全国高中数学竞赛二试模拟训练题(57)(1).doc

加试模拟训练题（57）1 设在圆内接凸六边形abcdfe中，ab=bc，cd=de，ef=fa. 试证：(1)ad，be，cf三条对角线交于一点； (2)ab+bc+cd+de+ef+faak+be+cf.2.对所有正实数a，b，c，证明（a3+b3+abc）-1+（b3+c3+abc）-1+（c3+a3+abc）-1（abc）-13.7个六边形的网眼(如图)涂上两种颜色：白色或蓝色每次允许选择任一网眼，将它及所有相邻的网眼改涂为另一种颜色证明：由图a经有限次地上述改涂手续后，1可变为b；2不可能变为c4.设是一个合数.证明存在正整数，满足，且.这里表示正整数的正约数的个数.加试模拟训练题（57）1设在圆内接凸六边形abcdfe中，ab=bc，cd=de，ef=fa.试证：(1)ad，be，cf三条对角线交于一点； (2)ab+bc+cd+de+ef+faak+be+cf. (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接ac，ce，ea，由已知可证ad，cf，eb是ace的三条内角平分线，i为ace的内心.从而有id=cd=de， if=ef=fa， ib=ab=bc. 再由bdf，易证bp，dq，fs是它的三条高，i是它的垂心，利用 不等式有： bi+di+fi2(ip+iq+is). 不难证明ie=2ip，ia=2iq，ic=2is. bi+di+fiia+ie+ic. ab+bc+cd+de+ef+fa =2(bi+di+fi) (ia+ie+ic)+(bi+di+fi) =ad+be+cf. i就是一点两心.2. 证明对所有正实数a，b，c，（a3+b3+abc）-1+（b3+c3+abc）-1+（c3+a3+abc）-1（abc）-1【题说】第二十六届（1997年）美国数学奥林匹克题5【解】去分母并化简，原式等价于a6（b3+c3）+b6（c3+a3）+c6（a3+b3）2a2b2c2（a3+b3+c3）（1）由对称性，不妨设abc因为2a2b2c2（a3+b3+c3）（a4+b4）c4+（b4+c4）a5+（c4+a4）b5而a6（b3+c3）+b6（c3+a3）+c6（a3+b3）-（a4+b4）c5-（b4+c4）a5-（c4+a4）b5=a5b3（a-b）+a5c3（a-c）-b5a3（a-b）+b5c3（b-c）-c5a3（a-c）-c5b3（b-c）=（a-b）a3b3（a2-b2）+（a-c）a3c3（a2-c2）+（b-c）b3c3（b2-c2）0所以（1）成立3.7个六边形的网眼(如图)涂上两种颜色：白色或蓝色每次允许选择任一网眼，将它及所有相邻的网眼改涂为另一种颜色证明：由图a经有限次地上述改涂手续后，1可变为b；2不可能变为c【题说】第十五届(1989年)全俄数学奥林匹克九年级题5【证】1先选图a正下方网眼，改涂后可得图d再选图d正上方网眼，改涂后便得到图b2分别用a、b、c、d、e、f、g记7个网眼涂白色的网眼用1表示，涂蓝色的网眼用1表示考虑a、c、d、f四格，不论选7个网眼中哪一格进行改涂，它们中必有两格或四格变号(改涂颜色相当于乘以1)，因而这4个数之积总是不变对于图a这个积为1；而对于图c，这个积为1因此，图a不可能变为图c4.设是一个合数.证明存在正整数，满足，且.这里表示正整数的正约数的个数.证明 若有一个素因子满足，令，则有.由知，因此.又由是合数知，即.因此.现在设的所有素因子都不大于，取为的不超过的最大因子，再取为的不超过的最大因子.我们先证明.若不然，则没有大于1且不超过的因子，但若是合数，则它在区间内至少有一个因子，矛盾！因此是素数.但前面已假设的所有素因子都不大于，又，故只有且是素数.但此时有，与假设的矛盾！