高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角课件2 新人教A版必修4.ppt

第一章三角函数1 1任意角和弧度制1 1 1任意角 知识提炼 1 任意角 1 概念 平面内一条 绕着 从一个位置 到另一个位置所成的图形 2 要素 射线 端点 旋转 3 分类 逆时针 顺时针 没有 2 象限角 原点 x轴的非负半轴 第几象限角 3 终边相同的角 k 360 k z 整数个 周角 即时小测 1 判断 1 终边与始边重合的角是零角 2 终边相同的角一定相等 3 第一象限角一定不是负角 4 终边在x轴上的角既是第一象限角也是第二象限角 解析 1 错误 终边与始边重合的角是k 360 k z 不一定是零角 2 错误 如 10 与350 终边相同 但是不相等 3 错误 如 330 角是第一象限角 但它是负角 4 错误 终边在x轴上的角不属于任何象限 答案 1 2 3 4 2 下列各组角中 终边不相同的是 a 60 与 300 b 230 与950 c 1050 与 300 d 1000 与80 解析 选c a终边相同 因为60 300 360 b终边相同 因为230 950 2 360 c终边不相同 因为1050 300 3 360 270 d终边相同 因为 1000 80 3 360 3 请在下表中填空 解析 因为181 180 1 所以181 是第三象限角 因为406 360 46 所以406 是第一象限角 因为 750 2 360 30 所以750 与 30 终边相同 所以750 是第四象限角 答案 第三象限角第一象限角第四象限角 4 将35 角的终边按顺时针方向旋转60 所得的角度数为 将35 角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数 解析 将35 角的终边按顺时针方向旋转60 所得的角为35 60 25 将35 角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为35 2 360 755 答案 25 755 5 将 885 化为 k 360 0 360 k z 的形式是 解析 885 195 3 360 答案 195 3 360 知识探究 知识点1任意角的概念观察图形 回答下列问题 问题1 角的概念是通过什么方式进行推广的 问题2 掌握角的概念应注意角的哪些要素 总结提升 1 角的概念的推广 1 角的概念是通过角的终边的运动来推广的 根据角的终边的旋转 方向 得到正角 负角和零角 2 表示角时 应注意箭头的方向不可丢掉 箭头方向代表角的正负 2 用旋转来描述角时需要注意的三个要素 1 旋转中心 射线旋转时绕的端点 2 旋转方向 旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种 这是一对意义相反的量 根据以往的经验 我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示 那么许多问题就可以解决了 3 旋转量 当旋转超过一周时 旋转量即超过360 角度的绝对值可大于360 于是就会出现720 540 等角度 知识点2象限角与终边相同的角观察图形 回答下列问题 问题1 定义象限角 终边相同的角的前提条件是什么 问题2 终边相同的角之间有什么关系 问题3 如何用集合符号表示各象限角 终边落在坐标轴上的角 总结提升 1 定义的前提条件 1 研究象限角 终边相同的角时 必须注意前提条件 角的顶点与坐标原点重合 始边与x轴的非负半轴重合 2 如果角的顶点不与坐标原点重合 或者角的始边不与x轴的非负半轴重合 则没有象限角 终边相同角的概念 2 象限角的集合表示 3 对终边相同的角的说明所有与角 终边相同的角 连同角 在内 而且只有这样的角 可以用式子 k 360 k z表示 在运用时 需注意以下几点 1 k是整数 这个条件不能漏掉 2 是任意角 3 k 360 与 之间用 号连接 如k 360 30 应看成k 360 30 k z 4 终边相同的角不一定相等 但相等的角终边一定相同 终边相同的角有无数个 它们相差周角的整数倍 拓展延伸 终边落在坐标轴上的角的集合表示 题型探究 类型一与任意角有关的概念的辨析 典例 1 给出下列说法 1 终边在y轴非负半轴上的角是直角 2 始边相同而终边不同的角一定不相等 3 三角形的内角必是第一 二象限角 4 第四象限角一定是负角 5 k 180 k z 0 180 360 其中正确说法的个数是 a 1b 2c 3d 42 将分针拨快10分钟 则分针所转过的度数为 解题探究 1 典例1中 直角 三角形的内角 负角的大小分别是多少度 象限角是如何定义的 提示 直角是度数为90 的角 三角形的内角是大于0 小于180 的角 负角是小于0 的角 角的顶点与原点重合 始边与x轴的非负半轴重合 终边落在第几象限就是第几象限的角 2 典例2中 分针的旋转方向是顺时针和逆时针 提示 分针的旋转方向是顺时针 解析 1 选a 1 错误 270 是终边在y轴非负半轴上的角但不是直角 2 正确 相等的角始边相同则终边必相同 所以始边相同而终边不同的角一定不相等 3 错误 三角形的内角可以是直角 它既不是第一象限角 也不是第二象限角 4 错误 如271 是第四象限角 但不是负角 5 错误 0 180 360 k 180 k z 2 将分针拨快10分钟 分针顺时针旋转60 所以分针所转过的度数为 60 答案 60 方法技巧 1 角的表示的技巧 1 通常用希腊字母 等表示 如 角 或 也可以简化为 2 也可以用三个大写字母表示 前面要加 如 aob 3 用图示表示角时 箭头不可以丢掉 因为箭头代表了旋转的方向 也即箭头代表着角的正负 2 判断角的概念问题的关键与技巧 1 关键 正确理解象限角与锐角 直角 钝角 平角 周角等概念 2 技巧 判断一种说法正确需要证明 而判断一种说法错误只要举出反例即可 变式训练 射线oa绕端点o顺时针旋转80 到ob位置 接着逆时针旋转250 到oc位置 然后再顺时针旋转270 到od位置 则 aod 解析 如图 aod aob boc cod 80 250 270 100 答案 100 类型二终边相同的角的表示和应用 典例 1 2015 成都高一检测 若角 与 的终边垂直 则 与 的关系是 a 90 b 90 c k 360 90 k zd k 360 90 k z 2 在与10030 角终边相同的角中 求满足下列条件的角 1 最大的负角 2 360 720 内的角 解题探究 1 典例1中 角 的终边如何旋转后与 终边相同 提示 角 的终边顺 逆 时针旋转90 后与 终边相同 2 典例2中 与10030 终边相同的角如何表示 计算所求角的关键是计算什么 提示 与10030 终边相同的角可表示为10030 k 360 k z 计算所求角的关键是确定整数k 解析 1 选d 因为角 与 的终边垂直 所以 90 或 90 与 的终边相同 所以 k 360 90 k z 2 与10030 角终边相同的角的一般形式为 10030 k 360 k z 1 由10030 k 360 0 得k 360 10030 所以又k z 故所求的最大负角为 50 2 由360 10030 k 360 720 得 9670 k 360 9310 又k z 解得k 26 故所求的角为 670 方法技巧 1 在0 到360 范围内找与给定角终边相同的角的方法 1 一般地 可以将所给的角 化成k 360 的形式 其中0 360 k z 其中的 就是所求的角 2 如果所给的角的绝对值不是很大 可以通过如下方法完成 当所给角是负角时 采用连续加360 的方式 当所给角是正角时 采用连续减360 的方式 直到所得结果达到要求为止 2 终边相同角常用的三个结论 1 终边相同的角之间相差360 的整数倍 2 终边在同一直线上的角之间相差180 的整数倍 3 终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90 的整数倍 变式训练 1 与 463 终边相同的角可以表示为 a k 360 463 k z b k 360 103 k z c k 360 257 k z d k 360 257 k z 解析 选c 因为 463 257 2 360 所以与 463 终边相同的角可以表示为k 360 257 k z 2 2015 江陵高一检测 已知角 的终边相同 那么 的终边在 a x轴的非负半轴上b y轴的非负半轴上c x轴的非正半轴上d y轴的非正半轴上 解题指南 由角 的终边相同可得 k 360 k z 由此可求 并得到其终边位置 解析 选a 因为角 的终边相同 所以 k 360 k z 所以 k 360 k z 所以 的终边在x轴的非负半轴上 补偿训练 已知 1910 1 把 写成 k 360 k z 0 360 的形式 指出它是第几象限的角 2 求 使 与 的终边相同 且 720 0 解析 1 方法一 作除法运算 注意余数必须非负 得 1910 360 6 250 所以 250 6 360 它是第三象限的角 方法二 设 k 360 k z 则 1910 k 360 k z 令 1910 k 360 0 解得k k的最大整数解为k 6 求出相应的 250 于是 250 6 360 它是第三象限的角 2 令 250 k 360 k z 取k 1 2就得到符合 720 0 的角 250 360 110 250 720 470 故 110 或 470 类型三象限角与区间角的表示 典例 1 2015 九江高一检测 2016 是第 象限角 a 一b 二c 三d 四2 2015 宿州高一检测 如图 分别写出符合下列条件的角的集合 1 终边落在射线ob上 2 终边落在直线oa上 3 终边落在阴影区域内 含边界 解题探究 1 典例1中 2016 如何改写为 k 360 k z的形式 提示 2016 216 5 360 2 典例2中射线oa ob分别可看作哪个角的终边 阴影区域第三象限的部分的边界分别可看作哪个角的终边 提示 典例2中射线oa ob分别可看作30 60 角的终边 阴影区域第三象限的部分的边界分别可看作210 240 角的终边 解析 1 选c 2016 216 5 360 216 是第三象限角 所以2016 也是第三象限角 2 1 终边落在射线ob上的角的集合为 60 k 360 k z 2 终边落在直线oa上的角的集合为 30 k 360 k z 210 k 360 k z 30 2k 180 k z 30 2k 1 180 k z 30 k 180 k z 3 终边落在第一象限阴影区域内 含边界 的角的集合为 30 k 360 60 k 360 k z 终边落在第三象限阴影区域内 含边界 的角的集合为 210 k 360 240 k 360 k z 终边落在阴影区域内 含边界 的角的集合为 30 k 360 60 k 360 k z 210 k 360 240 k 360 k z 30 2k 180 60 2k 180 k z 30 2k 1 180 60 2k 1 180 k z 30 k 180 60 k 180 k z 延伸探究 1 变换条件 若将典例2图中直线oa改为虚线 其他条件不变 第 3 问的结果如何 解析 改为虚线说明不含此边界 终边落在阴影区域内的角的集合为 30 k 180 60 k 180 k z 2 改变问法 若 在典例2 3 中第三象限阴影区域内 试画出角的终边所在的阴影区域 解析 因为210 k 360 240 k 360 k z 所以105 k 180 120 k 180 k z 所以角的终边所在的阴影区域如图所示 方法技巧 表示区域角的三个步骤第一步 先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界 第二步 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 360 360 范围内的角 和 写出最简区间 x x 其中 360 第三步 起始 终止边界对应角 再加上360 的整数倍 即得区域角集合 补偿训练 如图所示 写出终边落在阴影部分的角的集合 解析 设终边落在阴影部分的角为 角 的集合由两部分组成 k 360 30 k 360 105 k z k 360 210 k 360 285 k z 所以角 的集合应当是集合 与 的并集 k 360 30 k 360 105 k z k 360 210 k 360 285 k z 2k 180 30 2k 180 105 k z 2k 1 180 30 2k 1 180 105 k z 2k 180 30 2k 180 105 或 2k 1 180 30 2k 1 180 105 k z k 180 30 k 180 105 k z 延伸探究 1 改变问法 本题条件下 写出终边落在阴影部分的角的集合的补集 全集为任意角构成的集合 解析 结合图形可知 所求集合为 k 180 75 k 180 30 k z 2 增加条件 改变问法 设终边落在阴影部分的角为 试画出角 80 的终边所在的阴影区域 解析 因为 80 k 180 110 80 k 180 185 k z 所以角 80 的终边所在的阴影区域如图所示 易错案例判断角的终边所在区域 典例 已知 为第三象限角 则终边所在的象限是 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是对k 180 90 k 180 135 k z表示的平面区域判断出错 实际此平面区域包括第二象限和第四象限两部分 自我矫正 因为 为第三象限角 所以k 360 180 k 360 270 k z 所以k 180 90 k 180 135 k z 当k为偶数时 记k 2n n 360 90 n 360 135 k z 所以终边在第二象限 当k为奇数时 记k 2n 1 n 360 270 n 360 315 k z 所以终边在第四象限 综上知 所在的象限是第二象限或第四象限 答