(电大复习)《微积分初步》期末复习资料

微积分初步 （ 12 春 ） 期末 模拟 试题 一、 填空题 函数 74)2( 2 xxxf ，则 )(xf 62 x 若 2sin 6sinlim0 kxxx，则 k 1 曲线 1e)( xxf 在 )2,0( 处的切线斜率是 2121 xy 若x1是 )(xf 的一个原函数，则 )(xf dxe x2 xyyy 2s inln)( 4 为 4 阶微分方程 . 6.函数 72)1( 2 xxxf ，则 )(xf 32 x 7.若 函数0,0,13s in)(xkxxxxf ,在 0x 处连续 ，则 k 3 8.曲线 xy 在点 )1,1( 处的切线方程是 1 9. xx ded 2 32x 10.微分方程 xyxyy s in4)( 5)4(3 的阶数为 3 11.函数 xxxf 4)2ln ( 1)(的定义域是 4,1()1,2( 12.若 24sinlim0 kxxx，则 k 2 13.曲线 xy e 在点 )1,0( 处的切线方程是 1 xy 14. e12 d)1ln (dd xxx 0 15.微分方程 1)0(, yyy 的特解为 xy e 16.函数24)1ln ( 1)( xxxf 的定义域是 2,0()0,1( 17.函数1 322 x xxy的间断点是 = 1x 18.函数 2)1(3 xy 的单调增加区间是 ),1 19.若 cxxxf 2s ind)( ，则 )(xf = x2cos2 20.微分方程 xyyxy s in4)( 53 的阶数为 3 21.函数24)2ln ( 1)( xxxf 的定义域是 2,1()1,2( 23.若 函数0,0,2)( 2xkxxxf ,在 0x 处连续 ，则 k 2 24.曲线 xy 在点 )1,1( 处的斜率是 21 25. xx d2 cx 2ln2 26.微分方程 xy 2 满足初始条件 1)0( y 的特解为 12xy 27.函数 24)2( 2 xxxf ，则 )(xf 62 x 28.当 x 0 时，xxxf 1sin)( 为无穷小量 . 29.若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 y (1) = 2 30. xxx d)135(11 32 31.微分方程 1)0(, yyy 的特解为 xy e . 32.函数24)2ln ( 1)( xxxf 的定义域是 2,1()1,( 33.若 函数0,0,13s in)(xkxxxxf ,在 0x 处连续 ，则 k 1 34.曲线 xy 在点 )1,1( 处的切线方程是 2121 xy 35. xxs d)in( cxsin 36.微分方程 xyyxy s in4)( 53 的阶数为 3 37 函数 xxxf 2)1( 2 ，则 )(xf 12x 38. xxx1sinlim 1 39.曲线 xy 在点 )1,1( 处的切线方程是 2121 xy 40.若 cxxxf 2s ind)( ，则 )(xf in2x4s 51.微分方程 xyxyy c o s4)( 7)5(3 的阶数为 5 二、单项选择题 函数2 eexxy 的图形关于（ B ）对称 A。坐标原点 B。 x 轴 C y 轴 D。 xy 当 k （ C ）时，函数0,0,2)(xkxexf x 在 0x 处连续 . A 0 B 1 C 2 D 3 函数 722 xxy 在区间 )2,2( 是（ D ） A单调减少 B单调增加 C先减后增 D先增后减 下列等式成立的是（ A ） A )(d)(dd xfxxfx B )(d)( xfxxf C )(d)(d xfxxf D )()(d xfxf 微分方程 1 yy 的通解为 （ B ） A. 1e xcy ； B. 1e xcy ； C. cxy 221； D. cxy 6.设函数2 eexxy ，则该函数是（ A ） A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 7.已知 1sin)( x xxf，当（ D ）时， )(xf 为无穷小量 . A x B x C 0x D 1x 8.函数 2)1( xy 在区间 )2,2( 是（ C ） A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增 9.以下等式成立的是（ A ） A3ln3dd3xx x B )1(d1 d 22 xxx C xxx dd D )1d(dln xxx 10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ） A. yxxy dd； B. yxyxy dd； C. xxyxy sindd ； D. )(dd xyxxy 11.设函数 xxy sin ，则该函数是（ A ） A偶函数 B奇函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 12.当 k （ C ）时，函数0,0,2)( 2xkxxxf ，在 0 处连续 . A 0 B 1 C 2 D 3 14.下列结论中（ C ）正确 A )(xf 在 0xx 处连续，则一定在 0x 处可微 . B 函数的极值点一定发生在其驻点上 . C )(xf 在 0xx 处不连续，则一定在 0x 处不可导 . D 函数的极值点 一定 发生在不可导点上 . 15.下列等式中正确的是（ D ） A . )c osd(dsin xxx B. )1d(dlnxxx C. )d(d xx axa D. )d(2d1 xxx 16.微分方程 xyyxy s in4)( 53 的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 设函数2 1001xxy ，则该函数是（ B ） A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 17.当 0x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ） . Ax1BxxsinC )1ln( x D2xx 18.设 y x lg2 ，则 dy （ D ） A 12 dx xB 1dx xC ln10x xdD 1 dx xln1019.在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（ 1, 4）的曲线为 （ C ） A 12 xy B 22 xy C y = x2 + 3 D y = x2 + 4 20.微分方程 1 yy 的通解是（ A ） A. 1e xCy ； B. 1e Cxy ； C. Cxy ； D. Cxy 22121.设 32)1( 2 xxxf ，则 )(xf （ D ） A 12x B 22 x C 42 x D 42 x 22.若函数 f (x)在点 x0处可导，则 ( B )是错误的 A函数 f (x)在点 x0处有定义 B Axfxx )(lim 0，但 )(0xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微 33.函数 642 xxy 在区间 )4,4( 是（ A ） A先减后增 B先增后减 C单调减少 D单调增加 34.若 )0()( xxxxf ，则 xxf d)( （ B ） . A. cxx 2 B. cxx C. cxx 2323221D. cxx 2322335.微分方程 xyyyxy s in4)( 53 的阶数为（ C） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 36.函数)1ln( 1)( xxf的定义域是（ C ） A ),1( B ),1()1,0( C ),2()2,1( D ),2()2,0( 37.曲线 1e2 xy 在 2x 处切线的斜率是（ D ） A 2 B 2e C 4e D 42e 38.下列结论正确的有（ B ） A 若 f (x0) = 0，则 x0必是 f (x)的极值点 B x0是 f (x)的极值点，且 f (x0)存在，则必有 f (x0) = 0 C x0是 f (x)的极值点，则 x0必是 f (x)的驻点 D 使 )(xf 不存在的点 x0，一定是 f (x)的极值点 39.下列无穷积分收敛的是（ A ） A 0 2 de xxB 1 d1 xxC 1 d1 xx D 0 din xxs40.微分方程 xyxyy lnc o s)( 2)4(3 的阶数为（ D ） A. 1； B. 2； C. 3； D. 4 41.设 1)1( 2 xxf ，则 )(xf （ C ） A )1( xx B 2x C )2( xx D )1)(2( xx 42.若函数 f (x)在点 x0处可导 ，则 ( B)是错误的 A函数 f (x)在点 x0处有定义 B Axfxx )(lim 0，但 )(0xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微 43.函数 2)1( xy 在区间 )2,2( 是（ D） A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增 44. xxfx d)( （ A ） A. cxfxfx )()( B. cxfx )( C. cxfx )(21 2D. cxfx )()1( 45.下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B） A. yxxy dd； B. yxyxy dd； C. xxyxy sindd ； D. )(dd xyxxy 46.设函数 xxy sin2 ，则该函数是（ d） A非奇非偶函数 B既奇又偶函数 C偶函数 D奇函数 47.当 0x 时，下列变量中为无穷小量的是（ c ） . Ax1BxxsinC )1ln( x D2xx 48.下列函数在指定区间 ( , ) 上单调 减少 的是（ b ） A xcos B x5 C 2x D x2 49.设 cx xxxf lnd)(，则 )(xf （ c ） A. xlnln B. xxlnC. 2ln1 x x D. x2ln 50.下列微分方程中，（ a ）是线性微分方程 A xyyxy x lnes in B xxyyy e2 C yyxy e D yyyx ln2 三、计算题 计算极限1 32lim 221 xxxx 设 xxy ecosln ， 求 yd . 计算不定积分 xxx de21 计算定积分 xxe dln15.计算极限4 86lim 222 xxxx 6.设 xxxy co sln ，求 yd . 7.计算不定积分 xxx de21 8.计算定积分 xxx dcos20 9.计算极限23 86lim 222 xxxxx 解：原式 214lim)1)(2( )2)(4(lim 22 xxxx xx xx10.设 xxy 3cosln ，求 yd . 解： )s in(c o s31 2 xxxy xxxxy d)c o ss i n31(d 211.计算不定积分 xx d)12( 10 解： xx d)12( 10 = cxxx 1110 )12(221)12(d)12(21 12.计算定积分 xxdln2e1解： xxdln2e1 21ln exx 1e1ee2d 222e12 xxx13.计算极限45 54lim 221 xxxxx 解：原式 23645lim)1)(4( )1)(5(lim 11 xxxx xx xx14.设 xy x lne 1 ，求 yd . 解：xxy x 112 1e 1 9 分 xxxyx d)112e(d 1 15.计算不定积分 xxxd1cos2解： xxxd1cos2= cxxx 1s in1d1c o s16.计算定积分 xx xde10解： xx xde10 10xxe 1de 1010 xx eex 17.计算极限45 1lim 221 xxxx 解：原式3241lim)1)(4( )1)(1(lim 11 xxxx xx xx18.设 xy x cose 2 ，求 yd . 解： xy x s ine2 2 xxy x d)s i ne2(d 2 19.计算不定积分 xxx dcos 解： xxx dcos = cxxxxxsxx c o ss indins in20.计算定积分 xxx dln113e1 解： xxx dln113e1 2ln12)ln1d(ln11 3311 ee xxx21.计算极限4 6lim 222 xxxx 解：4 6lim 222 xxxx 4523lim)2)(2( )2)(3(lim22 xxxx xxxx22.设 xxy 3cos5s in ，求 yd . 解： )s in(c o s35c o s5 2 xxxy xxx 2c o ss i n35c o s5 xxxxy d)c o ss i n35c o s5(d 2 23.计算不定积分 xxxxx ds in3 3 解： xxxxx ds in3 3 = cxxx co s32ln3 23 24.计算定积分 0 dsin2 xxx 解： 0 dsin2 xxx2s i n212dc os21c os21000 xxxxx25.计算极限45 86lim 224 xxxxx 解：原式3212lim)1)(4( )2)(4(lim 44 xxxx xx xx26.设 xy x 3sin2 ，求 yd . 解： xy x 3c o s32ln2 9 分 dxxdy x )3c o s32ln2( 27.计算不定积分 xxx dcos 解： xxx dcos = cxxxxxsxx c o ss indins in 28.计算定积分 xx x dln51e1 解： xx x dln51e1 ee xxx 121 )5 l n(1101)5 ln) d ( 15 ln(151 27)136(101 29.计算极限623lim 222 xxxxx 解：原式5131lim)3)(2( )2)(1(lim 22 xxxx xx xx30.设 xxy 2cos ，求 yd . 解： 2ln221s in xxxy xxxy x d)2s i n2ln2(d 31.计算不定积分 xx d)12( 10 解： xx d)12( 10 = cxxx 1110 )12(221)12(d)12(21 32.计算定积分 20 dsin xxx解： 20 dsin xxx 20cosxx 1s indc o s2020 xxx 四、应用题 1.某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时 可使 用料最省？ 2.欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 3.欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 设底边的边长为 x ，高为 h ，用材料为 y ，由已知22108,108 xhhx xxxxxxhxy 43210844 2222 令 043222 xxy，解 得 6x 是唯一驻点， 且 04322263xxy ， 说明 6x 是函数的极小值点，所以当 6x ， 336108 h时用料最省。 4.欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为 x ，高为 h ，用材料为 y ，由已知2232,32 xhhx xxxxxxhxy 1283244 2222 令 012822 xxy，解得 4x 是惟一驻点，易知 4x 是函数的极小值点，此时有 24322 h，所以当 4x ， 2h 时用料最省 16 分 5.用钢板焊接一个容积为 4 3m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米 10元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为 x ，高为 h ，表面积为 S ，且有24xh 所以 ,164)( 22xxxhxxS 2162)( xxxS 令 0)( xS ，得 2x ， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 1,2 hx 时水箱的面积最小 . 此时的费用为 1604010)2( S （元） 6.用钢板焊接一个容积为 4 3m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米 10元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为 x ，高为 h ，表面积为 S ，且有24xh 所以 ,164)( 22xxxhxxS 2162)( xxxS 令 0)( xS ，得 2x ， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 1,2 hx 时水箱的表面积最小 . 此时的费用为 1604010)2( S （元） 7.欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为 x ，高为 h ，用材料为 y ，由已知2232,32 xhhx xxxxxxhxy 1283244 2222 令 012822 xxy，解得 4x 是惟一驻点，易知 4x 是函数的极小值点，此时有 24322 h，所以当 4x ， 2h 时用料最省 16 分 8.欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 设长方体底边的边长为 x ，高为 h ，用材料为 y ，由已知22108,108 xhhx xxxxxxhxy 43210844 2222 令 043222 xxy，解得 6x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以 6x 是函数的极小值点，即当 6x ，336108 h 时用料最省 . 微积分初步考试仿真试题 一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分） 函数 24)2( 2 xxxf ，则 )(xf 当 x 时，xxxf 1sin)( 为无穷小量 . 若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 y (1) = xxx d)135(11 3 微分方程 1)0(, yyy 的特解为 . 二、单项选择题 （每小题 4 分，本题共 20 分） 函数)1ln( 1)( xxf的定义域是（ ） A ),1( B ),1()1,0( C ),2()2,1( D ),2()2,0( 曲线 1e2 xy 在 2x 处切线的斜率是（ ） A 2 B 2e C 4e D 42e 下列结论正确的有（ ） A 若 f (x0) = 0，则 x0必是 f (x)的极值点 B x0是 f (x)的极值点，且 f (x0)存在，则必有 f (x0) = 0 C x0是 f (x)的极值点，则 x0必是 f (x)的驻点 D 使 )(xf 不存在的点 x0，一定是 f (x)的极值点 下列无穷积分收敛的是（ ） A 0 2 de xxB 1 d1 xxC 1 d1 xx D 0 din xxs微分方程 xyxyy lnc o s)( 2)4(3 的阶数为（ ） A. 1； B. 2； C. 3； D. 4 三、计算题 （本题共 44 分，每小题 11 分） 计算极限4 6lim 222 xxxx 设 xxy 3cos5s in ，求 yd . 计算不定积分 xxxxx ds in3 3 计算定积分 0 dsin2 xxx 四、应用题 （本题 16 分） 用钢板焊接一个容积为 4 3m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米 10元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 微积分初步模拟试题答案 （供参考） 一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分） 62 x 0 2 2 xy e 二、单项选择题 （每小题 4 分，本题共 20 分） C D B A D 三、 （本题共 44 分，每小题 11 分） 解：4 6lim 222 xxxx 4523lim)2)(2( )2)(3(lim22 xxxx xxxx解： )s in(c o s35c o s5 2 xxxy xxx 2c o ss i n35c o s5 xxxxy d)c o ss i n35c o s5(d 2 解： xxxxx ds in3 3 = cxxx co s32ln3 234解： 0 dsin2 xxx2s i n212dc