(电大复习)工程数学复习资料(本）

工程数学复习资料 一、 线性代数 1、 矩阵的初等行变换： 1）两行互换， 2）某一行乘以一个非零常数， 3）某一行的 K 倍加到另一行 。 2、 阶梯型矩阵： 1）全为 0 的行写在最下面， 2）首非零元的列标随行标的 增大而增大。如2 3 0 1 3 10 1 4 6 5 00 0 0 1 2 40 0 0 0 0 03、 行简化阶梯型矩阵：满足下列条件的阶梯型矩阵： 1）首非零元全为 1， 2）首非零元所在列其余元素全为 0。如：1 0 1 0 2 50 1 4 0 3 10 0 0 1 2 30 0 0 0 0 04、 求矩阵 A 的秩： A 初等行变换 阶梯型矩阵。阶梯型矩阵非零行的行数既为矩 阵 A 的秩 即 r(A) 例： 设矩阵1 1 5 1 21 1 2 3 53 1 8 1 91 3 9 7 8A，求矩阵 A 的秩 解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形 68144034720347202151187931918135321121511 1 1 5 1 20 2 7 4 30 0 0 0 00 0 0 0 0由此可知矩阵的秩为 2 5、 求矩阵方程 AX=B：（ A B） 初等行变换 (I X)或 X= 1A B 求矩阵 A 的逆矩阵：（ A I） 初等行变换 （ I 1A ） 1. 例： 设矩阵 A=322121011 ,B=500050002 ,求 A1 B. 或解矩阵方程 AX=B 解：（ AB） =50032205012100201150434052110002011 5201210005211005410152012100515100105158001 BA1 52012515105158例： 设矩阵 ,100110132A ，求： 1A 解： 100100010110001132IA 10010011001012/32/1001100100110010101032 所以 10011012/32/11A 6 、 n 元线性方程组解的判定 1） AX=b ： r(A b)=r(A)时，方程组有解个自由未知量时，有无穷多解，且有时，方程组有唯一解r-n)()()()(nrArAbrnArAbr r(Ab) r(A)时，方程组无解 AX=0： 方程组一定有解个自由未知量时，有非零解，且有时，方程组有唯一零解r-n)()(nrArnAr 2） 求齐次线性方程组 AX=0 的基础解系：将 方程组中的自由未知量分别取（ k， 0， 0） ,(0,k,0),(0,0,k)形式所得到的解向量 3）求 AX=0 的一般解和全部解： 方程组的全部解基础解系方程组的一般解行简化阶梯型矩阵初等行变换 A 求 AX=b 的一般解和全部解： 方程组的全部解原方程组的一个特解解系相应齐次方程组的基础方程组的一般解行简化阶梯型矩阵初等行变换 )( Ab 例：设齐次线性方程组 0AX 的系数矩阵经过初等行变换，得 000023200102A 求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解 解： 因为 000012/31002/101000023200102得一般解： 432312321xxxxx （其中43,xx是自由元） 令 0,243 xx，得 02311X ； 令 1,043 xx，得 10102X 所以， 21 , XX是方程组的一个基础解系 方程组的通解为： X2211 XkXk ，其中21,kk是任意常数 例： 2.线性方程组262124204831234321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的全部解 解 ： （ A b ） =216211241201483112313085030850322101123100000121020032210854010000065100980101615001 方程组的一般解43424156891516xxxxxx 将常数项视为零，取14 x 得 相应齐次方程组的一个基础解系15815，取 04 x 原方程组的一个特解06916故 方程组的全部解 X=06916+C15815例：当 取何值时，线性方程组 1479637222432143214321xxxxxxxxxxxx有解，在有解的情况下求方程组的全部解 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 191022201051110212111147963712212111000010511108490110000105111021211由此可知当 1 时，方程组无解。当 1 时，方程组有解。 此时齐次方程组化为 43243151149xxxxxx 分别令 x x3 41 0 ,及 x x3 40 1 ,，得齐次方程组的一个基础解系 1054,01119 21 XX 令 x x3 40 0 ,，得非齐次方程组的一个特解 001080X由此得原方程组的全部解为 X X k X k X 0 1 1 2 2 （其中 k k1 2,为任意常数） 二、 概率部分 1、 假设 BA, 为两事件，已知 4.0)(,6.0)(,5.0)( ABPBPAP ，求 )( BAP 解： 2.04.05.0)()()( ABPAPBAP 4.02.06.0)()()( BAPBPABP 7.0)()()()( ABPBPAPBAP 2、正态分布 X ),( 2N )()( bbXP , )()()( abbXaP ,P(Xb)=1-P（ Xb） =1- )( b ),(1)( xx 5.0)0( 例： .设 X N(2,9),试求（ 1） P(X11)；(2)P（ 5X8） .（已知（ 1） =0.8413， （ 2） =0.9772，（ 3） =0.9987） 解： P(X11)= (3211)= (3)=0.9987 P(5X1.96 故认为这批砖的抗断强度不合格 例：某钢厂生产了一批管材，每根标准直径 100mm,今对这批管材进行检验，随机取出 9 根，测得它们直径的平均值为99.9mm,样本标准差 s=0.47,已知管材直径服从正态分布，