高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质课件 理.ppt

第八章立体几何 8 4直线 平面垂直的判定与性质 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 直线与平面垂直 m n o 任意 a 知识梳理 1 答案 b a b 答案 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 判定定理与性质定理 直二面角 垂线 答案 l 交线 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 若直线a 平面 直线b 则直线a与b垂直 3 直线a b 则a b 4 若 a a 5 a a 6 若两平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 思考辨析 答案 1 下列条件中 能判定直线l 平面 的是 l与平面 内的两条直线垂直 l与平面 内无数条直线垂直 l与平面 内的某一条直线垂直 l与平面 内任意一条直线垂直 解析由直线与平面垂直的定义 可知 正确 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 条件 解析若 因为 m b b m 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b 又a 所以a b 反过来 当a m时 因为b m 且a m共面 一定有b a 但不能保证b 所以不能推出 充分不必要 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知平面 l p是空间一点 且p到平面 的距离分别是1 2 则点p到l的距离为 解析如图 po 平面pab l po po就是p到直线l的距离 四边形paob为矩形 解析答案 1 2 3 4 5 4 pd垂直于正方形abcd所在的平面 连结pb pc pa ac bd 则一定互相垂直的平面有 对 解析由于pd 平面abcd 故平面pad 平面abcd 平面pdb 平面abcd 平面pdc 平面abcd 平面pda 平面pdc 平面pac 平面pdb 平面pab 平面pad 平面pbc 平面pdc 共7对 7 解析答案 1 2 3 4 5 5 在三棱锥p abc中 点p在平面abc中的射影为点o 1 若pa pb pc 则点o是 abc的 心 解析如图1 连结oa ob oc op 在rt poa rt pob和rt poc中 pa pc pb 所以oa ob oc 即o为 abc的外心 外 解析答案 1 2 3 4 5 2 若pa pb pb pc pc pa 则点o是 abc的 心 解析如图2 延长ao bo co分别交对边于h d g点 pc pa pb pc pa pb p pc 平面pab ab 平面pab pc ab 又ab po po pc p ab 平面pgc 又cg 平面pgc ab cg 即cg为 abc边ab的高 同理可证bd ah为 abc底边上的高 即o为 abc的垂心 垂 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1 2014 辽宁 如图 abc和 bcd所在平面互相垂直 且ab bc bd 2 abc dbc 120 e f g分别为ac dc ad的中点 1 求证 ef 平面bcg 证明由已知得 abc dbc 因此ac dc 又g为ad的中点 所以cg ad 同理bg ad 又bg cg g 因此ad 平面bgc 又因e f分别为ac dc的中点 所以ef ad 所以ef 平面bcg 题型一直线与平面垂直的判定与性质 解析答案 2 求三棱锥d bcg的体积 解在平面abc内 作ao bc 交cb的延长线于o 如图由平面abc 平面bcd 知ao 平面bdc 又g为ad中点 因此g到平面bdc的距离h是ao长度的一半 解析答案 思维升华 思维升华 1 证明直线和平面垂直的常用方法 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 3 线面垂直的性质 常用来证明线线垂直 跟踪训练1 解析答案 由余弦定理得cd2 db2 bc2 2db bccos30 3 所以cd2 db2 bc2 即cd ao 因为pd 平面abc cd 平面abc 所以pd cd 由pd ao d得 cd 平面pab 又pa 平面pab 所以pa cd 证明因为ab为圆o的直径 所以ac cb abc 30 设ad 1 例2如图所示 四边形abcd中 ad bc ad ab bcd 45 bad 90 将 abd沿对角线bd折起 记折起后a的位置为点p 且使平面pbd 平面bcd 题型二平面与平面垂直的判定与性质 求证 1 cd 平面pbd 证明 ad ab bad 90 abd adb 45 又 ad bc dbc 45 又 dcb 45 bdc 90 即bd dc 平面pbd 平面bcd 平面pbd 平面bcd bd cd 平面pbd 解析答案 2 平面pbc 平面pdc 证明由cd 平面pbd得cd bp 又bp pd pd cd d bp 平面pdc 又bp 平面pbc 平面pbc 平面pdc 解析答案 思维升华 思维升华 面面垂直的性质应用技巧 1 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直于第三个平面 此性质在不是很复杂的题目中 要对此进行证明 2015 重庆 如图 三棱锥pabc中 平面pac 平面abc abc 点d e在线段ac上 且ad de ec 2 pd pc 4 点f在线段ab上 且ef bc 1 证明 ab 平面pfe 跟踪训练2 解析答案 证明由de ec pd pc知 e为等腰 pdc中dc边的中点 故pe ac 又平面pac 平面abc 平面pac 平面abc ac pe 平面pac pe ac 所以pe 平面abc 从而pe ab 又pe ef e 所以ab 平面pfe 2 若四棱锥pdfbc的体积为7 求线段bc的长 解析答案 解设bc x 则在rt abc中 解析答案 由 1 知 pe 平面abc 所以pe为四棱锥pdfbc的高 解析答案 故得x4 36x2 243 0 解得x2 9或x2 27 例3如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 求pb和平面pad所成的角的大小 题型三线面角 二面角的求法 解析答案 解在四棱锥p abcd中 因为pa 底面abcd ab 平面abcd 故pa ab 又ab ad pa ad a 从而ab 平面pad 故pb在平面pad内的射影为pa 从而 apb为pb和平面pad所成的角 在rt pab中 ab pa 故 apb 45 所以pb和平面pad所成的角的大小为45 2 证明 ae 平面pcd 证明在四棱锥p abcd中 因为pa 底面abcd cd 平面abcd 故cd pa 由条件cd ac pa ac a 所以cd 平面pac 又ae 平面pac 所以ae cd 由pa ab bc abc 60 可得ac pa 因为e是pc的中点 所以ae pc 又pc cd c 所以ae 平面pcd 解析答案 3 求二面角a pd c的正弦值 解析答案 思维升华 解过点e作em pd 垂足为m 连结am 如图所示 由 2 知 ae 平面pcd am在平面pcd内的射影是em 则可证得am pd 因此 ame是二面角a pd c的平面角 由已知 可得 cad 30 设ac a 可得 在rt adp中 am pd am pd pa ad 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 求线面角 二面角的常用方法 1 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 关键是作垂线 找垂足 要把线面角转化到一个三角形中求解 2 二面角的大小求法 二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的作法常见的有 定义法 垂面法 注意利用等腰 等边三角形的性质 2015 山东 如图 在三棱台def abc中 ab 2de g h分别为ac bc的中点 1 求证 bd 平面fgh 跟踪训练3 解析答案 证明方法一如图 连结dg cd 设cd gf o 连结oh 在三棱台def abc中 ab 2de g为ac的中点 可得df gc df gc 所以四边形dfcg为平行四边形 则o为cd的中点 又h为bc的中点 所以oh bd 又oh 平面fgh bd 平面fgh 所以bd 平面fgh 解析答案 方法二如图 在三棱台def abc中 由bc 2ef h为bc的中点 可得bh ef bh ef 所以四边形bhfe为平行四边形 可得be hf 在 abc中 g为ac的中点 h为bc的中点 所以gh ab 又gh hf h 所以平面fgh 平面abed 因为bd 平面abed 所以bd 平面fgh 2 若cf 平面abc ab bc cf de bac 45 求平面fgh与平面acfd所成的角 锐角 的大小 解析答案 返回 解如图 作hm ac于点m 作mn gf于点n 连结nh 设ab 2 则cf 1 由fc 平面abc 得hm fc 又fc ac c 所以hm 平面acfd 因此gf nh 所以 mnh即为所求的角 解析答案 由hm 平面acfd mn 平面acfd 所以 mnh 60 所以平面fgh与平面acfd所成角 锐角 的大小为60 返回 思想与方法系列 典例 14分 如图所示 m n k分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱ab cd c1d1的中点 求证 1 an 平面a1mk 思维点拨要证线面平行 需证线线平行 思想与方法系列 16 立体几何证明问题中的转化思想 解析答案 思维点拨 规范解答证明 1 如图所示 连结nk 在正方体abcd a1b1c1d1中 四边形aa1d1d dd1c1c都为正方形 aa1 dd1 aa1 dd1 c1d1 cd c1d1 cd 2分 n k分别为cd c1d1的中点 dn d1k dn d1k 四边形dd1kn为平行四边形 3分 kn dd1 kn dd1 aa1 kn aa1 kn 四边形aa1kn为平行四边形 an a1k 4分 a1k 平面a1mk an 平面a1mk an 平面a1mk 6分 2 平面a1b1c 平面a1mk 思维点拨要证面面垂直 需证线面垂直 要证线面垂直 需证线线垂直 温馨提醒 解析答案 返回 思维点拨 证明如图所示 连结bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 ab c1d1 ab c1d1 m k分别为ab c1d1的中点 bm c1k bm c1k 四边形bc1km为平行四边形 mk bc1 8分 在正方体abcd a1b1c1d1中 a1b1 平面bb1c1c 温馨提醒 解析答案 bc1 平面bb1c1c a1b1 bc1 mk bc1 a1b1 mk 四边形bb1c1c为正方形 bc1 b1c mk b1c 12分 a1b1 平面a1b1c b1c 平面a1b1c a1b1 b1c b1 mk 平面a1b1c 又 mk 平面a1mk 平面a1b1c 平面a1mk 14分 温馨提醒 温馨提醒 1 线面平行 垂直关系的证明问题的指导思想是线线 线面 面面关系的相互转化 交替使用平行 垂直的判定定理和性质定理 2 线线关系是线面关系 面面关系的基础 证明过程中要注意利用平面几何中的结论 如证明平行时常用的中位线 平行线分线段成比例 证明垂直时常用的等腰三角形的中线等 3 证明过程一定要严谨 使用定理时要对照条件 步骤书写要规范 返回 思想方法感悟提高 1 三类论证 1 证明线线垂直的方法 定义 两条直线所成的角为90 平面几何中证明线线垂直的方法 线面垂直的性质 a b a b 线面垂直的性质 a b a b 方法与技巧 2 证明线面垂直的方法 线面垂直的定义 a与 内任何直线都垂直 a 判定定理2 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 l a a l a 方法与技巧 3 证明面面垂直的方法 利用定义 两个平面相交 所成的二面角是直二面角 判定定理 a a 2 转化思想 垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 方法与技巧 1 在解决直线与平面垂直的问题过程中 要注意直线与平面垂直的定义 判定定理和性质定理的联合交替使用 即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 2 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据 我们要作一个平面的一条垂线 通常是先找这个平面的一个垂面 在这个垂面中 作交线的垂线即可 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 已知平面 平面 l 点a adl 直线ab l 直线ac l 直线m m 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 ab m ac m ab ac 15 解析如图所示 ab l m ac l m l ac m ab l ab 只有 不一定成立 解析答案 2 2014 浙江改编 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列命题正确的是 若m n n 则m 若m 则m 若m n n 则m 若m n n 则m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 中 由m n n 可得m 或m 或m与 相交 错误 中 由m 可得m 或m 或m与 相交 错误 中 由m n 可得m n 又n 则m 正确 中 由m n n 可得m与 相交或m 或m 错误 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 如图 以等腰直角三角形abc的斜边bc上的高ad为折痕 把 abd和 acd折成互相垂直的两个平面后 某学生得出下列四个结论 bd ac bac是等边三角形 三棱锥d abc是正三棱锥 平面adc 平面abc 其中正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由题意知 bd 平面adc 故bd ac 正确 ad为等腰直角三角形斜边bc上的高 平面abd 平面acd 所以ab ac bc bac是等边三角形 正确 易知da db dc 又由 知 正确 由 知 错 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 2015 福建改编 若l m是两条不同的直线 m垂直于平面 则 l m 是 l 的 条件 解析m垂直于平面 当l 时 也满足l m 但直线l与平面 不平行 充分性不成立 反之 l 一定有l m 必要性成立 必要而不充分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 且底面各边都相等 m是pc上的一动点 当点m满足 时 平面mbd 平面pcd 只要填写一个你认为是正确的条件即可 解析由定理可知 bd pc 当dm pc 或bm pc 即有pc 平面mbd 而pc 平面pcd 平面mbd 平面pcd dm pc 或bm pc等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 侧棱长为2 ac bc 1 acb 90 d是a1b1的中点 f是bb1上的动点 ab1 df交于点e 要使ab1 平面c1df 则线段b1f的长为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析设b1f x 因为ab1 平面c1df df 平面c1df 所以ab1 df 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 如图 pa 圆o所在的平面 ab是圆o的直径 c是圆o上的一点 e f分别是点a在pb pc上的射影 给出下列结论 af pb ef pb af bc ae 平面pbc 其中正确结论的序号是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由题意知pa 平面abc pa bc 又ac bc 且pa ac a bc 平面pac bc af af pc 且bc pc c af 平面pbc af pb 又ae pb ae af a pb 平面aef pb ef 故 正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 点p在正方体abcd a1b1c1d1的面对角线bc1上运动 则下列四个命题 三棱锥a d1pc的体积不变 a1p 平面acd1 dp bc1 平面pdb1 平面acd1 其中正确的命题序号是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由题意可得直线bc1平行于直线ad1 并且直线ad1 平面ad1c 直线bc1 平面ad1c 所以直线bc1 平面ad1c 所以点p到平面ad1c的距离不变 所以体积不变 故 正确 如图 连结a1c1 a1b 可得平面ad1c 平面a1c1b 又因为a1p 平面a1c1b 所以a1p 平面acd1 故 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 当点p运动到b点时 dbc1是等边三角形 所以dp不垂直于bc1 故 不正确 连结db1 因为直线ac 平面db1 db1 平面db1 所以ac db1 同理可得ad1 db1 所以可得db1 平面ad1c 又因为db1 平面pdb1 所以可得平面pdb1 平面acd1 故 正确 综上 正确的序号为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 2014 湖北 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f p q m n分别是棱ab ad dd1 bb1 a1b1 a1d1的中点 求证 1 直线bc1 平面efpq 证明如图 连结ad1 由abcd a1b1c1d1是正方体 知ad1 bc1 因为f p分别是ad dd1的中点 所以fp ad1 从而bc1 fp 而fp 平面efpq 且bc1 平面efpq 故直线bc1 平面efpq 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 直线ac1 平面pqmn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 证明连结ac bd 则ac bd 由cc1 平面abcd bd 平面abcd 可得cc1 bd 又ac cc1 c 所以bd 平面acc1 而ac1 平面acc1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 所以bd ac1 因为m n分别是a1b1 a1d1的中点 所以mn bd 从而mn ac1 同理可证pn ac1 又pn mn n 所以直线ac1 平面pqmn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 2014 山东 如图 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd是等腰梯形 dab 60 ab 2cd 2 m是线段ab的中点 1 求证 c1m 平面a1add1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 证明因为四边形abcd是等腰梯形 且ab 2cd 所以ab dc 又由m是ab的中点 因此cd ma且cd ma 连结ad1 如图 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 因为cd c1d1 cd c1d1 可得c1d1 ma c1d1 ma 所以四边形amc1d1为平行四边形 因此c1m d1a 又c1m 平面a1add1 d1a 平面a1add1 所以c1m 平面a1add1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解由 1 知平面d1c1m 平面abcd ab 过点c向ab引垂线交ab于点n 连结d1n 如图 2 由cd1 平面abcd 可得d1n ab 因此 d1nc为二面角c1 ab c的平面角 在rt bnc中 bc 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 如图 在斜三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 bc1 ac 则c1在底面abc上的射影h必在 直线ab上 直线bc上 直线ac上 abc内部 解析由ac ab ac bc1 ac 平面abc1 又 ac 面abc 平面abc1 平面abc c1在面abc上的射影h必在两平面交线ab上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 设 是空间两个不同的平面 m n是平面 及 外的两条不同直线 从 m n n m 中选取三个作为条件 余下一个作为结论 写出你认为正确的一个命题 用代号表示 解析逐一判断 若 成立 则m与 的位置关系不确定 故 错误 同理 也错误 与 均正确 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 13 已知 是三个不同的平面 命题 且 是真命题 如果把 中的任意两个换成直线 另一个保持不变 在所得的所有新命题中 真命题有 个 解析若 换为直线a b 则命题化为 a b 且a b 此命题为真命题 若 换为直线a b 则命题化为 a 且a b b 此命题为假命题 若 换为直线a b 则命题化为 a 且b a b 此命题为真命题 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 2015 湖北 九章算术 中 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在如图所示的阳马p abcd中 侧棱pd 底面abcd 且pd cd 点e是pc的中点 连结de bd be 1 证明 de 平面pbc 试判断四面体ebcd是否为鳖臑 若是 写出其每个面的直角 只需写出结论 若不是 请说明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 证明因