高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第十三章 计数原理 第三讲 二项式定理课件 理.ppt

目录contents 考情精解读 考点1 a 知识全通关 b 题型全突破 c 能力大提升 考法1 考法2 考法3 易混易错 考情精解读 考纲解读 命题趋势 命题规律 1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学第三讲二项式定理 考纲解读 命题规律 命题趋势 数学第三讲二项式定理 考纲解读 命题规律 返回目录 1 热点预测利用通项求展开式的特定项及参数值以及利用二项式定理求有关系数等问题是高考考查的热点 以选择题 填空题的形式呈现 分值为5分 2 趋势分析预测2018年仍以求二项展开式的指定项 二项式系数为主 同时应关注对二项式定理与数列 定积分等相交汇问题的考查 命题趋势 数学第三讲二项式定理 知识全通关 考点1二项式定理 继续学习 数学第三讲二项式定理 1 二项式定理 注意 a b n与 b a n虽然相同 但具体到它们展开式的某一项时是不相同的 所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒 叫作二项式定理 公式中右边的多项式叫作 a b n的二项展开式 其中的系数 k 0 1 n 叫作二项式系数 式中的an kbk叫作二项展开式的通项 用tk 1表示 通项为展开式的第k 1项 高考帮数学第三讲二项式定理 继续学习 二项展开式形式上的特点 1 项数为n 1 2 各项的次数都等于二项式的幂指数n 即a与b的指数的和为n 3 字母a按降幂排列 从第一项开始 次数由n逐项减1直到零 字母b按升幂排列 从第一项起 次数由零逐项增1直到n 4 二项式的系数为 辨析比较 数学第三讲二项式定理 继续学习 2 二项式系数的性质 1 对称性 在二项展开式中与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 即 2 增减性与最大值 二项式系数 当时 二项式系数逐渐增大 当时 二项式系数逐渐减小 当n是偶数时 中间一项的二项式系数最大 当n是奇数时 中间两项的二项式系数最大 3 各二项式系数的和 a b n的展开式的各个二项式系数的和等于2n 即 4 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和 即 返回目录 高考帮数学第三讲二项式定理 二项式系数与项的系数二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念 二项式系数是指 它只与各项的项数有关 而与a b的值无关 而项的系数是指该项中除变量外的常数部分 它不仅与各项的项数有关 而且也与a b的值有关 如 a bx n的展开式中 第k 1项的二项式系数是 而该项的系数是an kbk 当然 在某些二项展开式中 各项的系数与二项式系数是相等的 辨析比较 题型全突破 考法1求二项展开式中的特定项或特定项的系数 继续学习 数学第三讲二项式定理 继续学习 数学第三讲二项式定理 类型2 求形如 a b m c d n m n n 的展开式中与特定项相关的量第一步 根据二项式定理把 a b m与 c d n分别展开 并写出其通项公式 第二步 根据特定项的次数 分析特定项可由 a b m与 c d n的展开式中的哪些项相乘得到 第三步 把相乘后的项合并即可得到特定项或相关量 类型3求形如 a b c n m n n 的展开式中与特定项相关的量第一步 把三项的和a b c看作 a b 与c两项的和 第二步 根据二项式定理求出 a b c n的展开式的通项 第三步 对特定项的次数进行分析 弄清特定项是由 a b n r的展开式中的哪些项和cr相乘得到的 第四步 把相乘后的项合并即可得到特定项或相关量 数学第三讲二项式定理 继续学习 考法示例1 思想分析 1 的展开式中 x3y3项的系数为 2 设 则二项式的展开式中的常数是 3 的展开式中的有理项共有项 数学第三讲二项式定理 继续学习 解析 1 二项展开式的通项是解得r 2 故展开式中x3y3的系数为 1 2 6 2 所以二项展开式的通项是tr 1 2 6 r r 26 r 1 rx3 r 令3 r 0 得r 3 故二项展开式中的常数项是 3 8的展开式的通项为tr 1 8 r r r r 0 1 2 8 为使tr 1为有理项 r必须是4的倍数 所以r 0 4 8 故共有3个有理项 数学第三讲二项式定理 继续学习 考法示例2的展开式中x的系数是a 4b 3c 3d 4 数学第三讲二项式定理 继续学习 解析 解法一 1 6的展开式的通项为 1 4的展开式的通项为 n 其中m 0 1 2 6 n 0 1 2 3 4 令 得m n 2 于是 1 6 1 4的展开式中x的系数等于 1 0 1 1 1 2 3 数学第三讲二项式定理 继续学习 解法二 1 6 1 4 1 1 4 1 2 1 x 4 1 2 x 于是 1 6 1 4的展开式中x的系数为 数学第三讲二项式定理 继续学习 在 1 6 1 4的展开式中要出现x 可分为以下三种情况 1 6中选2个 1 4中选0个作积 这样得到的x项的系数为 1 6中选1个 1 4中选1个作积 这样得到的x项的系数为 1 6中选0个 1 4中选2个作积 这样得到的x项的系数为故x项的系数为15 24 6 3 答案 b 数学第三讲二项式定理 继续学习 数学第三讲二项式定理 继续学习 高考帮数学第三讲二项式定理 继续学习 1 二项展开式的通项tk 1 an kbk中含有a b n k tk 1五个元素 只要知道其中的四个元素 就可以求第五个元素 这类问题一般是利用二项式定理把问题归纳为解方程 组 的问题 这里必须注意n是正整数 k是非负整数 且k n 2 tk 1表示的是第k 1项 而非第k项 3 要正确区分二项展开式中的 项 项的系数 项的二项式系数 等概念 4 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题 一般都可以根据因式连乘的规律 结合组合思想求解 但要注意适当地运用分类方法 以免重复或遗漏 突破攻略 考法2二项式系数的性质及应用 继续学习 高考帮数学第三讲二项式定理 考法指导1 二项式系数或展开式系数的最值问题求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步 求系数的最大问题 要先弄清所求问题是 展开式系数最大 二项式系数最大 以及 最大项 三者中的哪一个 第二步 若是求二项式系数的最大值 则依据 a b n中n的奇偶及二项式系数的性质求解 若是求展开式系数的最大值 由于展开式系数是离散型变量 设展开式各项系数分别为a1 a2 an 1 且第k项系数最大 因此在系数均为正值的前提下 求最大值只需解不等式组即得答案 继续学习 高考帮数学第三讲二项式定理 2 二项展开式中的系数和问题 1 对形如 ax b n ax2 bx c m a b r 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 对形如 ax by n a b r 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 同理求系数之差时 只需根据题目要求令x 1 y 1或x 1 y 1即可 如何赋值 要观察所求和与差式的特点 发现差异 确保正确 数学第三讲二项式定理 继续学习 考法示例4 1 在的展开式中 只有第4项的二项式系数最大 则展开式中常数项是a 15b 20c 30d 120 2 的展开式中第6项与第7项的系数相等 则展开式中二项式系数最大的项为 思路分析 1 利用二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n 再利用二项展开式的通项公式求出第r 1项 令x的指数为0求出常数项 2 利用展开式中第6项与第7项的系数相等求出n 再利用二项展开式的通项公式求出二项式系数最大的项 数学第三讲二项式定理 继续学习 1 二项展开式中中间项的二项式系数最大 又二项式系数最大的项只有第4项 展开式中共有7项 n 6 展开式的通项为令12 3r 0 则r 4 故展开式中的常数项为 解析 数学第三讲二项式定理 继续学习 2 依题意有 1 2x 8的展开式中二项式系数最大的项为 点评 求二项式系数最大的项 若n为偶数 则中间一项 第 1项 的二项式系数最大 若n为奇数 则中间两项 第项与第 1项 的二项式系数最大 数学第三讲二项式定理 继续学习 考法示例5 思路分析 1 首先利用二项式系数和得到n 然后利用通项求常数项 2 令x 1 可得a0 a1 a2 a3 a4 a5 1 再令x 1 可得a0 a1 a2 a3 a4 a5 35 解得a0 a2 a4和a1 a3 a5的值 即可求得要求式子的值 1 的展开式的二项式系数之和为8 则展开式的常数项等于a 4b 6c 8d 10 2 设 2 x 5 a0 a1x a2x2 a5x5 那么的值为a b c d 1 数学第三讲二项式定理 继续学习 解析 1 因为的展开式的各个二项式系数之和为8 所以2n 8 解得n 3 所以展开式的通项为令 0 则r 1 所以常数项为6 数学第三讲二项式定理 解析 继续学习 答案 1 b 2 a 考法3二项式定理在整除问题中的应用 继续学习 高考帮数学第三讲二项式定理 考法指导利用二项式定理解决整除问题时 关键是要巧妙地构造二项式 其基本思路是 要证明一个式子能被另一个式子整除 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可 因此 一般要将被除式化为含相关除式的二项式 再展开 数学第三讲二项式定理 继续学习 考法示例6利用二项式定理证明 当n n 时 32n 2 8n 9能被64整除 思路分析 将32n 2 8n 9转化成含64的倍数的式子 返回目录 数学第三讲二项式定理 解析 点评 证明的关键是如何把问题转化为一个二项式问题 注意将32n 2写为 8 1 n 1 从而利用二项式定理将原式子写成与64的倍数有关的式子 能力大提升 混淆二项展开式的系数与二项式系数致误 继续学习 数学第三讲二项式定理 示例7 易错分析 1 解答此题易将二项展开式的系数与二项式系数混淆致误 2 解答此题时易将二项式系数之和与各项系数和混淆 从而导致计算错误 1 已知 x 1 6 ax 1 2的展开式中含x3的项的系数是20 求a的值 2 设 5x n的展开式的各项系数之和为m 二项式系数之和为n 若m n