径向偏振光的产生与应用.docx

摘 要相比于其他具有传统偏振模式的光束，径向偏振光拥有更为优秀的轴向中心对称性(这种特征在传输过程中保持不变)。人们投向径向偏振光的关注越来越多。径向偏振光在高数值孔径条件下的聚焦特性在纳微级制造、操控中得到很多且正变得越来越多的应用。在这篇论文中，我们首先试图理清径向偏振光的数学理论基础，仔细地阐述径向偏振光的光束特性和紧聚焦特性，并展示一些径向偏振光在紧聚焦条件下的示意图。接着，我们介绍了利用两束偏振正交的线性偏正高斯光束产生径向偏振光的方法；总结了理想的径向偏振光与通过二元衍射光学器件产生的径向偏振光间的吻合度，以及该吻合度与传输距离的关系。作为补充，其他一些产生径向偏振光的方式也被介绍出来。紧接着，一项基于径向偏振光紧聚焦特性，被运用于微粒子操纵的应用技术（我们称之为三维光学链操纵技术）被展示出来。为此，我们设计了一个光学衍射器件来调制径向偏振输入光的位相。在紧聚焦情况下，一个光学链能产生的原因是光束通过光学衍射器上两个同轴区域时产生的位相变化，这样的位相变化使得聚焦场附近的空间中产生明暗交替的光场。最后，我们论述了另外一些将径向偏振特性转化到实际运用中的方法。关键字：径向偏振 轴对称 高数值孔径聚焦 相干叠加 三维光学链AbstractCompared with other uniformly polarized beams , the radially polarized beam performs perfect spatial axial symmetry and this special character kept when it transmits in free-space .This peculiarity gives rise to unique high-numberical-aperture focusing properties which has found important applications in nanoscale manufacture and manipulation . In this paper , we first overview those introductions we talked above .In the same time ,We also try to explain the mathematical concepts of radially polarized beam ; show some simple images of its focus properties .Then , we present a theoretical investigation of a technique for converting two orthogonally lineary polarized Gaussian beams into a radially polarized beam .We have shown the degree between the real radially polarized beam and the beam we created by a simple binary diffractive optical element ，further more，we show the results about how the transmission-distance influences the degree .By the way , we also talk about some other ways for generating radially polarized beam .After that , an application based on the focus property of radially polarized beam ,which we called optical chain ,used in particle-manipulation is shown . A diffractive optical element is designed to spatially modulate the phase of an incoming radially polarized Beam .For a tightly focused beam a three-dimensional optical chain can be formed because of the difference in the Gouy phase shift from two concentric regions of the diffractive optical element. At last , we present a lot about how those characters of radially polarized beam can be transformed into real applications.Key Words : Radially polarized Axial symmetry High-NA focusing properties Coherent superposition Three-dimensional optical chain目 录摘 要IAbstractII1 前 言12 径向偏振光的数学基础和特性研究22.1 径向偏振光的数学基础22.2 径向偏振光的紧聚焦特性33 径向偏振光的产生73.1 腔外相干叠加产生径向偏振光73.2 利用圆形布鲁斯特棱镜产生的径向偏振光113.3 利用亚波长光栅产生径向偏振光154 径向偏振光的应用174.1 紧聚焦径向偏振光产生三维光学链捕捉金属粒子174.2 径向偏振光在激光切割中的应用224.3 径向偏振光的其他应用265 总结29致 谢30参考文献31IV1 前 言电磁场是物质的一种存在形式，它有特定的运动规律和物质属性，它能够与某些物质以一定方式相互作用。与一般实物相比，场的存在形式有所不同。一般实物局限在一定的空间区域，而场则弥漫在空间中。从光与物质的相互作用来看，光波中电场和磁场的重要性并不相同。对物质的带电粒子，光波电场的作用远远大于光波磁场的作用。所以，在光学中通常把电矢量称为光矢量，把光矢量振动方向称为光振动。光波的电矢量与传播方向垂直。光矢量方向不变、或光矢量方向有规律地变化的光波称为偏振光。在所有光波的特性中，偏振性是其中较为重要的一个。这种自然的矢量特性以及内在禀赋使得许多光学设备和光学系统的设计和实现成为可能。传播中的偏振特性及其与物质的相互作用已经被广泛地研究并应用于光学测量及检测、演示技术、数据存储、光通信、材料科学、天文学乃至生物学的研究当中1。在过去，许多的研究都只涉及到空间均匀分布的偏振模式（SOP,即指观察点的偏振态与观察点在光束截面的位置无关），例如线性偏振、椭圆偏振、圆偏振。在这些研究中，SOP的分布并不依赖于光束横截面上的空间位置。近来，这些研究渐渐深入到具有空间变化性的SOP。通过对SOP进行适当而精微的操控，人们预期得到更多可以用以提高光学系统分析能力的效应和现象。在这其中，有独特性质的柱矢量偏振光也出现在了研究之中（柱矢量偏振光更为特殊的偏振光-径向偏振光，是最引人瞩目的一个）。新的研究表明，径向偏振光（电矢量沿着光斑径向，具有轴向中心对称性的偏振光）在物理及材料加工方面有着不可替代的优势。在本篇论文中，我们将简单地阐述径向偏振光的数学表达和模拟结果，并介绍一些关于径向偏振光聚焦特性、产生方法、实际应用的计算机模拟结果。在第二节，我们首先概述了在数学上给出径向偏振光的表达的过程。接着我们梳理了径向偏振光轴向中心对称性以及它在聚焦平面上的光斑属性(对这些特性我们一一地给出了介绍和模拟结果)。产生径向偏振光的方法有很多，在第三节我们选择了其中的一种腔外相干叠加法作为示例。我们集中展示了这种方法的理论基础、理论上的模拟以及在计算机上对实验结果的模拟，同时也对模拟结果和理论结果做出对比。然后，作为补充，我们介绍了另外一些产生径向偏振光的方法及其实验装置。类似于对径向偏振光产生方法的介绍，我们在第四节介绍径向偏振光的应用时选择了诸多应用中的一个捕捉和操控粒子的光学链作为示例。同样的，我们介绍了其理论基础、理论结果的模拟、实验的模拟。在此节的最后，我们介绍了具有径向偏振特性的激光光束在材料切割应用中对切割效率和效果的影响，并介绍了其他径向偏振光的应用。2 径向偏振光的数学基础和特性研究2.1 径向偏振光的数学基础 我们在前言中提到，径向偏振光实际上是柱矢量偏振光中的一种较为特殊情况。设电场中任一点的电矢量相对于矢径方向的旋角为，则电场强度可以表示为15： （1.1）其中，分别是径向和角向的单位矢量。当时，（1.1）式表述的便是径向偏振光的电场分布。 柱矢量偏振光是振幅和相位都服从沿轴向中心对称分布的矢量光束的麦克斯韦方程的解1。在自由空间中，基本高斯光束解为： （1.2）如果我们考虑电场矢量波动方程： （1.3）那么一个电场方向沿着径向的近轴轴对称矢量光束的表述式为： （1.4）其中满足以下旁轴慢包络近似： （1.5）解（1.3）、（1.4）、（1.5）式得到径向贝塞尔-高斯偏振光表述为 （1.6）图1-1 径向偏振光偏振示意图2.2 径向偏振光的紧聚焦特性在高数值孔径条件下径向偏振光聚焦光斑中的总能量中占支配地位的纵向部分通过控制整个的场分布并决定着聚焦光斑的尺寸(随着数值孔径的增大，光场纵向分量比重加大)。通过选择合适的透镜数值孔径调整焦点附近纵向分量和径向分量比例，我们可以得到一个平顶光束。另外，通过设置中心圆域内透过率为0（过滤轴上光束）的衍射器件进一步加强纵向分量，人们可以得到更小的聚焦光斑。一个接近0.1612的光斑已经被发现了14。综合地对比各种数值孔径下，径向偏振光的聚焦特性与其他偏振光聚焦特性的研究已经被逐步地给出来了。2.2.1 用电偶极子辐射理论解释径向偏振光的紧聚焦特性7我们考虑一个放置在高数值孔径聚集透镜焦点处的电偶极子，如图2-1所示：图2-1 电偶极子辐射径向偏振光示意图电偶极子沿着透镜光轴方向振荡。图中，电偶极子辐射出的与旋角有关的振荡电场方向也被表示出来了。高数值孔径透镜一方面收集下半空间的电偶极子的辐射电场，另一方面它使得电偶极子的辐射电场汇聚在上半空间时同一时刻的偏振都处在同一平面上。在图2-1中，我们看到透镜出瞳处的电场偏振方向与矢径方向一致（也即径向偏振光）。如果我们颠倒光束的传播方向，以一个处于入瞳平面上的径向偏振电场为入射场，同样地使用一个高数值孔径的聚焦透镜，则在上半空间同一时刻处于同一平面上的电场偏振就会被高数值孔径聚焦透镜聚焦到同一个点上，在焦点处我们将可以得到一个近似于振荡电偶极子的电场分布。我们认为电偶极子辐射理论可以近似地解释径向偏振光聚焦场附近纵向分量之所以强于其他分量的原因。2.2.2 紧聚焦下的径向偏振光图2-2展示了紧聚焦径向偏振光的系统组成。入射光可以有很多种不同的电场分布和偏振方向。在这里，我们假设光阑0波前入射为一个平面波，经过等光程透镜的汇聚，形成一个如球面1所演示的球面波（球面1被假定为光学系统的出瞳）：图2-2 紧聚焦径向偏振系统组成示意图。光阑0与球面1共轴图2.2中，是与光轴垂直的单位矢量，在笛卡尔坐标系中可以表示为： (2.1)是入射光的波矢量，是偏振方向与矢径方向的夹角。由K.S.Youngworth和T.G.Brown的工作我们可以知道径向偏振光聚焦平面附近的聚焦场径向分量、纵向分量和角向分量（入射光是径向偏振光时角向分量为0）分别表述为： （2.2） （2.3） （2.4）其中r为聚焦平面上观察点与聚焦中心的距离，z为光轴上观察点与聚焦中心的距离，与最大数值孔径角相对应，是一个切趾函数。原则上，我们可以选择任意切趾函数。在这篇论文中我们选择的是一个简单的圆环域切趾函数： （2.5）透镜的最大数值孔径为0.8，它的长度被规范为单位波长，也即=1。图2-4展示了聚焦中心附近的两个一维强度分布。横向分量强度是角向分量强度和径向分量强度的总和。在紧聚焦径向偏振光时，角向分量消失，只留下径向分量和纵向分量，根据观测，纵向分量强度比横向分量强度大。另外，纵向分量强度的宽度近似等于总强度宽度的一半。在图2-3(a)、(b)、(c)中，我们分别展示了纵向分量、横向分量、总场的二维强度分布。如果我们可以找到一个物理机制来消除聚焦平面上的横向分量而仅仅留下纵向分量，那么光学系统的分辨率就可以得到提高。2.2.3紧聚焦条件下由一个广义柱矢量偏振光获得平顶光束3我们注意到，焦平面上的径向和角向偏振分量强度类似于中心有暗斑的圆环。两个分量的圆环的尺寸相近。纵向偏振分量在中心有一个明亮尖锐的顶峰，而这个明亮顶峰的尺寸和圆环中心暗斑的尺寸相近。这些观察表明，我们可以通过控制1.1式中的角来调整圆环域和亮斑域的比重获得一个平顶域。聚焦透镜的最大数值孔径NA=0.8时，我们在=24.19找到了一个平顶的聚焦光束。这种通过高数值孔径的聚焦得到平顶光束的方法是其他传统光束通过整形技术或者衍射器件难以获得的。不仅如此，传统光束整形技术对于输入光的特性也有很多要求。如果输入光束并不能满足整形条件，则需要重新设计和重组光学器件。而高数值孔径条件下的柱矢量偏振光聚焦却提供了更多的灵活性和可变性。图2-5展示了我们所获得的平顶光束的场分布状况。2.2.4径向偏振光的其他特性与此同时，我们对比了该平顶光束与高斯光束的焦深12。焦深本来是普通光学成像的一个概念,是描述成像系统的像质在焦面附近沿轴向变化的一个参数。对此已经有明确的分析和定义,其对激光成像也完全适用而对于激光光束，人们更关注的是光腰附近的能量和光斑尺寸的变化情况，故不能直接引用焦深在成像系统中的定义。以往对于激光光束的焦深一般选用两种定义：一类是基于光斑尺寸在光腰附近的变化来定义；另一类是基于光斑中心的能量在光腰附近沿轴向的变化来定义13。在这里我们，我们定义光斑半径为总场最大值下降到1/e处到轴上的距离，并将焦深定义为光斑尺寸增大到束腰尺寸的倍时该点到束腰的距离。并得到平顶光束的焦深约为1.43，而高斯光束的焦深为0.8。在另一种情况下，我们定义焦深为轴上光强下降到原点光强的1/e处到原点的距离。此时，平顶光束的焦深为1.35，高斯光束的焦深为0.76。这说明，在同一空间传播时，平顶光束的发散角比高斯光束的发散角小，也即平顶光束的传输质量比高斯光束好。由于径向偏振光的偏振态分布是沿轴向中心对称的，经透镜折射后，不同传播方向的光线间纵向分量相位相同；横向分量相位不同步。聚焦后在焦点附近的纵向分量呈现出圆点状分布，光斑直径较小；横向分量呈现出空心环状分布，光斑直径较大。所以当聚焦数值孔径增大时，径向偏振光的聚焦光斑直径能够迅速减小。线偏振光聚焦状况正好相反，光场不同空间位置的纵向分量相位相反，纵向分量的聚焦光斑在沿入射光偏振方向上呈现两瓣对称分布，使得大数值孔径下聚焦光场呈椭圆形。由上述内容可知，径向偏振光聚焦时，随着折射光线与光轴之间最大角的增大，聚焦光斑的直径迅速减小。这说明经折射光线与光轴夹角较大的部分在焦点处能得到直径较小的光斑。如果我们将入射光对应的折射角度一点点地减小，将处于光束中心部分的光线去除，只留下折射角度较大的处于边缘处的部分光线，我们就能够得到更小尺寸的光斑14。 （a） (b) (c)图2-3 径向偏振光聚焦光场附近的强度分布。（a）纵向分量分布（b）横向分量分布(c)总场图2-4 径向偏振光在聚焦平面上的场强度分布图2-5 左图为平顶光束的二维场分布;右图为一维场分布3 径向偏振光的产生随着径向偏振光在越来越多的领域中发挥重要的作用，人们不断地尝试和实验，采用了各种不同的方法产生径向偏振光。这些方法大致可以分为两类，一类是在激光谐振腔内利用具有选择特性的光学器件激发和过滤出线性偏振的模式，使得它们在腔内不断震荡和相干叠加从而得到径向偏振光。由于选择线性偏振的效率很低，所以这种方法得到的激光输出功率也就很小。第二种方法在激光腔外利用多种具有细微结构的光学器件对激光输出进行筛选或者调制使得尽可能多的输出转换为线性偏振光，使这些线性偏振光发生相干叠加就有可能得到径向偏振光的输出。在下面的论述中，我们重点介绍了在腔外利用正交线偏振的TEM01模和TEM10模高斯光束相干叠加得到径向偏振光的数学基础、理论模拟结果以及实验模拟结果。并简略地介绍了利用亚波长光栅片以及腔内布鲁斯特棱镜组产生径向偏振光的原理和实验装置。3.1 腔外相干叠加产生径向偏振光4首先，从理论上对相干叠加TEM01与TEM10光束产生径向偏振光进行可行性模拟研究；然后给出了实验装置与光路图并对其进行分析，给出了模拟实验结果，将理论结果和模拟结果进行了对比。3.1.1相干叠加产生径向偏振光的理论基础早在1966年就已经有理论研究证明了利用两束偏振正交的高斯光束TEM01与TEM10合成径向偏振光的可行性。我们简略地回顾这种理论的基础。首先考虑线性TEM10和TEM01模式的电场分布可以表述如下： （3.1） (3.2）其中是横截面光强下降到1/e时的光斑半径，分别是x，y方向上的单位矢量。则一个相干叠加的总场就可以简单地表述为： （3.3）3.3式中的最后一项指出，在（x，y）坐标系内，光束横截面上的各点光场方向总是沿着矢径方向。因而，光强的分布仅与观察点与原点的距离有关。这说明光场的偏振都是径向的。图3-1（a）、（b）、（c）分别展示了TEM01、TEM10模场分布以及由TEM01和TEM10相干叠加得到的总场分布。 （a） (b) (c)图3-1 由偏振正交的TEM01（a）和TEM10（b）模式相干叠加而得的径向偏振光光场强度分布（c）检测图3-1（c）中的相干叠加总场的偏振性是有必要的。在图3-2中分别展示了总场通过通光轴与x轴方向旋角成-/3,/4，/2偏振片后的光场分布。 （a） (b) (c)图3-2 总场通过通光轴与x轴方向旋角成-/3(a),/4(b)，/2(c)偏振片后的光场分布从图3-1和图3-2的结果证明理论上利用TEM01和TEM10模式相干叠加得到径向偏振光是可行的。因而，我们的目光接下来就转到如何产生偏振正交的TEM01和TEM10模式上。我们希望将一个标准的高斯光束转换到电场分布与（3.1）（3.2）式相近的场分布。利用TEM00模转换得到近似TEM01模的方法是可行的。我们将通过图九所示的简单的二元阶跃位相器实现这一过程。这个衍射器件的图示在图3-3中得到了展示，其透过比分布为： （3.4）图3-3 二元阶跃位相器的结构示意图。在基片上有一层厚度为h、折射 率为n的镀膜。（3.4）中的满足。 （3.5）其中。如果我们考虑观察点P到传播轴z轴的距离很小，那么（3.5）中的一项可以有以下近似： 在分母上； 在分子上； 3.1.2相干叠加产生径向偏振光的实验装置 图3-4展示了利用两束偏振正交光相干叠加产生径向偏振光的实验装置。从望远系统中出射的线性偏振光通过5：5偏振分束器PBS后成为两束光，它们将分别通过横向极化光路和纵向极化光路，之后再由合束器合并为一束光。每一个光路中，阶跃位相器中分界线的方向都与所预期的电场偏振方向垂直，分界线的中点都在光轴上。与此同时，每一参与到任一光路的延迟因素都必须同样地加入到另外一个光路中，保证最后得出的两束光满足正交偏振性。在后面的结果中我们看到，光程的大小对于实验结果的有很大的影响，因而我们需要找到最合适的光程值。实验中，我们可以用CCD成像器捕捉得到的结果。图3-4 利用两束偏振正交光相干叠加产生径向偏振光的实验装置4。线性偏振光的获得有赖于马赫曾德尔干涉仪。一束从Nd:YVO4激光器中输出的激光首先被小孔过滤，然后才进入到干涉仪中。T是一个望远系统。PBS，偏振分束器。PS，=的阶跃位相器。VD，可变延迟器。 3.1.3计算机模拟结果分析阶跃位相器的作用是使分界线两边的输入光在分界点处产生一个位相跃变。通过简单的傅里叶变化，我们可以看到，一个近场的位相变化可以在远场引发振幅的变化。在图3-5中，我们展示了一系列TEM00模通过阶跃位相器后沿着z轴传播时不同传输距离下光场分布与TEM01模式的传输图像的对比。从图中我们看到，近场实验场相比理想场多出一些波动成分，随着距离的增大，两个场轮廓的近似度不断地趋近又远离；同时场的半径也随着距离的增大而增大。在图3-6中我们给出了两个场在传输距离中，光束横截面上振幅的契合程度。结合图3-5和3-6我们可以分析在什么样的距离条件下才能够获得两个场最大程度的契合，而且这个距离产生的场对于相干叠加获得径向偏振光是有益的。我们在观察平面上选取了近轴的200*200的网格。每个网格的上的实验场强度与理论场强度都做了对比，也即存在一个振幅差。我们设定振幅差在0.15以下的点为有效点。所有有效点的振幅之和与所有点的振幅之和的比即是我们想要的相对振幅吻合度。图3-6正是基于这一设定而绘制的传播轴上实验场与理论场吻合度分布图。对比图3-5和图3-6的计算结果，我们可以看到，在z=1.3m和z=5m附近，实验场和理论场都有很好的相对振幅吻合度。从图3-5中我们也看到，随着传输距离的增大，光束半径也在增大。因而，在实验中需要注意：偏振极化路径的长度对结果有很大的影响。 (a) (b) (c) (d)图3-5 不同传输距离下实验场（蓝色线）和理论场（红色线）的对比。其中z=0.5(m)（a），z=1.3(m)（b）,z=5(m) (c) ,z=8(m) (d)图3-6 不同传输距离下试验场与理论场的相对振幅吻合度 3.2 利用圆形布鲁斯特棱镜产生的径向偏振光 我们曾提到过，产生径向偏振光的方法可以概括为腔外选择叠加线性光和腔内选择被激起的径向偏振两个大类。很多产生的方法都极依赖于干涉仪的准确度，同时这些方法提供的激光功率都是很低。因而，一个简便的，可以提高径向偏振激光功率输出的产生方法亟待提出。人们进而创造了光子晶体元件、锥形布鲁斯特透镜等方法（尽管这些方法仍然对器件的制造水准有极高的要求）。利用特殊的锥形布鲁斯特棱镜，我们可以在腔内得到一个多模式的径向场分布。基于腔内热致双折射晶体的热透镜效应以及径向偏振光和角向偏振光不同的聚焦深度，我们可以在腔内对经锥形布鲁斯特棱镜产生的偏振模式进行选择，并得非常理想的激光输出。3.2.1数学理论基础5 在不同的境况下，对于径向偏振光，人们给出了不同的描述。因而，并没有一个统一的径向偏振光光场及光场传输公式。在计算中，我们对径向偏振光的光场和自由空间中的光场传输模式给出了一个适当的描述： （3.6）其中，；r，分别是z=0和z平面上的柱坐标；是一个仅仅与r有关的函数； 是径向单位矢量。从3.6式中，我们可以看出径向偏振光在自由空间中传播时它的偏振特性是不会改变的。我们还可以看出3.6式的结果与一个有exp(i)螺旋相位变化的LG光束是类似的。这意味着，具有径向偏振的LG模式光束在自由空间中的传播特性与LG模式光束一致，因为一个径向偏振的LG(0,1)*模式光可以看做是由左旋的LG(0,1)*模式和右旋的LG(0,1)*模式叠加而得。3.2.2布鲁斯特棱镜产生径向偏振光的原理在这里，一个完整的锥形布鲁斯特光学系统由两个顶角相互契合的凸棱镜和凹棱镜组成。两个棱镜中的凸棱镜，它的侧面涂覆了七层交替的Ta2O5和SiO2薄层。另一个凹棱镜用来补偿凸棱镜的侧面产生的分歧。这两个棱镜的底部都涂覆了抗反射薄膜。两个棱镜的契合处留出了一段空白，这段空白被浸液填满。两个棱镜的顶角的取值由入射光的布鲁斯特角决定。图3.7展示了该棱镜的结构。一束Nd:YAG产生的光（波长为1064nm）对应的布鲁斯特角和布鲁斯特棱镜顶角分别是55.8和68.4。因而，角向偏正光投射时将遭受重大的损耗，而径向偏振光则可以顺利地通过。在凸棱镜侧面上的多层涂覆薄膜可以加强偏振选择特性。在布鲁斯特条件下，运用菲涅尔积分计算出来的单次反射率约为0.136。当反射增加到八次的时候，反射率约为0.69。图3-7 锥形布鲁斯特棱镜示意图53.2.3基于热透镜效应的腔内选择原则17在各向同性介质中，比如Nd：YAG，径向偏振光和角向偏振光的聚焦特性是不一致的。横向固体灯泵浦拥有很强的热透镜效应（温度的变化导致了折射率的变化）以及热致内双折射效应。因为这些特殊的效应，径向偏振光和角向偏振光有两个不同的聚焦焦点。对于其他的偏振模式，这些效应可能引发极大的误差。但对于径向偏振光和角向偏振，经由小孔选择和热致双折射效应后，模式的区别和选择却显得更为容易了。在Nd：YAG棒中，角向偏振光和径向偏振光的聚焦深度之比维系在1.21.5之间。我们考虑如图3-7所示的平凹腔。它有一个直径为50cm的高反射率凸透镜、热效应透镜棒、限制震荡模式数的小孔光阑以及一个平面输出镜组成。此时，角向偏振光和径向偏振光的聚焦深度分别为=23.8cm，=29.3cm。图3-8 热致双折射产生径向偏振光激光谐振腔示意图 为了描述腔内的的震荡模式，我们需要解双程传输方程： （3.7）其中K为双程传输因子，特征矢量Un是谐振腔内各模式的场分布，n是单程损耗因子，每一次单程传输损耗的能量为1-|n|2双程传输因子K是传输过程中所有自由空间和光学元件的传输变化矩阵作用之积。对K进行对角化变换，我们就可以得到特征矢量Un和n。最低双程损耗对应的Un就是谐振腔中最终的震荡模式。我们将所有的器件和效应都考虑具有径向轴对称性，以此简化运算的复杂度。如图3.7中所示的谐振腔中的K因子表述为： （3.8）其中，P1，P2，P3是对应于Z1，Z2，Z3的三个自由空间的传输矩阵；A是孔径光阑的传输矩阵，TLr是热透镜的传输矩阵，BM反射镜的传输矩阵。长距离自由空间传输矩阵可以通过3.6式导出。短距离自由空间传输矩阵可以看做是长距离传输矩阵的一部分。在图3-7的计算中，短距离传输矩阵可以忽略。 当我们使用图3-8所示的谐振腔对1064nm光进行模式选择时。我们可以得到如图3-9所示的径向偏振光和角向偏振光的损耗对比。从图中我们可以看到对于这样的一个装置，有意义的径向偏振光损耗比角向偏振光损耗要小。当我们设定适当的孔径光阑的直径时，我们就可以得到纯的径向偏振光输出。图3-9 计算了四种不同模式的损耗随着小孔直接变化的变化情况。实心圆点代表了径向偏振光。空心方形圈代表角向偏振光17。3.3 利用亚波长光栅产生径向偏振光6光学领域中的奇异点通常都会引起很多关注。在这些以点状或者线状出现的奇异点上，光波的位相和振幅会出现无法定义或者突然转变两种现象。在这些奇异点中，拥有螺旋形位相分布的漩涡奇异变化是很经典的一种模式。漩涡是拓扑结构的一种。径向偏振光和角向偏振光的偏振模式就是一种典型的漩涡奇异变化模型。通过调节光栅的深度、方向和周期，我们可以匹配任意的光偏振模式。因而，在理论上，我们可以通过操作光栅的结构调制出任意的光栅模式。如果光栅的状态可以表述为： （3.9）其中，分别是极坐标下的角向单位矢量和径向单位矢量，是光栅的空间变化频率，代表了一个变化周期，是与光栅条纹垂直的矢量。当光栅周期小于入射波的波长时，传输因子只有零阶是有效的，此时的光栅作用近似于一个光轴垂直或者水平于光栅沟槽的单轴晶体。这样的光栅的双折射效应取决于它们的具体结构。 假设我们希望可以利用一个空间变换1/4波片将一个右旋的圆偏振光转换为一个径向偏振光。此时。式子3.9满足： （3.10）此时，是的光栅周期。整理上述定义可得在目标场的每一点都有： （3.11）我们假设光栅的结构参数，。图3-10（a）展示了我们预期的光栅结构。3.10（b）则展示了我们需要的径向偏振场分布。 图3-10 亚波长光栅产生径向示意图。（a）光栅表面示意图；（b）径向偏振光；图左下角，光栅边缘图像6。 我们进一步关注到光栅更为完整的偏振和位相变化。通过琼斯矩阵变换我们可以确实地找到理论上将任意偏振模式转换到任一其他偏振模式的方法及其对应光栅结构。对于一个空间变化的四分之一波片，变化光束可以表示为： （3.12）基于这个表述式，我们可以计算Pancharatnam位相（Pancharatnam提出的对比两束不同偏振光位相的表述式）：。 （3.13）在这里。我们定义拓扑Pancharatnam变化为。式中的1是旋转位移的一个奇异点，也就是方位角关于旋转位移的旋转次数，同时也是旋转位移不连续点个数的一半。式3.12中的Pancharatnam变化。这个变化可以被相位片修正为。其中严格地与光栅拓扑单元的数目相等。图3-11展了不同的ld取值下得到的径向偏振光模型。其中3.11（a）是仅仅通过光栅变化的输出光偏振模型，而图3-11（b）(c)（d）(e)是进一步被相位片调制后的输出偏振模型。图3-13展示了各个输出光模型的场分布侧面轮廓。其中3-13（a）（d）输出光的远场中心是亮斑而其余的皆是暗斑。 图3-11不同取值下输出光偏振示意6 图3-12 各个输出光场分布侧面轮廓64 径向偏振光的应用前面我们提到，径向偏振光两个最显著的特性是轴向中心对称性和优秀的紧聚焦特性。这两个突出的特性已经在实际中找到了合适的应用。比如，金属切割中，如果我们采用径向偏振光的，由于径向偏振光始终是p分量的偏振光，所以其方向始终平行于金属表面，因此其角度因素并不影响切割过程，同时切割效率提高为使用传统模式的1.52倍；在金属钻孔中，径向偏振光也比其他模式更为优异，其钻孔更均匀，钻孔深度更深。根据前面的叙述，我们知道径向偏振光在紧聚焦条件下可以产生超越衍射极限的光斑，而这样的光斑在使用更特殊的衍射器件之后还可以进一步地减小，因而径向偏振光可以进一步地提升捕捉金属粒子、显微镜分辨率、存储密度，研制新型干涉仪等技术的精密程度。下面我们就简单地介绍一些径向偏振光的实际应用。4.1 紧聚焦径向偏振光产生三维光学链捕捉金属粒子16光学捕捉，或者说光学镊子，是一种利用紧聚焦光束的辐射光压力操纵微观粒子的非接触捕捉技术。光学镊子被证明可以应用在很多领域当中，这些领域涵盖微加工技术和显微技术。特别是在生物学中，这种技术可以用于探索生物体在纳微尺寸上的工作原理。比如，人们尝试运用这种技术解开DNA的凝旋。在一般的技术中，光学镊子只能用于捕捉单一的微粒子。为了拓展这种应用，人们已经尝试了很多种方法。但他们的方法都始终在使用具有传统偏振模式的光束，这使得他们产生的光学镊子缺乏足够的灵活性和可操控性。据我们现有的知识，仅仅捕捉单一微粒子远不能满足人们探索微观世界时的技术要求。因而这就需要一种可以同时地、灵活地操纵多个粒子的技术的出现。利用紧聚焦条件下的径向偏振光我们就可以看到实现这项这项技术的希望。4.1.1紧聚焦径向偏振光产生一个光学泡7 适当地使光学衍射和干涉结合起来可以得到一些意想不到的现象（涵盖横向杨氏条纹和纵向非衍射光）。这些现象可以通过光学衍射器件得到更多的应用。图4-1就展示了这样一个衍射器件。如图所示，这个衍射器件被三个参数NA1，NA2，NA分割为三个区域。三个区域的透过率分别是T1=exp(j1)，T2=exp(j2)，T3=exp(j3)。图4-2中展示的是一个用以聚焦径向偏振光获得一个三维光学泡的光学系统。高数值孔径聚焦透镜的作用是汇聚一个球面波到聚焦平面上。一个被分割为三个不同区域的衍射器件放置在高数值孔径聚焦透镜的前面，用以调制入射的径向偏振光。 在产生一个光学泡的时我们设定了以下的取值，T1=1，T2=-1，T3=1。聚焦平面上的总场可以表示为：E=E1-E2+E3。以及NA1=0.2,NA2=0.6,NA=0.8。图4-1 被分割为三个区域的衍射器件径向偏振光的聚焦分布已经由式子（2.2）(2.3)(2.4)给出了。此时我们选择的切趾函数表述式为4.1式，其中NA0=0.2。 （4.1）图4-2 紧聚焦经衍射器件调制后的径向偏振光的光学体统7通过计算机模拟我们得到了光学泡的二维横向光场分布、二维纵向场以及二维总场分布图，并在图4-3（a）、(b)、(c)中分别作了展示。从总场图中，我们看到在传播轴上的暗斑被光能量完整地包裹着。（a） (b) (c) (d) (e)图4-3 光学泡二维横向光场分布(a)、二维总向场(b)以及二维总场分布(c)横向场一维分布（d），纵向场一维分布（e）4.1.2紧聚焦产生三维光学链16 在（1）中我们介绍了一个用以调制入射径向偏振光的二元衍射器件，以及一个对已调制光束进行紧聚焦的光学系统。通过类似的参数设置，应用同样方法我们就可以模拟出我们预期的三维光学链。 此时，我们设定T1=T3=1，T2=0。NA1=0.4，NA2=0.9，NA=1。针对（2.2）（2.3）（2.4）的切趾函数则与（2.5）式一致。 径向偏振光沿着径向的偏振是相干的。因为，在紧聚焦状况下，不同部分的入射径向偏振光在焦点附近的光轴上彼此干涉，形成了特殊的场分布。图4-4展示这样的一种类似于光学链的场分布。这个场的纵向分量从原点沿着光轴衰减，形成了一个有限的光学链。这样的类光学链可以看做是不同的光学泡沿着光轴以恒定的间隔连接起来的结果。 (a) (b) (c) (d)图4-4 三维光学链的场分布，总场分布（a），纵向场分布（b），横向场分布(c)，纵向一维场分布（d）4.1.3 光学链用于捕捉和操纵微粒子3光学镊子是应用紧密的聚焦激光光束诱捕和操纵微小粒子的一种光学技术。微小粒子可以是原子、分子以及细胞。在很多不同的领域，这种技术都有广泛运用前景，例如DNA排序，基因移植，微装备以及精密加工。用于诱捕的力来自光场强度的梯度分布。一般地，这种梯度力可以描述为如下： （4.2）这里R是粒子的尺寸，c是真空中的光速，I为光强度的梯度，1是环境的电介质常数，2是粒子的电介质常数。从这个等式中我们看到诱捕力的强弱依赖于1和2。如果12那么梯度力会使得粒子向聚焦光束场强度更弱的地方运动。大多数现有的光镊子都在使用中心强度最大的高斯光束。这种方式只适用于诱捕和操纵粒子电介质常数高于环境电介质常数的状况。对于很多特殊的情况下，粒子电介质常数比环境电介质常数小，这些状况下就需要一种圆环状的激光光束模式。如果运用聚焦裁剪的方式，通过调整操控半波片偏转器时的旋转角度来改变聚焦强度分布，我们可以轻易地实现环形模式和中心亮斑模式间的转换，进而在同一个光学系统中我们可以诱捕和操控更多种类的粒子。 操纵光学链运动的方法与传统方法是相近的。通过改变3和1的差值： （4.3）我们可以使光学链在传播方向上运动。利用诸如晶体光学位相变化等技术，实现的递增或者递减是可行的。当为的整数倍时，三维光学链的运动重现出=0时的情形。图4-5中我们演示了光学链一个周期内的运动过程。通过调制入射光的位相和振幅，我们可以使多种不同性质的粒子向光学泡单元的中心运动；通过调节的值，我们可以使载有微粒子的光学链运动。适当地协调这两个操控，我们就能够同时灵活地捕捉和操控大量的微粒子。 图4-5 改变实现对光学链操纵的示意图。从左上开始分别0,0.5,1.54.2 径向偏振光在激光切割中的应用910激光加工已经被广泛地应用在切割、打孔、融敷中，是加工业中增长速度最快的众多模块之一。对比于其他传统的加工技术，激光加工为制造业提供了更为优秀的精度、质量和加工弹性。激光加工中，聚焦光能量被目标区域内的材料吸收转化为热能，这些材料会很快地被破坏和移除。一束可以被聚焦整形为平顶光束的激光表现出了更快、更优质的加工效果。值得注意的是，激光加工的效率极依赖于光束的偏振模式。人们发现，偏振模式具有沿轴向中心对称的径向偏振光在激光加工中有着其他偏振模式光束无法比拟的潜力。4.2.1激光加工速率的数学基础我们定义激光加工速率：有效移除目标材料所需的能量与输入能量的比值。材料的厚度（h）与加工尺寸（d）的比例影响着加工速率。此时我们考虑h/d =10。如果我们想要提高加工的速度，那么对输入光束进行整形是有必要的，同时光束的偏振模式对此也有重要的影响。我们不考虑激光切割中的气流、水流、热传导作用，仅仅考虑几何光学的影响：光的反射只被考虑一次。激光切割是一个敞开的过程，在此过程中，光的散射和反射直接从切割内壁向外消散，因而这两个因素将不影响材料的破坏和热导作用下材料的消散。当h/d=10时，光辐射和材料之间的相互作用时的角度都接近P波最佳吸收角。在激光吸收中，P波的吸收曲线有着极其重要的意义。图4-6展示了运动的激光光束作用与材料的示意图。当激光光束以速度在运动时，沿着运动方向（x轴）的光强分布满足9： （4.4）其中:，r0是光束的光斑半径，zf是激光聚焦平面到样品表面的距离。切割平面上任意有恒态能量的点都满足以下形式： （4.5）其中，是在运动方向上被去除材料的速度，P是被吸收的能量密度。 （4.6）这里是能量吸收系数，（是激光入射到切割表面时的入射角，（是激光入射平面和激光运动方向的夹角。对于平面偏振光，0是电场矢量和速度矢量的夹角(0是一个常数)。此时，有以下的形式： （4.7）其中Fs(），Fp()分别是S波和P波的菲涅尔吸收公式。（4.5）式中的k有以下形式： （4.8）其中c,u分别是比热容、材料密度、融化材料时的热量，T1和T0分别是初始温度和材料融化时的温度。 图4-6 直角坐标系中描绘激光切割中激光光束与加工物件相互作用的示意图94.2.2定性讨论径向偏振模式在激光切割中的效率 诸多的研究表明径向偏振光有着最优异的激光切割效率，支持这一结论最有力的两个证据：(a)能量吸收独立于方位角（这一点可立即将线偏振光排除掉）（b）能量吸收应是最高的（正是径向偏振光的特点）。 在式4.6我们给出了能量吸收密度的公式，与式中的F(,-0)成正比，而F(,-0)又由4-7式定义，从中我们看到P波和S波的吸收率直接影响到P的大小，也就是：PFp+Fs。因而不难得出结论，一个在S波或者P波上都有很高吸收率的光束的能量吸收密度将是很高的。从图4-6中我们观察到，如果入射光是径向偏振光，那么在切割面的任一点上，入射光都是属于波，也就是说径向偏振光的偏振方