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一般方程的求解一、 求解简单方程（组）数学里的方程是带有变量的等式。一般地说，一个或一组方程总是对于方程中出现的变量的可能取值范围增加了一些限制。所谓求解方程就是设法把方程对于变量取值的限制弄清楚，最好的结果是用不含变量的表达式把变量的值表示出来。在这个系统里，方程也用含有变量的等式表示，要注意的是在这里等号用连续的两个等号(=)表示。方程的两端可以是任何数学表达式。用户可以自己操作Mathematica系统去求解方程，例如使用移项一类的等价变换规则对方程加以变形、对方程的两端进行整理、把函数作用于方程的两端等等。系统也提供了一些用于求解方程的函数。1、 求方程的代数解最基本的方程求解函数是Solve，它可以用于求解方程(主要是多项式方程)或方程组。Solve有两个参数，第一个参数是一个方程，或者是由若干个方程组的表(表示一个方程组);第二个参数是要求解的变量或变量表。例如，下面的式子对于变量X求解方程：In1:=Solvex4-x3-6x2+1=0,x输入了这个表达式，系统立刻就能计算出方程的四个根，求出的解都是精确解(代数根)。对于一般的多项式，这样得出的解常常是用根式描述的复数。方程的解被表示成一个表，表中是几个子表，每一个子表的形式都是x-.，箭头后面是方程的一个解。Solve也可以求解多变量的方程或者方程组:In2:=Solvex-2y=0,x2-y=1,x,y这个表达式求解方程组:有时求解方程会得到非常复杂的解。例如将上面的第一个方程稍加变形，所得到的解的表达式就会变得很长:In3:=Solvex4-x3-6x2+2=0,x这个表达式求出的解的表达式非常长，用以至一个计算机屏幕显示不下。使用MS-DOS系统上的Mathematica的读者可以用键盘上的PgUP键和PgDn键把计算机屏幕上已经卷出的表达式翻回来阅读，也可用Simplify函数来简化运算。在被求解的方程里还可以有其他符号参数，可以要求系统对于这一个或者那一个变量求解方程。对于Mathematica系统来说，方程中的符号变量（无论使用什么变量名）都是一样的。对于处理复杂的方程，Mathematica系统还提供了例外两个有用的函数。函数Eliminate用于从方程组消去一个或几个变量，例如下面的表达式消去方程组里的变量Y:IN4:=EliminateX2-2Y= =1,X+2Y= =4,YEliminate 的使用形式与Solve类似，它的第二个参数用于说明希望消去的变量。另一个函数Reduce用于化简复杂的方程或方程组，它试图用一组比较简单的逻辑关系来描述由原来方程所描述的变量之间的关系。它的使用形式与Solve, Eliminate一样，这里不举例字了。2、 求方程的数值解理论上已经证明，对于五次以上的多项式方程没有求代数解的一般方法，Mathematica也求不出那些不能分解因式的五次以上的多项式方程的解，例如：IN5:=SolveX5+5X3-2= =0,X它返回一个带有函数TORUOES的表达式。可以把函数N作用到这个结果表达式上，求出方程的数值解：IN6:=N%可以看到系统同时求出了方程的五个根的时候可以直接用函数N和Solve结合完成工作： IN7:=NSolveX6+4X2-31= =0,X在系统里直接提供了一个函数NSolve做这件事。对于更复杂的方程（或方程组），用Solve求不出根，使用函数N也解决不了问题。对于这样的方程，用户可以使用Reduce，Eliminate等函数去处理，设法把方程描述的变量之间的关系搞清楚。如果需要的就是方程的根，那么只要用求数值根的函数FindRoot。函数FindRoot求数值根所采用的方法与人们一般用计算机求数值根的方法一样。但是，由于Mathematica有求导函数的能力，在这里计算有导函数的表达式的数值根就非常简单。不管表达式多么复杂，系统都能自动的求出它的导函数。求数值根使用的也是牛顿法，用户必须给FindRoot提供一个初始值。下面一个简单的例子：IN8:=FindRootSinx+Expx,x,0求解常微分方程1、常微分方程（组）的精确解 Mathematica能求常微分方程（组）的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围，功能很强。但不如人灵活（例如在隐函数和隐方程的处理方面），输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同。另外，Mathematica求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。求准确解的函数调用格式如下：DSolveeqn，yx，x 求方程eqn的通解y（x），其中自变量是x。DSolveeqn，yx0= =y0，yx，x求满足初始条件y（x0）= y0的特解y（x）。DSolveeqn1，eqn2，y1x，y2x，x 求方程组的通解。DSolveequ1，y1x0= =y10，y1x，y2x，x 求方程组的特解。 说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方程的表示法只有通过例题才能说清楚。例1 解下列常微分方程（组）： （1），（2）， （3） ， （4）的通解及满足初始条件y（0）=0，z（0）=1的特解。 解：In1：=DSolveyx= =2yx/（x+1）+（x+1）（5/2）， yx，x Out1= In2：=DSolveyx= =（1+yx2）/(x+x3）yx)，yx，x Out2=， In3：=DSolveyx= =zx，zx= = -yx， yx，zx，x Out3=yxC1Cosx+ C2Sinx， zxC2Cosx- C1Sinx In4：=DSolveyx= =zx，zx= = -yx，y0= =0，z0= =1， yx，zx，x Out4=yxSinx，zxCosx 提示：认真观察上例，可以从中学习输入格式，未知函数总带有自变量，等号用连续键入两个等号表示，这两点由于不习惯会出错！导数符号用键盘上的撇号，连续两撇表示二阶导数，这与习惯相同。自变量、未知量、初始值的表示法与普通变量相同。 说明：输出结果总是尽量用显式解表出，有时反而会使表达式变得复杂，这与教科书的习惯不同。当求显式解遇到问题时，会给出提示。通解中的任意常数用C1，C2，表示。例2 求解下列微分方程： （1），（2），（3）。解：In1：=DSolve+3yx +3yx + yx = =（x - 5）Exp-x， yx，x Out1= In2：=Simplify% Out2= In3：=DSolvex2 + yx2 = = 1，yx，x Out3=， In4：=DSolveSqrtyx = = x yx，yx，x Out4= 说明：由以上可以看出对方程的类型并无限制，但是输出的答案未必符合习惯，例如第一个方程的答案需要化简，有时即使化简后也未必与教材上的答案一致。例3 求微分方程xy+ y - ex = 0在初始条件y|x=1 = 2e下的特解。 解：In1：=DSolvex*yx+yx-Ex= =0，y1= =2E，yx，x Out1= yx 习题 1 求下列方程的解。（1）x3-5x+1=0，（2）x6-5x4+x3-2=0（3）（4）2求下列一阶微分方程的通解或特解。（1）y- 3xy = 2x； （2）xy+ y - ex = 0，y|x=a=b。2 求下列二阶微分方程的通解或特解。 （1）y- 2y+5y = 5x+2； （2）y+ 2y+2y = - e -x，y（0）= y(0) = 0。函数图像的绘制Mathematica系统提供了完善的图形处理功能，不仅可以绘制二维图形，而且可以绘制三维图形。在Mathematica系统中，用Plot和ParametricPlot命令绘制二维图形。本节主要介绍如何绘制、标记二维图形以及二维参数作图。 一、 基本二维图形Plot命令有多种使用形式，表1给出其命令格式与意义:表1 二维绘图命令命令格式意义Plotf,x,xmin,xmax绘出x在xmin到xmax范围内变化的函数f的图形Plotf1,f2,x,xmin,xmax在x的变化范围内绘出多个函数的图形例1绘出函数y=1+x2在x从2到2变化的图形.解在Notebook窗口输入以下命令，然后按Shift+Enter键，图形显示见下图。例2绘出函数在x从1到1变化的图形.解在Notebook窗口输入以下命令，然后按Shift+Enter键，图形显示见下图。例3在同一个坐标系内绘出函数随x从到变化的图形.解 在Notebook窗口输入以下命令，然后按Shift+Enter键，图形显示见下图。图形标记通常情况下，当我们利用Mathematica作图时，你可以改变Mathematica的设置来得到你所需的最佳效果的图形。改变设置的格式为：Plotf,xmin,xmax,option-value其中option为图形输出输出选项，value为图形输出参数，表2 给出Plot命令的参数。表2 Plot命令的参数输出选项默认值意 义AspectRatio1/GoldenRatio图形的高宽比（默认值为黄金分割的倒数）AxesAutomatic是否包含坐标轴AxesLabelNone在坐标轴上作标记；ylabel规定y轴上的标记，xlabel,ylabel同时对两个坐标轴加标记AxesOriginAutomatic坐标原点TextStyleStextStyle图形文字缺省风格FormatTypeStandardForm图形缺省格式类型DisplayFunctionSdisplayFunction如何显示图形，Identity为不显示FrameFalse图形是否加框FrameLabelNone在图形框周围加标记FrameTicksAutomatic绘出图形框标记，None不给出标记GridLinesNone绘制何种网格，Automatic在每个标记点都绘出坐标方格线PlotLabelNone给出图形表达式PlotRangeAutomatic图中坐标范围，All包括所有点TicksAutomatic如果有轴，应做什么样的标记，None表示无标记表3给出函数作图命令设置的一些常用选项：表3设置命令的常用选项命令命令选项意义Automatic使用内部算法（即系统默认值）None不包括这个All包括每一个True做这个False不做这个例4作出函数的系统默认值的图形和各种图形设置下的图形。解在Notebook窗口输入以下命令，然后按Shift+Enter键，图形显示见图E2-4。图E24如果需要标注坐标轴x和y，做出函数，带有坐标轴标记的图像见图E2-5。图E2-5图E2-6是函数图像在同时给出多个设置（可以按任意顺序）后的图形：Frame 参数指定了在图形的周围是否加边框。取值为True，表示加边框：取值为False，表示不加边框。图显示的是加边框，无坐标轴，绘制网格的图形。图E2-6图E2-7是将函数图像按图形的高宽比为1：3输出的图形：图E2-7Axes 参数指出了x 坐标和y 坐标的标志。这里的标志可以是用双引号给出的任何文本。如图E2-8所示，给出了坐标的标志。图E2-8PlotRange 参数画图的时候，只是在正常点的取值时，x，y 的值是按照比例显示的。但如果函数在某一部分值有突变，如导数很大的情况、奇点或者有很窄的尖峰，系统就会将这一部分切除。这些都是自动完成的。通过参数PlotRange，也可以指定图形中显示的x，y 坐标的范围。这个参数的取值如下：Automatic 至少包括了很大部分的点。All 给出全部的点。ymin,ymax 给出特定范围的y 值。xrange,yrange 给出特定范围的x、y 值。如图图E2-9所示，PlotRange 参数给出了图形中y 取值的限制。这样，不符合条件部分的点在图形中就不会显示出来。图E2-9（y 取值的限制）二、 数据集合的图形Mathematica用于绘制数字集合的图形的命令与前面介绍的绘函数图形的命令是相似的。其一般形式如表E29：表E29离散数据绘图命令命令格式意义ListPloty1,y2,绘出在x的值为1,2, 时y1,y2,的图形ListPlotx1,y1,x2,y2,绘出离散点（x1,y1）,（x2,y2）,ListPlotlist,PlotJoined-True把离散点连成曲线例5 作出数据集合的数据点的图形和拟合后的曲线图形。在Notebook窗口先输入这个集合的离散数据：利用ListPlot绘出的数据点见图E210。图E210再用PlotJoined-True来把这些点连接起来，见图E2-11。图E211三、 二维图形元素用图形元素命令适合于绘制结构复杂的图形。Mathematica中还提供了各种二维图形元素命令，如绘制点、线段、圆弧等命令。同样我们可先用Graphics作出平面图形的表达式，再用Show显示完成的图形。表E211给出在Mathematica中常用的二维图形元素：表E211Mathematica中常用的二维图形元素命令命令格式意义Pointx,y点Linex1,y1,x2,y2,线段Rectanglexmin,ymin,xmax,ymax填充矩阵Ploybonx1,y1,x2,y2,填充多边形Circlex,y,r圆Circlex,y,rx,ry半轴分别为rx和ry的椭圆Circlex,y,r,theta1,theta2圆弧Circlex,y,rx,ry,theta1,theta2椭圆弧Diskx,y, r填充圆Textexpr,x,y文本下图绘出一个有颜色和大小的点，且在图形四周插入文本g1=GraphicsTextleft,-1,1,-1,0,TextRight,1,0,1,0,TextAbove,0,1,0,-1,TextBelow,0,-1,0,-1, PointSize0.3,Point0,0,PlotRangeAll下面绘制一些有线条组成的图形当然也可以添加坐标轴下面的例子，说明了这一点。下面的例子，是说明了Retangle的图形绘制，例子中用一些小矩形逼近正弦曲线与x轴所成面积。程序中生成一个图形集合并显示出来。图形的样式：我们称图形的颜色、曲线的形状和宽度等特性为图形样式。在本节中，我们就图形的各种样式，尤其是曲线的样式进行学习。下面给出选项用于设置图形样式。Graykvel 灰度介于0(黑)到l(白)之间RGBColorr,g,b由红、绿，蓝组成的颜色，每种色彩取0到1之间的数HueA 取0到1之间的色彩Hueh,s,b指定色调，位置和亮度的颜色，每项介于0到1之间PointSized 给出半径为d的点，单位是Plot的一个分数AbsolutePointSized 给出半径为d的点(以绝对单位量取) Thicknessw 给所有线的宽度w，单位是Plot的分数AbsoluteThicknessw 给所有线的宽度w，(以绝对单位量取) Dashingwl,w2,. 给所有线为一系列虚线，虚线段的长度为wl，w2, Absolutedashingw1,w2,. 以绝对单位给出虚线长度PlotStyle-style 设立Plot中所有曲线的风格PlotStyle-Style1,Style2.设立Plot中一些列曲线的风格 MeshStyle-Style 设立宽度和表面网格的风格4.1.图形颜色的设置在Mathematica提供各种图形指令中，对图形元素颜色的设置是一个很重要的设置.。下面给出三条不同颜色的正弦曲线，此处以灰度表示，即颜色深浅不同。 下面用不同的色调对三个菱形进行着色。4.2.图形大小下面是一些点，注意点大小的控制。下面的点的控制是用绝对单位五、图形的重绘和组合每次绘制图形后，Mathematica保存了图形的所有信息，所以用户可以重绘 这些图形。我们在重绘图形的时候，还可以改变一些使用。下面是常用重绘图形的函数。Showplot重绘图形 Showplot,option-value 改变方案重绘图形 Showplot1,plot2,plot3多个图形的绘制 ShowGraphcisArrayplot1,plot2, 绘制图形矩阵 InputFormplot 给出所有的图形信息 5.1.使用Show显示图形下面绘制函数Sinx2 的图形。 重绘图形时，可以改变命令的设置，下面改变y的比例同时给 图边框5.2.使用Show命令进行组合 也可使用Show进行图形组合。图形组合与图形是否有相同的比例无关，这是Mathematica会自动选择新的比例来绘制图形。下面绘制函数-xsin(2x+Pi)的图形和xcos(2x) 然后绘制在一张图时。（二）、基本三维图形绘制函数f(x，y)在平面区域上的三维立体图形的基本命令是Plot3D，Plot3D和Plot的工作方式和选项基本相同。ListPlot3D可以用来绘制三维数字集合的三维图形，其用法也类似于listPlot，下面给出这两个函数的常用形式。 Plot3Df ,(x,xmin,xmax)，(y,ymin,ymax) 绘制以x和y为变量的三维函数的图形ListPlot3DZ11,Z12,，Z21,Z22,. 绘出高度为Zvx数组的三维图形Plot3D同平面图形一样，也有许多输出选项，你可通过多次试验找出你所需的最佳图形样式。选项取值意义 AxesTrue是否包括坐标轴AxesLabel None 在轴上加上标志：zlabel规定z轴的标志，xlabel,ylabel,zlabel规定所有轴的标志 Boxed True 是否在曲面周围加上立方体ColorFunction Automatic 使用什么颜色的明暗度；Hue表示使用一系列颜色TextStyle STextStyle 用于图形文本的缺省类型ormatType StandardForm 用于图形文本的缺省格式类型DisplayFunctionSdlisplayFunction如何绘制图形，Indentity表示不显示 FaceGrids None 如何在立体界面上绘上网格；All表示在每个界面上绘上网格HiddenSurface True 是否以立体的形式绘出曲面Lighdng True 是否用明暗分布米给表面加色 Mesh True 是否在表面上绘出xy网格PlotRange Automatic 图中坐标的范围；可以规定为All，zmin,zmax或xminn,xmax，ymin,ymax,zmin,zmaxShading True 表面是用阴影还是留空白ViewPoint13，-24,2 表面的空间观察点1.三维绘图举例(1)函数sin(x+y)cos(x+y)的立体图 2)对于三维图形中Axes、Axeslabel、Boxed等操作同二维图形的一些操作很相似。用PlotRange设定曲线的表面的变化范围。(3)图形