材料力学范钦珊习题参考解答.pdf

1 3 等截面直杆 其支承和受力如图所示 关于其轴线在变形后的位置 图中虚线所示 有四种答案 根据弹性体的特点 试分析哪一种是合理的 正确答案是 C 2 1 两根直径不同的实心截面杆 在 B 处焊接在一起 弹性模量均为 E 200 GPa 受力和尺寸等均标在 图中 试求 1 画轴力图 2 各段杆横截面上的工作应力 3 杆的轴向变形总量 解 轴力图 略 解 轴力图 略 a 1 MPa 5 95 1020 10304 4 62 3 2 1 N1 1 N1 d F A F AB MPa 113 1030 10 3050 4 62 3 2 N2 A F BC 2 mm 06 1 2 2N2 1 1N1 EA lF EA lF lll BCAB 2 3 长度 l 1 2 m 横截面面积为 1 10 l0 3 m2的铝制圆筒放置在固定的刚性块上 直 径 d 15 0 mrn 的钢杆 BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上 铝制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合 若在钢杆的 C 端施加轴向拉力 FP 且已知钢和铝的弹性模量分别为 Es 200 GPa Ea 70 GPa 轴向载荷 FP 60 kN 试求钢杆 C 端向下移动的距离 60kN P F B m2 1 a E P F x A 解 解 1 铝筒 aa P AE lF uu AB BA 其中 uA 0 s A s E C x kN60 P F m1 2 kN60 P F OB A 935 0 101010 11070 102 11060 633 33 B umm 2 钢杆 50 4 15 4 10200 101 21060 935 0 23 33 ss P AE lF uu BC BC mm 2 4 直杆在上半部两侧面都受有平行于杆轴线的均匀分布载荷 其集度为p 10 kN m 在自由端 D处作用有集中力FP 20 kN 已知杆的横截面面积A 2 0 10 4 m2 试求 1 A B E三个横截面上的正应力 2 杆内横截面上的最大正应力 井指明其作用位置 解 解 由已知 用截面法求得 FNA 40 kN FNB 20 kN FNE 30 kN 1 200 100 2 1040 4 3 N A F A A MPa 100 N A F B B MPa 150 N A F E E MPa 2 200 max A MPa A截面 2 6 现场施工所用起重机吊环由两根侧臂组成 每一侧臂AB和BC都由两根矩形截面杆所组成 A B C三处均为铰链连接 如图所示 已知起重载荷FP 1200 kN 每根矩形杆截面尺寸比例b h 0 3 材料的 许用应力 78 5 MPa 试设计矩形杆的截面尺寸b和h 习题 2 4 图 C B D A E30 20 40 kN Nx F 习题 2 6 图 P F B N F N F N 2FN 2F 解 解 由对称性受力图 得 0 y F PNcos 4FF 5 22 3 P N 10275 3 420960 960 4 101200 cos4 F FN 3 0 2 NN h F A F 118 0 105 783 0 10275 3 3 0 6 5 N F hm 4 35m0354 0118 03 03 0 hbmm h 118mm b 35 4mm 2 8 图示的杆件结构中1 2杆为木制 3 4杆为钢制 已知1 2杆的横截面面积A1 A2 4000 mm2 3 4杆的横截面面积A3 A4 800 mm2 1 2杆的许用应力 W 20 MPa 3 4杆的许用应力 s 120 MPa 试求结构的许用载荷 P F 解 解 由图 a 0 y F P3 3 5 FF 0 x F P31 3 4 5 4 FFF 由图 b 0 x F P34 3 4 5 4 FFF 0 y F P32 3 5 FFF 21 FF w 1 1 A F 3 4 w1P AF 601020104000 4 3 4 3 66 w1P AFkN 43 FF s 3 3 A F 3P 3 5 AF 6 571080010120 5 3 5 3 66 3P AF kN FP min 57 6 kN 60 kN 57 6 kN 习题 2 8 图 3 F 1 F B P F a 4 F C 3 F 2 F b 2 9 由铝板和钢板组成的复合柱 通过刚性板承受纵向载荷FP 38 kN 其作用线沿着复合柱的轴 线方向 试确定 铝板和钢板横截面上的正应力 解 解 由于刚性板的存在 又是对称加载 所以铝板和钢板具有相同的压缩变形量 于是 有 aa Na ss Ns AE F AE F 1 根据平衡条件 有 PNaNs FFF 2 P aass aa Na P aass ss Ns F AEAE AE F F AEAE AE F 1 a1s0 Ps 1a0s Ps s Ns s 22hEbhEb FE hbEhbE FE A F a1s0 Pa a Na a 2 hEbhEb FE A F 2 175 107005 002 021020005 003 0 1038510200 99 39 s MPa 压 25 61 200 70 175 175 s a a E E MPa 压 2 11 图示组合柱由钢和铸铁制成 组合柱横截面为边长为2b的正方形 钢和铸铁各占横截面的一 半 b 2b 载荷 FP 通过刚性板沿铅垂方向加在组合柱上 已知钢和铸铁的弹性模量分别为Es 196 GPa Ei 98 0 GPa 今欲使刚性板保持水平位置 试求加力点的位置x 解 解 0 0 M 2 3 2 2 2 is xbbb b xbb 习题 2 9 图 s i 23 2 xb bx 1 i i s s EE 2 1 196 98 s i 2 2 代入 1 得 xbbx2324 由此解得 bx 6 5 4 4 变截面轴受力如图所示 图中尺寸单位为mm 若已知Me1 1765 N m Me2 1171 N m 材料的切变模量G 80 4 GPa 求 1 轴内最大剪应力 并指出其作用位置 2 轴内最大相对扭转角 max 解 解 1 确定最大剪应力 AB段 e1e2 max 33 3 1P 1765 11712936 N m 2936 43 6 MPa 70 10 16 16 xAB xABxAB AB MMM MM AB dW BC段 e1 max 33 3 2P2 1171N m 1171 47 7 MPa 50 10 16 16 xBC xBCxBC MM MM BC dW 2 确定轴内最大相对扭转角 max 习题 4 4 图 Me2 Me1 习题 4 5 图 习题 4 6 图 0 2 1 max 21 P1P2 33 44 9 39 3 222 2936 700 10321171 500 1032 80 4 10 70 1080 4 10 50 10 1 084 101 187 102 271 10 rad ABBC xABxBC MlMl GIGI 4 5 图示实心圆轴承受外加扭力矩T 已知T 3kN m 试求 1 轴横截面上的最大剪应力 2 轴横截面上半径r 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比 3 去掉r 15mm以内部分 横截面上的最大剪应力增加的百分比 解 解 1 7 70 06 0 16103 16 3 3 3 PP max1 d T W T W Mx MPa 2 4 2 d 2d 4 pp 01 r I M I M AM xx r A r 25 6 16 1 60 15 16 16 32 4 2 4 2 4 4 4 4 4 p 4 d r d r I r M M x r 3 4 3 p max2 2 1 1 16 d T W Mx 75 4MPa 67 6 15 1 2 1 1 2 1 14 4 4 4 max1 max1max2 4 6 同轴线的芯轴 AB 与轴套 CD 在 D 处二者元接触 而在 C 处焊成一体 轴的 A 端承受扭转力偶作用 如图所示 已知轴直径 d 66 mm 轴套外直径 D 80 mm 厚度 6 mm 材料的许用剪应 力 60 MPa 求 结构所能承受的最大外力偶矩 解 解 6 3 1 1p max 1060 16 d T W Mx 轴 338710 16 66 1060 9 3 6 1 TN m 6 4 3 2 2p max 1060 80 68 1 16 d T W Mx 套 2883 20 17 110 16 80 1060 49 3 6 2 TN m 2883 2max TTN m 3 1088 2 N m 4 9 直径 d 25mm 的钢轴上焊有两个凸台 凸台上套有外径 D 75mm 壁厚 1 25mm 的薄壁管 当 杆承受外扭转力遇矩 T 73 6N m 时 将薄壁管与凸台焊在一起 然后再卸去外力偶 假定凸台不变形 薄壁管与轴的材料相同 剪切弹性模量 G 40MPa 试 1 分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力 二者如何平衡 2 确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力 习题 4 9 图 解 解 1 分析卸载后轴和薄壁管横截面上的内力 焊接前 轴承受扭矩 轴发生扭转变形 这时 如果卸载 轴的扭转变形将全部恢复 因而轴的横截 面上将没有扭矩 与薄壁管焊接后 再除去轴上的外加扭力矩 轴的扭转变形不能完全恢复 因而轴的横截面上仍然存 在扭矩 但已经不是加载时的扭矩 而是小于原来的扭矩 二者焊接后形成一个整体 如果用一个假想截面将整体截开 这时的横截面由轴和薄壁管的横截面组 成 卸载后 没有外加扭力矩作用 仅仅轴的横截面上存在扭矩无法平衡 因此 薄壁管的横截面上必然 存在与之大小相等方向相反的扭矩 二者组成平衡力系 使截开的部分保持平衡 设轴和薄壁管横截面上 的扭矩分别为 Mx1和 Mx2 于是有 Mx1 Mx2 2 确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力 设轴受 T 73 6N m 时 相对扭转角为 0 于是 有 0 p1p1 d d x MT xGIGI a 焊接后卸载 管承受扭转 其相对扭转角为 2 轴上没有恢复的相对扭转角为 201 即 021 b 其中 1 1 p1 2 2 p2 x x M l GI M l GI c 将 a 和 c 式代入 b 式得 12 p1p1p2 xx M lM lTl GIGIGI d 由此解得 p2 12 p1p2 xx I MMT II e 其中 4 412124 p1 251038349 5 10m 3232 d I 44 44 12 p2 124 2 7572 5 1110 323275 393922 10m DD I D 于是 卸载后薄壁管横截面上的最大剪应力为 p2 2 2max p2p1p2p2p1p2 2 x I MTTD WIIWII f 将 Ip1 Ip2值代入 f 得 3 2max 12 75 73 610 2 6 38 MPa 38349 539392210 卸载后 轴横截面上的最大剪应力为 p2 1 1max p1 p1p1p2 3 12 22 25 73 6393922 10 2 21 86MPa 38349 539392238349 5 10 x IT Mdd IIII 5 2 试写出以下各梁的剪力方程 弯矩方程 解 解 a 题题 Q Q Q Q 10 22 22 22 3323 22 4234 22 MM FxM xxxl ll MM FxM xxMlxl ll MM FxM xxMlxl ll MM FxM xxMlxl ll b 题题 22 Q Q 111 10 442 11 222 44 Fxqlqx M xqlqlxqxxl FxqlM xqllxlxl c 题题 习题 5 2 和习题 5 3 图 AB A B C ql 2l M Q F Q F 4 5 4 1 4 1 a 1 b 1 A DE C M A B C M B 2 M 2 M M 2 3 4 1 M2 2 ql a 2 b 2 A D B C 1 1 5 1 2 qlM 2 qlM ADB C 32 25 2 1 c 2 d 2 A B C D lA DB C 1 0 75 Q F Q F 1 25 1 c 1 d 1 gl gl c d 22 Q 2 Q 1 102 2 2023 Fxqlqx M xqlxqlqxxl FxM xqllxl d 题题 2 Q 2 Q 551 102 442 1 233323 2 FxqlqxM xqlxqxxl FxqlqlxM xqllxqlxlxl 5 3 试画出习题 5 2 中各梁的剪力图 弯矩图 并确定剪力和弯矩的绝对值的最大值 解 解 a 0 A M l M F B 2 R 0 y F l M F A 2 R l M F 2 maxQ MM2 max b 0 A M 02 2 R 2 lFlql l qlql B qlF B 4 1 R 0 y F qlF A 4 1 R 2 R 4 1 4 1 qllqllFM BC 2 qlMA qlF 4 5 maxQ 2 max qlM c 0 y F qlF A R 0 A M 2 qlMA 0 D M 0 2 2 D M l qllqlql 2 2 3 qlMD qlF maxQ 2 max 2 3 qlM d 0 B M 0 2 1 32 R lqllqlF A qlF A 4 5 R 0 y F qlF B 4 3 R 2 M 2 M A C B 15kN m q d A M m 3 4 3 40 BC 5 7 mkN c 习题5 5图 0 B M 2 2 l q MB 0 D M 2 32 25 qlMD qlF 4 5 maxQ 2 max 32 25 qlM 5 5 静定梁承受平面载荷 但无集中力偶作用 其剪力图如图所示 若已知 A 端弯 矩 M A 0 试确定梁上的载荷及梁的弯矩图 并指 出梁在何处有约束 且为何种约束 解 解 由 FQ图线性分布且斜率相同知 梁上有向下 均布 q 载荷 由 A B 处 FQ向上突变知 A B 处有向 上集中力 又因 A B 处弯矩无突变 说明 A B 处为简 支约束 由 A B 处 FQ值知 FRA 20 kN FRB 40 kN 由 0 y F 04 RR qFF BA q 15 kN m 由 FQ图 D B 处值知 M 在 D B 处取极值 3 40 3 4 2 1 15 3 4 20 2 D MkN m 5 71 2 1 2 qMBkN m 梁上载荷及梁的弯矩图分别如图 d c 所示 5 6 试作图示刚架的剪力图和弯矩图 并确定 max max Q MF 习题5 6图 c d 1 FAx FAy FRBFAy FAx FRB B A A B 解 解 图 b 0 y F qlFAy 0 A M qlF B 2 1 R 0 x F qlFAx 2 1 弯距图如图 b 1 其中 2 max qlM 图 c 0 x F qlFAx 0 A M 0 2 R 2 lF l qlql B qlF B 2 1 R 0 y F qlFAy 2 1 弯距图如图 c 1 其中 2 max qlM 2 1 2 1 C B A1 2 qlM 2 1 2 1 AB 1 2 qlM 5 8 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示 图中的尺寸单位为 mm 求 梁的 1 1 截面 上 A B 两点的正应力 解 解 1 计算梁的 1 1 截面上的弯矩 3 1m 1 10 N 1m 600N m 1m1300N m 2 M 2 确定梁的 1 1 截面上 A B 两点的正应力 a b A A B C C B FRB FAx FAx FAy C D FRB 习题5 8图 A 点 点 3 3 6 3 3 3 150 10 m 1300 N m20 10 m 2 10 PaMPa 100 10 m150 10 m 12 z A z M y I 2 542 54拉应力 B 点 点 3 3 6 3 3 3 150 10 m 1300N m40 10 m 2 1 62 10 Pa1 62MPa 100 10 m150 10 m 12 z A z M y I 压应力 5 11 圆截面外伸梁 其外伸部分是空心的 梁的受力与尺寸如图所示 图中尺寸单 位为 mm 已知 FP 10 kN q 5 kN m 许用应力 140 MPa 试校核梁的强度 解 解 画弯矩图如图所示 实心部分与空心部分的最大正应力分别为 3 6 max1 max3 3 1 32 30 65 10 N m 113 8 10 Pa 113 8MPa 140 10 m M W 实 3 6 max2 max 4 3 2 3 32 20 10 N m 100 3 10 Pa 100 3MPa 100 140 10 m1 140 M W 空 M kN m x 30 65 20 习题5 17图 所以 梁的强度是安全的 所以 梁的强度是安全的 5 17 图示悬臂梁中 集中力FP1和FP2 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内 并且垂 直于梁的轴线 如图所示 已知FP1 800 N FP2 1 6 kN l 1 m 许用应力 160 MPa 试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸 1 截面为矩形 h 2b 2 截面为圆形 解 解 1 截面为矩形 截面为矩形 P2 P1 1600N 1m 1600N m 2800N2m 1600N m y z MF l MFl max 22 6 33 3 3 6 66 6 16006 1600 160 10 24 3 2 4 10 0 0356m 35 6mm 160 10 y z yz y z M M WW M M hbbh bb b 2 截面为圆形 截面为圆形 P2 P1 2222 1600N 1m 1600N m 2800N2m 1600N m 160016002262 7 N m y z yz MF l MFl MMM max max 3 3 3 6 32 2262 7 160 10 6 32 2262 7 0 0524m 52 4mm 160 10 M W d d 5 18 旋转式起重机由工字梁AB及拉杆BC组成 A B C三处均可以简化为铰链 习题5 19图 约束 起重荷载FP 22 kN l 2m 已知 100 MPa 试 选择AB梁的工字钢的号码 解 解 1 受力分析受力分析 起重荷载位于AB梁中点时 梁处于危险状态 这时 梁承受弯曲与轴向压缩的共 同作用 PP 0sin30022kN 2 ABCBC l MFFlFF AB梁在B点承受的轴向压缩力 N cos3019052 N BC FF 2 强度设计强度设计 首先按照弯曲强度设计 然后再对弯曲与压缩载荷共同作用时的强度进行校核 max max P 3 633 6 22 10 N2m 4 110 10m110 cm 4 160 10 Pa M W F l W 所以 选择No 16 工字钢 No 16 工字钢的横截面面积与弯曲截面系数分别 为 242 363 26 1cm26 1 10m 141cm141 10m A W 再校核弯曲与压缩载荷共同作用时的强度 习题5 18图 FP FBC FAx FAy 30 A B N 3 46 66 1905222 102 26 1 104 141 10 7 3 10 Pa 78 10 Pa 85 3MPa A FM AW 所以 选择No 16 工字钢 梁的强度是安全的 5 21 正方形截面杆一端固定 另一端自由 中间部分开有切槽 杆自由端受有平行 于杆轴线的纵向力 FP 若已知FP 1 kN 杆各部分尺寸如图中所示 试求 杆内横截面上 的最大正应力 并指出其作用位置 A z y y M C z M 10 5 解 解 66 105010105 Am2 69 2 10 12 1 10 6 105 y Wm3 69 2 10 24 1 10 6 510 z Wm3 FNx 1 kN 51051000 3 y MN m 5 2105 21000 3 z MN m z z y y x W M W M A F N max 14010 24 1 5 2 12 1 5 50 1000 6 MPa 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A 如图所示 5 23 工字形截面钢梁 已知梁横截面上只承受弯矩一个内力分量 Mz 20 kN m Iz 11 3 106 mm4 其他尺寸示于国图中 试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的 合力 解 解 21 2 N ddd A z z A z z Axx Ay I M Ay I M AF yyyy I M z z d088 0d006 0 080 0 07 0 07 0 0 9222 10 7080 2 1 8870 2 1 6 z z I M 7080 4470310 103 11 1020 2229 6 3 习题5 24图 14310143 3 kN 2 N z cx M yF mm70m0699 0 1432 20 c y 即上半部分布力系合力大小为143 kN 压力 作用位置离中心轴y 70mm处 即位 于腹板与翼缘交界处 5 24 矩形截面是省梁悬臂梁受力如图所示 其中力 FP的作用线通过截面形心 试 1 已知FP b h l和 求图中虚线所示截面上点a 处的正应力 2 求使点a处正应力为零时的角度 值 解 解 1 sin Pl FMy 6 2 hb Wy cos Pl FMz 6 2 bh Wz sincos 6 22 P hb hb lF W M W M y y z z a 2 令0 a 则 h b tan h b 1 tan 6 3 具有中间铰的梁受力如图所示 试画出挠度曲线的大致形状 并说明需要分几段 建立微分方程 积分常数有几个 确定积分常数的条件是什么 不要求详细解答 解 解 1 分3段积分 共有6个积分常数 2 确定积分常数的条件是 x 0 w1 0 1 0 x l w1 w2 x 2l w2 0 w2 w3 2 3 x 4l w4 0 6 4 试用叠加法求下列各梁中截面A的侥度和截面B的转角 图中q l a EI等为 已知 习题6 3图 习题 6 4图 习题6 6图 解 解 a 题题 1 EI ql EI l ql EI lq ABBBB 12 2 2 1 6 3 2 3 2121 逆时针 2 EI ql EI l ql EI lql EI lql EI l q www AAA 384 7 2 2 2 1 3 2 2 2 2 8 8 2 4 2232 2 4 21 b 题题 q A B lll ql ql lll AB l BwA 33 3 B 2 2 ql lw BA 11 1 B q 2 A w 1 EI ql EI lql EI l ql BBB 1216 2 3 2 2 32 31 顺时针 2 EI ql l EI lql EI ql l EI l ql wwww AAAA 24 5 16 2 83 2 2 424 2 321 6 6 图示承受集中力的细长简支梁 在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔 若不考 虑应力集中影响时 关于小孔对梁强度和刚度的影响 有如下论述 试判断哪一种是正确的 A 大大降低梁的强度和刚度 B 对强度有较大影响 对刚度的影响很 小可以忽略不计 C 对刚度有较大影响 对强度的形响很 小可以忽略不计 D 对强度和刚度的影响都很小 都可以 忽略不计 解 解 强度取决于危险截面上危险点的应力 现在梁在弯矩最大的中间截面开孔 而且又 是竖向的 使得截面的惯性矩减小 从而使危险点的应力增加 因而对强度影响较大 对刚 2 2 1 ql A 2 B B A 2 2 l 2 l B 2 l q 1 A w8 2 ql 2 l 2 2 1 ql 2 A w A A 2 ql a 1 a 2 a 3 正确答案是 B A8 O M AR F B O M BR F a 2 Q F x l MO 8 9 a 3 O 16 7 M 8 O M 0 16 9 M M x a 4 A M A 1 A l a 1 B 度的影响是指对梁的变形的影响 由于梁的变形 是梁的所有横截面变形累加的结果 因此 个别截面的削弱 不会对梁的变形产生很大的影响 所以正确答案是 B 6 7 轴受力如图所示 已知FP 1 6 kN d 32 mm E 200 GPa 若要求加力点的挠度 不大于许用挠度 w 0 05 mm 试校核该轴是否满足刚度要求 解 解 由挠度表查得 222 P 32226 39412 6 1 6 100 246 0 048294482461064 6 2464810200 10 3210 C F ba wlab lEI mm0246 0m1046 2 5 w xy 即 xy 183 3MPa时 1 22 3 1 4 140240 2 1 2 140240 xy 1604100 2 1 2 2231 max xy 解得 xy xy 即 xy 183 3MPa时 0 4 140240 2 1 2 140240 3 22 1 xy 1604100 4 1 4 380 2 2231 max xy 解得 xy 120MPa 所以 取 xy 120MPa 7 6 图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿20 角的螺旋线卷曲焊接而 成 试求下列情形下 焊缝上沿焊缝方向的剪应力和垂直于焊缝方向的正应力 1 只承受轴向载荷FP 250 kN 2 只承受内压p 5 0MPa 两端封闭 3 同时承受轴向载荷FP 250kN和内压p 5 0MPa 两端封闭 习题7 7图 习题7 8图 解 解 1 图a 07 34 8 8300 10250 3 P D F x MPa 压 09 30 202cos 2 07 34 2 07 34 x MPa 95 10 202sin 2 07 34 yx MPa 2 图b 63 45 84 8300 5 4 pD x MPa 25 91 82 8300 5 2 pD yMPa 97 50 202cos 2 25 9163 45 2 25 9163 45 x MPa 66 14 202sin 2 25 9163 45 y x MPa 3 图a 图b叠加 56 1107 3463 45 x MPa 25 91 y MPa 88 20 202cos 2 25 9156 11 2 25 9156 11 x MPa 6 25 202sin 2 25 9156 11 yx MPa 7 7 承受内压的铝合金制的圆筒形薄壁容器如图所示 已知内压p 3 5MPa 材料的 E 75GPa 0 33 试求圆筒的半径改变量 解 解 36 59 6 74 6 72254 5 3 轴 MPa 72 118 6 72 6 72254 5 3 环 MPa r r r rrr 2 2 2 环 3 1 1 118 720 33 59 362540 34mm 75 10 rrr E 环环径轴 7 8 构件中危险点的应力状态如图所示 试选择合适的准则对以下两种情形作强度校 核 1 构件为钢制 x 45MPa y 135MPa z 0 xy 0 许用应 力 160MPa 2 构件材料为铸铁 x 20MPa y 25MPa z 30MPa xy 0 30MPa 习题7 9图 解 解 1 MPa135 313r 强度满足 2 MPa30 11r 强度满足 7 9 对于图示平面应力状态 各应力分量的可能组合有以下几种情形 试按最大剪应 力准则和形状改变比能准则分别计算此几种情形下的计算应力 1 x 40MPa y 40 MPa xy 60 MPa 2 x 60MPa 80 y MPa 40 xy MPa 3 40 x MPa y 50 MPa xy 0 4 x 0 y 0 xy 45 MPa 解 解 1 6040 2 2 22 xy yxyx 1 100 MPa 2 0 20 3 MPa 120 313r MPa 4 111 12020100 2 1 222 4r MPa 2 2222 407010 2 2 xy yxyx 1 70 6 MPa 2 0 6 90 3 MPa 2 161 313r MPa 140 2 1616 906 70 2 1 222 4r MPa 3 1 50 MPa 2 0 40 3 MPa 90 3r MPa 1 78 904050 2 1 222 4r MPa 4 45 MPa 1 45 MPa 2 0 45 3 MPa 90 3r MPa 9 77 904545 2 1 222 4r MPa 9 773 4r xy MPa 7 12 直杆AB与直径d 40mm的圆柱焊成一体 结构受力如图所示 试确定点a和 点b的应力状态 并计算 4r a a b b a b C B D AB F P F a 解 解 1 5 N x F kN 400 Q y F N 240150 0 6001000 x MN m 110275 0 6001000 z MN m 2 53 13 10 32 40 110 10 4 40 105 9 3 6 2 3 N z zx a W M A F MPa 1 19 P W M x a MPa 74 351 19353 133 2222 4r aa MPa 点a应力状态如图 a 3 979 3 10 4 40 105 6 2 3 N A F x b MPa Q P 32 96 4 3 2404400 40 403 1010 164 19 52MPa y x b F M WA 0 343 22 4r bb MPa 点b应力状态如图 b 8 10 图示托架中杆AB的直径d 40 mm 长度l 800 mm 两端可视为球铰链约束 材 料为Q235钢 试 1 求托架的临界载荷 2 若已知工作载荷 FP 70 kN 并要求杆AB的稳定安全因数 n st 2 0 校核托架是否 安全 3 若横梁为No 18普通热轧工字钢 160Mpa 则托架所能承受的最大载荷有没 有变化 解 解 1 求托架的临界载荷 习题7 12图 图 a 4 7 sin 0 C M sin600900 PAB FF ABAB FFF 6 7 sin 3 2 P 1 10 4 d i mm P 80 10 8001 i l 中长杆 cr 304 1 143041 14 80 212 8MPa 2 crcrcr 2 3 4 212 840 10 4 0 2674MN267 4kN AB d F A kN Pcr 7 267 4kN118kN 6 F 2 校核托架是否安全 当已知工作载荷为70kN时 由 1 7 158 7 6 P FFAB kN w st 267 4 1 685 158 7 nn 不安全 3 横梁为 No 18 普通热轧工字钢 160Mpa 计算托架所能承受的最大载荷 条件 160MPa意谓着既要保证CD强度 又要保证AB杆稳定 CD梁中 Pmax 3 0FMM B PN cot 2 3 cosFFF ABx PQ FF N max A F W M xB 6 4 P 8 P 10160 106 30 cot 2 3 10185 3 0 F F PPcr 73 5kN使轴受压力FN 这是轴向载荷作用下的静不定问题 变形谐调条件为 ltt EA lF ltt 122 N 121 由此解出轴所受的轴向载荷为 EAttF 1221N 弹性屈曲范围的长细比的低限 229 P s 2 2 210 10 83 300 E 根据支承条件以及轴的几何尺寸 计算轴的长细比 5 1 4 6 4 d i mm 1 P 1 150 100 1 5 l i 属细长杆 采用 欧拉公式计算临界力 2 2 crPcr E AF 轴的工作安全因数 2 Pcr w 2 N1221 2 25 st 1 6452 1000 5 10120 FEA n F ttEA n 100 223 cr 22 200 10 MPa 186MPa 103 E 34 Pcrcr 186 1012 286 10228 5 kN F A Pcr st N 228 5 3 86 59 18 F n F 8 15 图示工字钢直杆在温度t1 20 C时安装 此时杆不受力 已知杆长l 6 mm 材料为Q235钢 E 200 GPa 试问 当温度升高到多少度时 杆将屈曲