天应开窗换气几次 每次应 换气多长时间 假设房间高度 2 7m 家庭人口 3 人 试针对如下情况建立数学模型解决这 一问题 1 分别对居住面积 20 40 60 80 m2的情况进行分析 2 如果冬季不开窗 需至少有多大居住面积 3 讨论室内空气质量还有哪些问题必须考虑 这里存在这样的问题 1 门 窗缝隙冷空气渗入量的计算问题 2 人呼吸产生 CO2导致室内 CO2浓度变化 由此决定开窗问题 3 开窗后冷空气侵入 自然通风换气的流量计算 从而确定开窗时间问题 4 根据确定的开关窗户时间确定每天开窗换气次数问题 5 根据门 窗缝隙冷空气渗入量及房间空间大小 使房间空气能够自行达到质量标准 的所需要的居住面积的最小值问题 1 模型假设模型假设 房屋在辽宁阜新 朝南 窗户及门等结构尺寸如图 1 所示 结构如图 2 示 护围结构参数 1 外墙 一砖半厚内面抹灰砖墙 K 1 56W 外窗 单层铝合金玻璃窗 尺寸为 宽 高 1 5m 1 8m K 6 40 W 外门 单层木门 尺寸为 宽 高 1 8m 2 5 K 4 65 W 地面 不保温地面 2 气象条件 2 室外平均温度为 T 17 室外风速为 v 2 3m s 主导风向北 室内供暖温度 Ti 18 开窗时 通风换气流动按一维定常流动计算 屋内供暖系统在关闭门窗时候理论上能够维持室内温度保持在 18 而且不考虑日照作 用 每多 20 2 m的住房我们就多一个假设的窗户 500500500 1200600 1200 2050450 图 1 窗户及其机构尺寸 图 2 门结构及尺寸 Fig 1 window size and its institutions Fig 2 door structure and its size 物理模型 p2 p1 图 3 房屋物理模型 Fig 3 housing physical model 3 2 问题分析问题分析 北方冬季寒冷 室内外温差大 为了保暖 各家各户门窗紧闭 减少了开窗换气的时间 这样空气不流通 严重影响人的身体健康 属于室内污染 室内污染来源主要包括建筑材料 日用消费品和化学品的作用和个人活动 正常情况下 通过人体呼出气 汗液 大小便等排 出的CO2 氨类化合物 硫化氢等内源性化学污染物 呼出气中排出的苯 甲苯 苯乙烯 甲醇 二硫化碳等外源性污染物 通过咳嗽 打喷嚏等喷出的流感病毒 结核杆菌 链球菌 等生物污染物构成室内的主要污染源之一 3 室内污染经常是多种有害物质的综合 常常以 一种污染物作为评价空气质量的指标 或根据多种指标综合成 指数 来判断空气污染水平 室内CO2 主要来自人的呼吸和燃料的燃烧 成人在安静状态时 每小时呼出CO2 约20L 劳动时CO2 的呼出量为安静时的1 5 2 倍 4 随着室内CO2 量的增高 身体其他部分也不 断排出污染物 如汗的分解产物及其挥发的不良气味等 室内CO2 的蓄积逐渐增高的同时 氧的含量就相对降低 当CO2含量达0 07 时 4 有少数敏感人就有不适的感觉 当含量达 0 1 时 空气中其他性状开始恶化 人们普遍有不舒适的感觉 因此CO2 在一定程度上可 作为室内空气污染的一个指标 居室空气中CO2 含量应在0 07 以下 最高不超过0 1 虽 然有冷风侵入 能够实现一定的换气次数 但是人呼吸释放的CO2比较高 在房间体积没有 足够大时 不能满足换气要求 因此 决定人为开窗在于室内CO2浓度过高 所以我们设定 的开窗计算标准为 当室内CO2浓度达到0 07 时 开启窗户 开启窗户之后 在热压作用下 空气开始对流 冷风侵入 此时为自然通风换气 室内 的温度也会因此而降低 所以设定的关窗计算标准为 当室内温度降低到16 以下时 国家 标准 并且计算开窗后的CO2浓度是否下降到标准以下 若达不到要求 继续开窗通风 直到CO2浓度低于0 07 当房屋足够大时 通过门缝 窗缝的冷风渗入量足以使房间的 CO2浓度在标准以下 整个冬季就可以不开窗 3 符号定义符号定义 表 1 变量定义 Tab 1 definition of variables 变量 含义 单位 备注 o T 室外温度 不作热力学温度表示 i T 室内温度 不作热力学温度表示 min T 国家标准的人感觉不舒服最低起始温度 不作热力学温度表示 h 房间高 m 题目已设定 V0 房屋体积 m3 0 F 房间面积 A1 窗户的面积 A2 排风口的面积 m V 白天人呼吸释放的 CO2量 L h 生理学数据约 30hL m V 晚上人呼吸释放的 CO2量 L h 生理学数据约 20hL 4 p V 随机开门时冷风侵入量 hm 3 q V 窗缝隙冷风侵入量 m3 h L V 每米长门窗缝隙每小时渗入室内的冷空气 量 M3 m h o v 室外计算风速度 m s 行业规范标准 1 v 窗口截面的风速度 m s 2 v 排风口截面处的风速度 m s H 排风口中心相对窗口中心的铅直高度 m 1 5m L 门或窗的缝隙长度 缝隙周长 m n 冷风侵入量修正系数 行业规范标准 N 室内居住人数 人 题目已设定 N 一天开窗次数 次 0 标准空气含 CO2量 V V 0 032 1 敏感不适空气中超标时 CO2量 V V 0 07 晚上 20 00 时刻室内 CO2量 V V 1 t 关闭窗户时间量 h 2 t 开窗时间量 s q Q 门 窗冷空气侵入热量 W p c 空气定压比热 kJ kg 2 1 相对收缩截面处风速的摩擦阻力系数 1 1 2 2 12 1 kai C 2 1 流动系数 2 12 1 1 kai 开口处的阻力系数 2 1 C 开口处的收缩系数 锐利开口取 0 6 光滑开口取 1 4 模型的建立与求解过程模型的建立与求解过程 4 1 问题问题 1 的模型建立的模型建立 门窗缝隙的冷风渗入量 根据行业标准来取得 j j L j qLVnV j 5 1 式中 n 属于风向修正系数 按手册选取 n 1 0 关于门窗缝隙的长度 随着房屋面 积的增加 门窗的数目在某些情况下会相应的增加 缝隙长度也随之增大 这里面模型的建 立 我们根据建筑行业的习惯 我们每增加一个房间我们就多设一个窗户 保守的算 每增 加 20 平米的房屋我们多设一个房间 多一个如图 1 的窗户 这样缝隙长度随之增加 5 4 2 问题问题 2 模型的建立及求解模型的建立及求解 1 白天情况下模型建立 白天 人释放的 CO2使室内 CO2浓度提高 再考虑门窗缝隙的冷风渗入带入 CO2的量 当室内 CO2浓度达到国家标准限值时 关闭窗户 建立如下模型 t i o t p t qpq t m dVdtVdtVVdtVVNdtV 00 0 00 00 0 3 10 0 2 生理学上 正常情况下每人每小时呼吸产生 CO2量一定 式子中第一项是人呼吸产生 的 CO2量 第二项是门窗缝隙换气以及随机开门气体换气所含有的 CO2量第三项是由于部 分换气更新后房间里面的空气含 CO2量 门窗缝隙 随机开门所换气体根据流体连续性方 程 进入房间的空气和流出房间的空气质量相等 上式第三项进行了转换 右边的式子表示 在某时刻房间中含有的 CO2量 0 0 d表示 CO2量浓度的增量 tVVV VtVVNV i o pq qpm 10 0 000 3 3 或者 NVVV V t m i o qp 3 0 00 10 4 时 当 11 tt 则 NVVVVV V t m i oi pq i o qp 3 01 00 1 10 5 式子中 273 1 293 1 273 1 293 1 0 i i o TT 6 2 白天情况下各模型的求解 1 2 0 20mF 模型的求解 当 2 0 20mF 时 白天取hLVm 30 室外计算温度为CT o 17 0 室内采暖平均 温度为CTi o 18 估算取 p V 60hm 3 1 由式 6 求出室内外的空气密度 33 21 1 38 1mkgmkg io 2 根据式 1 求出门 窗缝冷空气隙渗入量 取 n 1 窗户 L V 3 2 m3 m h 门 L V 6 4m3 m h q V 1 0 2 3 2 4 0 5 1 2 1 0 6 4 2 1 2 2 05 85 12hm 3 6 3 把 o o o o 07 0 032 0 10 代入式 5 中求得 1 t 1 01h CO2浓度变化曲线如图 4 所示 横坐标为时间 单位为小时 纵坐标为室内 CO2浓度 V V 单位为 图 4 CO2浓度变化曲线 1 Fig 4 CO2 concentration curve One 由图 4 可知 即使我们不开窗户 没有考虑晚上呼吸作用产生 CO2少 在一天之内室 内 CO2浓度都不会超过 0 10 不会有生命危险 2 2 0 40mF 模型的求解 当 2 0 40mF 时 增加一个窗户 则 q V 1 0 3 2 4 1 2 0 5 3 1 0 6 4 2 1 2 2 05 106 88hm 3 把 o o o o 07 0 032 0 10 代入式 5 中求得 1 t 4 19h CO2浓度变化曲线如图 5 所示 图 5 CO2浓度变化曲线 2 Fig 4 CO2 concentration curve Two 7 由图可知 即使我们不开窗户 没有考虑晚上呼吸作用产生 CO2少 在一天之内室内 CO2 浓度都不会超过 0 075 不会有生命危险 3 2 0 60mF 模型的求解 当 2 0 60mF 时 增 加 一 个 窗 户 则 q V 106 88hm 3 1 0 3 2 4 1 2 0 5 hm 3 128 64hm 3 把 o o o o 07 0 032 0 10 代入式 5 CO2浓度变化曲线如图 6 所示 横坐标为时间 单位为小时 纵坐标为室内 CO2浓度 V V 单位为 但是 我们可以从图形可以知 在一天之内室内 CO2浓度都不会超过 0 07 也就是说 一天之内根本就不用开窗户 当时 间为 12h 时 CO2浓度为 0 0677 图 6 CO2浓度变化曲线 3 Fig 6 CO2 concentration curve Three 在一天之内室内 CO2浓度随时间变化如图 6 所示 我们可以得知 室内 CO2浓度总是 在 0 07 以下 则不用开窗户 4 2 0 80mF 模型的求解 当 2 0 80mF 时 q V 128 64hm 3 1 0 3 2 4 1 2 0 5 hm 3 210 40hm 3 把 o o o o 07 0 032 0 10 代入式 4 CO2浓度变化曲线如图 7 所示 由图 7 可知 在 一天之内室内 CO2浓度都不会超过 0 065 也就是说 一天之内根本就不用开窗户 当时 间为 12h 时 CO2浓度为 0 0633 8 图 7 CO2浓度变化曲线 4 Fig 7 CO2 concentration curve Four 3 晚上模型的建立 晚上 人的新陈代谢比较慢 m V取值小 而且不开窗户 则室内 2 co浓度随时间的变 化关系如下 tt q i o q t m dVdtVVdtVNdtV 00 0 0 00 0 3 10 7 则 tVV VtVNV i o q i oi qm 0 00 3 10 8 或者 NVVV V t m i oi qq i o 3 0 0 10 9 那么令晚上的时间 1 t 12h 则早上 08 00 时刻室内空气中含 2 co浓度为 i o q i oi qm VV VVNV 12 10 12 0 00 3 10 令 1 则 10 12 0 00 3 1 0 1 i oi q m i oq V V V NV V V 11 9 4 晚上模型的求解 1 2 0 20mF 时晚上模型的求解 2 0 20mF 时 把有关参数代入式 11 则 03 1 因为在室内 CO2浓度 0 07 时就开窗户 实现空气换气了 不可能达到 1 03 即晚上可不用开窗户 人呼吸产生的 CO2量减少 在门窗缝隙冷空气渗入就足够实现换气 保证室内空气新鲜 2 2 0 40mF 时晚上模型的求解 2 0 40mF 时 我们把有关参数代入上式 11 则 602 0 因为在室内 CO2 浓度 0 07 时就开窗户 实现空气换气了 不可能达到 0 602 即晚上可不用开窗户 人 呼吸产生的 CO2量减少 在门窗缝隙冷空气渗入就足够实现换气 保证室内空气新鲜 由此可知道 在 2 0 60mA 2 0 80mA 时 可以在不开窗户下保证室内 CO2量不超 标 4 3 问题问题 3 的模型建立及其求解的模型建立及其求解 1 开窗之后室内温度变化模型 开窗之后 冷空气侵入 热压作用下 室内自然通风对流换气 首先 考虑温度的变化所对应的时间关系 室内温度的降低释放的热量与室外进风后升温所 需要的热量相等 当时间 t 比较小的情况下 根据进出口的质量方程 建筑窗口之间的静压 方程 热平衡方程 组成方程组如下 12 21 AA io dAvdAv 6 12 H g v g v io oi 22 2 11 2 22 13 t oopI t i o ip dtTTvAcTTdtvAVc 0 11 0 110 0 14 由 12 13 得到 oiio iio AA AHg v 22 21 22 12 2 2 2 1 2 15 22 21 2 12 2 1 2 2 iio oio AA AHg v 16 即由 14 15 得 i oiio iio i oio i i oio Tt AA AHg V ATT Tt V vATT T 22 21 22 12 2 2 2 0 1 0 11 2 17 2 开窗之后室内 CO2浓度随时间变化模型的建立 开窗之后 我们来探讨室内空气 CO2浓度随时间的变化情况 开窗之后 为了增加对 流效果 我们总是要在窗户的另一面有一个通风的孔 在不同情况有如下关系 10 3600 10 0 0 0 110 0 3 0 011 dVdtAvVdtNVdtAv t i o t m t 110 AvVt oi 18 0 110 AvVt oi 19 则 tA AA AHg V tNVA AA AHg V tAvV tNVAvV oiio iio i o m oiio iio i o m 1 22 21 22 12 2 2 2 0 3 01 22 21 22 12 2 2 2 0 110 3 0110 2 3600 10 2 3600 10 20 3 开窗之后室内温度与 CO2浓度变化模型的求解 1 住房面积 2 0 20mF 时 1 当 2 0 20mF 时候 需要开窗户 开窗之后室内温度降低 我们来探讨一下 当室 内温度降低到国家要求限制标准时 所需要的时间 即把T 16C o 代入上式 17 当 st43 1 时 达到平衡后室内温度下降到 16C o 开窗之后室内 CO2浓度随时间的变化情况如图 8 可以看出 当开窗时间为st2 100 2 室内 CO2浓度达到标准空气 即为新鲜空气 图 8 CO2浓度变化曲线 5 Fig 8 CO2 concentration curve Five 3 综合上述探讨 2 0 20mF 当开窗时间达到 100 2s 时关闭窗户 即 1 671min 2 住房面积 2 0 40mF 时 1 2 0 40mF 时 需要开窗 根据式 17 可以得当CT o 16 时 所需要的时间 t 13 73s 2 开窗后室内 CO2浓度随时间变化曲线如图 9 11 图 9 CO2浓度变化曲线 6 Fig 9 CO2 concentration curve Six 当开窗时间为st7 279 2 约 4 66min 室内 CO2浓度达到标准空气 即为新鲜空气 3 综合上述探讨 当 2 0 40mF 时 开窗时间达到 279 7s 时关闭窗户 即 4 66min 4 4 问题问题 4 的模型建立及其求解的模型建立及其求解 1 模型的建立 考虑到晚上不开窗 20 00 至次日 08 00 以及晚上新陈代谢慢 释放 CO2少 m V取 较小的值 在晚上不开窗满足新空气换气次数时 存在以下这样的关系 12 21 ttN 21 2 模型的求解 1 2 0 20mA 时模型的求解 2 0 20mA 时 hhhtt0378 10278 001 1 21 则 天次 6 110378 1 12 N 取整数则为 12 次 天 而晚上能保证空气质量 2 2 0 40mF 时模型的求解 2 0 40mA 时 hhhtt206 4017 0189 4 21 则 天次 85 2206 4 12 N 3 2 0 60mA 2 0 80mA 时模型的求解 2 0 60mA 以及 2 0 80mA 就不用开窗户 即都取0 N 4 5 问题问题 5 的模型建立及其求解的模型建立及其求解 本模型可以同问题 1 的模型一样 把 0 A当作因变量 当 t 很大时 整个冬季 1 p 即 12 1 0 000 3 10 tVVV VtVVNV i o pq qpm 22 根据假设每多 20 2 m的住房增加一个假设的窗户 有这样的关系存在 12 85 54 54 74 21 0 V Vq 则38 634026 0 0 VVq 1010 3 0011 0 4026 0 1038 6338 63 t tNVVV V i o mp i o p i o 23 则t VVNV V qpm 01 01 1 03 0 10 24 则 0 V与时间的关系如图 10 所示 图 10 CO2浓度变化曲线 7 Fig 10 CO2 concentration curve Seven 取当ht2160 时 3 0 161mV 取到至小值 即住房面积为 2 0 63 597 2 161mA 这样就能够保证整个冬天不用开窗户 门窗户缝隙冷风侵入换气 以及随机开门所进行的换 气就能够保证室内空气质量 5 结论结论 通过以上的不同情况的建模分析 可以得出如下结论 1 窗户尺寸以及朝向对冷风侵入量影响很大 这样对室内通风换气起着非常重要的作 用 所以在房屋建设方面 窗户尺寸可以尽量取大 2 随机开门对空气换气影响很大 13 3 室外主导风向 风速 房屋朝向对冷风侵入量影响很大 所以不同地区在冷风侵入 量相差都很大 4 室内人为活动量对室内 CO2浓度的变化有着很大的影响 人的活动量在很大程度上 决定了室内 CO2浓度的变化 5 房屋内部结构会影响自然通风的阻力系数 从而影响通风效果 对室内空气质量有 很大的影响 所以在建筑设计的时候 要充分考虑到房屋结构的痛风性 6 由于空气湿度的不同 可能存在某些微生物的活动 这有时些活动也可能影响室内 空气质量 参考文献参考文献 1 吴萱 供暖通风与空气调节 北京 清华大学出版社 北京交通大学出版社 2006 年 2 暖通空调规范 工程建设标准规范分类汇编 北京 中国建筑工业出版社 2000 年 3 王庭槐主编 生理学 第 1 版 北京 高等教育出版社 2004 年 4 王翔朴 卫生学 北京 人民卫生出版社 2000 年 5 西安建筑科技大学 华南理工大学 重庆建筑大学 清华大学编著 建筑物理 北京 中国建筑工业出版社 2000 年 Northern winter indoor air exchange of mathematical modeling LIN Zixiong1 YU Liangjian 2 PU Tianyi 3 1 Mechanical Engineering College Nanjing University of Aeronautics And Astronautics Jiangsu 210000 2 China Petroleum Pipeline Natural Gas Compress Technique Co Ltd Dezhou Dezhou shandong 253000 3 Taiyuan Coal Institutes of Science and Technology Taiyuan Shanxi 030000 Abstract In the cold northern winter the temperature difference between the indoor and outdoor In order to keep indoor air quality and heat needs we should to open windows on a regular basis This article take Fuxin Liaoning region meteorological statistics as an example uses mathematical models to solve the problem of indoor and outdoor air ventilation in par