全国高中数学竞赛二试模拟训练题(52)(1).doc

加试模拟训练题（52）1过等腰abc底边bc上一点p引pmca交ab于m；引pnba交ac于n.作点p关于mn的对称点p.试证：p点在abc外接圆上.2. 设实数x、y、z满足条件yz+zx+xy=-1，求x2+5y2+8z2的最小值和最大值3. 桌面上放有1989枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下今有1989人按下述方法依次翻转硬币，第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的二枚，第k人翻转其中的k枚，最后第1989人将所有硬币全部翻转证明：1不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当步骤，使得1989人都进行过翻币手续后，恰将所有硬币朝同一方向2硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关(只依赖于初始分布)4. 求所有正整数m,n满足整除，并且整除加试模拟训练题（52）1过等腰abc底边bc上一点p引pmca交ab于m；引pnba交ac于n.作点p关于mn的对称点p.试证：p点在abc外接圆上.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：由已知可得mp=mp=mb，np=np=nc，故点m是pbp的外心，点n是ppc的外心.有 bpp=bmp=bac， ppc=pnc=bac. bpc=bpp+ppc=bac. 从而，p点与a，b，c共圆、即p在abc外接圆上. 由于pp平分bpc，显然还有 pb:pc=bp:pc.2. 设实数x、y、z满足条件yz+zx+xy=-1，求x2+5y2+8z2的最小值和最大值【题说】1992年英国数学奥林匹克题4【解】由于（y-2z）2+（x+2y十2z）20所以x2+5y2+8z2-4（xy+yz+zx）=4的最小值为4x2+5y2+8z2x2当y0时，函数x2+5y2+8z2的值可趋于无穷大3. 桌面上放有1989枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下今有1989人按下述方法依次翻转硬币，第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的二枚，第k人翻转其中的k枚，最后第1989人将所有硬币全部翻转证明：1不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当步骤，使得1989人都进行过翻币手续后，恰将所有硬币朝同一方向2硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关(只依赖于初始分布)【题说】1989年南昌市赛二试题3【证】11989可换成任一奇数n对n用数学归纳法当n1时，结论显然成立假设在n2k1时结论成立，当n2k1时，分两种情况讨论(1)如果这2k1枚硬币不全同向，其中必有一枚正面朝上的(记为正)和一枚正面朝下的(记为负)，将它们标上记号让前2k1人对其余2k1枚硬币进行翻币手续，依假设可翻成同向，设为正第2k人翻动2k个正向币，使得所有2k1枚硬币都成负向最后第2k1人将所有硬币翻成正向(2)如果这2k1枚硬币方向都相同将这2k1枚硬币排成一圈，让第一人翻转其中一枚，第二人按顺时针方向翻转后续的二枚，第三人接着翻转后续的三枚，如此下去，当2k1人全部翻转之后，由于12(2k1)(k1)(2k1)，所以，每枚硬币都翻动了k1次，因而也同向2假设结论不真，则存在1989枚硬币的某种初始状态t及两种翻法a、b由状态t开始，按方法a可翻成全正，而按方法b可翻成全反由全正状态出发，按方法a的逆步骤翻回t状态，再按b方法翻成全反这样每枚硬币都改变了方向，从而每枚硬币翻动了奇数次，硬币总数1989为奇数故由全正状态到全反状态总共翻转了奇数次另一方面，在由全正状态到全反状态的过程中，每个人均翻转了偶数枚，因此总共翻转了偶数次，矛盾从而结论成立 4. 求所有正整数m,n满足整除，并且整除分析 由对称性，我们不妨设，并估计n的大体范围。解 不妨设则 显然对于成立。因此，时，满足条件的整数m,n