数值分析—填空练习复习题.pdfVIP

1 绪论 1 要使20的近似值的相对误差限 0 1 应至少取 4 位有效数字 20 0 4 10 a1 4 r 1 2 1 a 10 n 1 0 1 故可取 n 4 即 4 位有效数字 2 要使20的近似值的相对误差限 0 1 应至少取 4 位有效数字 此时的绝对 误差限为 3 1 10 2 3 设 y f x1 x2 若 x1 x2 的近似值分别为 x1 x2 令 y f x1 x2 作为y 的近似值 其绝 对误差限的估计式为 f x1 x2 x1 x 1 f x1 x2 x2 x 2 4 计计算算 f 2 1 6 取 2 1 4 利用下列算式 那个得到的结果最好 答 C A 6 12 1 B 3 22 2 C 3 223 1 D 99 702 5 要使17的近近似似值值的相对误差限 0 1 应至少取 位有效数字 17 0 4 10 a1 4 r 1 2 1 a 10 n 1 0 1 故可取 n 3 097 即 4 位有效数字 6 设 x 3 214 y 3 213 欲计计算算 u yx 请给出一个精度较高的算式 u u yx yx 7 设 x 3 214 y 3 213 欲计算 u yx 请给出一个精度较高的算式 u u yx yx 8 设 y f x1 x2 若 x1 x2 的近似值分别为 x1 x2 令 y f x1 x2 作为y 的近似值 其绝对误 差限的估计式为 f x1 x2 x1 x 1 f x1 x2 x2 x 2 2 方程根 9 设设迭迭代代函函数数 x x 在在 x x 邻近有有 r r 1 1 阶阶连连续续导导数数 且且 x x x x 并并且且有有 k x 0 k 1 r 1 但 r x 0 则 xn 1 xn 产生的序列 xn 的收敛阶数为 r 10 称称序序列列 x x n n 是是 p p 阶阶收敛的的如如果果c xx xx p n n n lim 1 11 用牛顿法求 f x 0 的 n 重根 为了提高收敛速度 通常转化为求另一函数 u x 0 的单根 u x f x fx 12 用用N Ne ew wt to on n法法求 求方方程程f f x x x x 3 3 1 10 0 x x 2 20 0 0 0 的的根根 取取初初值值x x 0 0 1 1 5 5 则则x x 1 1 解解 x x1 1 1 1 5 59 97 70 01 14 49 9 13 用牛顿法解方程01 23 xx的迭代格式为 解 kk kk kk xx xx xx 23 1 2 23 1 14 迭代过程 1kk xx 收敛的充分条件是 x 1 15 用 Newton 法求方程 f x x 3 10 x 20 0 的根 取初值 x 0 1 5 则 x1 1 5970149 16 用牛顿法解方程01 23 xx的迭代格式为 kk kk kk xx xx xx 23 1 2 23 1 17 用用N Ne ew wt to on n法法求 求方方程程f f x x x x 3 3 1 10 0 x x 2 20 0 0 0 的的根根 取取初初值值x x 0 0 1 1 5 5 则则x x 1 1 解解 x x1 1 1 1 5 59 97 70 01 14 49 9 1 18 8 迭迭代代公公式式 x xk k 1 1 x xk k x xk k2 2 3 3a a 3 3x x k k2 2 a a 是是求求 a a1 1 2 2的的 12 阶阶方法 3 方程组 19 矩阵的 LU 分解中 L 是一个 为单位下三角阵 而 U 是一个上三角阵 20 设线性方程组的系数矩阵为 A 6847 1531 3148 3412 全主元消元法的第一次可选的主 元素为 8 或 8 第二次可选的主元素为 8 7 8 或 8 7 8 列主元消 元法的第一次主元素为 8 第二次主元素为 用小数表示 7 5 21 在方阵 A 的 LU 分解中 方阵 A 的所有顺序主子不为零 是方阵 A 能进行 LU 分解的 充 分 充分 必要 条件 严格行对角占优阵 能 能 不能 进行 LU 分解 非奇 异矩阵 不一定 一定 不一定 能进行 LU 分解 22 设 A 是正定矩阵 则 A 的 cholesky 的分解 唯一 唯一 不唯一 23 设 20 21 012 a aA 为使 A 可分解为 A LLT 其中 L 是对角线元素为正的下三角 形矩阵 则 a 的取值范围是 取 a 1 则 L 24 解 3 3 a 3 2 3 2 0 0 2 3 2 1 002 4 迭代 1 32 11 A 则 1 A 2 A A 答 4 3 6180340 5 2 已知方程组 2 1 2 1 132 0 21 b b x x 则解此方程组的 Jacobi 迭代法 是 收敛 填 是 或 不 3 给定方程组 1 1 1 211 111 112 3 2 1 x x x 记 此 方 程 组 的 Jacobi 迭 代 矩 阵 为 BJ aij 3 3 则 a23 1 且 相应的 Jacobi 迭代序列是 发散 的 4 设 3 1f xx 则 f x关于 0 1 C的f 1 2 f 1 7 5 13 01 A 则 1 1 1 4 2 1 2 1 AIAA 6 Rn 上的两个范数 x p x q等价指的是 C D R C x q x p D x q Rn 上的 两个范数 一定 是等价的 选填 一定 或 不一定 7 T x 12 4 0 3 则 1 x 19 2 x13 x 12 8 已知方程组 2 1 2 1 132 0 21 b b x x 则解此方程组的 Jacobi 迭代法 收敛 填 收 敛 或 发散 9 T X 4 3 2 则 1 X 2 X X 解 4 29 9 21 XXX 10 已知方程组 2 1 2 1 132 0 21 b b x x 则解此方程组的 Jacobi 迭代法 收敛 填 是 或 不 解 3 因 132 0 21 A的 Jacobi 迭代矩阵 032 0 20 B 8 0 B 故 Jacobi 迭代是收敛的 11 已知方程组 26203 825 yx yx 其雅可比法的迭代矩阵是 高 斯 塞德尔法的迭代格式是 解 10 13 20 3 5 8 5 2 0 20 3 5 2 0 1 1 1 kk kk xy yx 12 已知方程组 2 1 2 1 132 0 21 b b x x 则解此方程组的 Jacobi 迭代法 收敛 填 是 或 不 解 因 132 0 21 A的 Jacobi 迭代矩阵 032 0 20 B 8 0 B 故 Jacobi 迭 代是收敛的 13 已知方程组 26203 825 yx yx 其雅可比法的迭代矩阵是 高斯 塞 德尔法的迭代格式是 解 10 13 20 3 5 8 5 2 0 20 3 5 2 0 1 1 1 kk kk xy yx 14 2 1 0 10a A 要使0lim k k A a 应满足 解 1 a 15 T X 4 3 2 则 1 X 2 X X 13 01 A 则 1 A A 解 4 29 9 21 XXX 1 1 1 4 2 1 2 1 AIAA 16 设若 10 31 A 则矩阵 A 的 1 范数 1 A 4 cond1 A 16 17 如果线性方程组Axb 用 Jacobi 迭代法 其迭代矩阵B满足 1 1B 如果用 Gauss Seidel 迭代法解此线性方程组Axb 则方法 一定 一定 不一定 收敛 18 设 1111 1111 1111 1111 Q 则 2 Q 2 19 T x 12 4 0 3 则 1 x 2 x x 答案 1 19 13 12 20 方程组Axb用超松驰法求解时 迭代矩阵为 UD 1 LD B 1 要使迭代法收敛 条件 0 2 是 必要条件 充分条件 必要条件 充要条件 如果A是正定矩阵 用超松驰法求解 方法收敛当且仅当 在区间 0 2 时 21 给定方程组 1 2 11 12 xa xa 其 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为 0 0 a a 当 a 1 时 Jacobi 迭代格式收敛 其 Gauss Seidel 迭代格式的迭代矩阵为 2 0 0 a a 当 a 1 时 Gauss Seideli 迭代格式收敛 22 已知方程组 2 1 2 1 132 0 21 b b x x 则解此方程组的 Jacobi 迭代法 是 收敛 填 是 或 不 23 已 知 43 21 A 则 1 A 6 A 7 A的 谱 半 径 A 1 533 2 24 1 设 3 1f xx 则 f x关于 0 1 C的f 1 1 f 1 4 2 f 1 7 25 T X 4 3 2 则 1 X 2 X X 解 4 29 9 21 XXX 26 已知方程组 26203 825 yx yx 其雅可比法的迭代矩阵是 高斯 塞 德尔法的迭代格式是 解 10 13 20 3 5 8 5 2 0 20 3 5 2 0 1 1 1 kk kk xy yx 设线性方程组的系数矩阵为 A 6847 1531 3148 3412 列主元消元法的第一次主元素为 13 第二次主元素为 用小数表示 14 记此方程组的高斯 塞德尔迭代矩阵为 BG aij 4 4 则 a23 15 13 8 14 7 5 15 17 4 27 5 插值 28 在等式 n k kkn xfaxxxf 0 10 中 系数 ak与函数 f x 有 关 限填 有 或 无 29 设 lk x 是 关 于 互 异 节 点x0 x1 xn 的 Lagrange 插 值 基 函 数 则 n k k m k xlxx 0 0 m 1 2 n 30 用1n个不同节点作不超过n次的多项式插值 分别采用 Lagrange 插值方法与 Newton 插值方法所得多项式 相等 不相等 31 函数 3 32 0 10 01 1 12 x f xxx xxx 与函数 3 3 21 10 221 01 xxx g x xxx 中 是三次样条函数的函数是 f 另一函数不是三次样条函数的理由是 二阶导不连续 a 设 Pk xk yk k 1 2 5 为函数 y x2 3x 1 上的 5 个互异的点 过 P1 P5且次数 不 超过 4 次的插值多项式是 x2 3x 1 函数 3 32 0 10 01 1 12 x f xxx xxx 与 函数 3 3 21 10 221 01 xxx g x xxx 中 是三次样条函数的函数是 g x 另 一函数不是三次样条函数的理由是 不满足具有二阶连续导数 32 令 f x ax7 x4 3x 1 则 f 20 21 27 a f 20 21 28 0 33 设 110 110 niiiiii nii i xxxxxxxx xxxxxxxx xl i 0 1 n 则 n k kk xlx 0 x 这里 xi xj i j n 2 34 牛顿插商与导数之间的关系式为 10 n f xxxf n n 35 设 x0 x1 x2是区间 a b 上的互异节点 f x 在 a b 上具有各阶导数 过该组节点的 2 次插值多项式的余项为 R2 x 3 2 0 3 k k xx f 36 在等式 n k kkn xfaxxxf 0 10 中 系数 ak与函数 f x 无 关 37 高次插值容易产生 龙龙龙龙格格格格 R Ru un ng ge e 现现象象 38 39 设 Pk xk yk k 1 2 5 为函数 y x2 3x 1 上的 5 个互异的点 过 P1 P5且次数 不超过 4 次的插值多项式是 x2 3x 1 40 令 f x x7 x4 3x 1 则 f 20 21 28 0 41 确定 n 1 个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要 4n 个 42 若 f x 充充 分分 光 滑 若 2 n 1 次 多 项 式 H2n 1 x 满 足 H2n 1 xi f xi 2 1 12 nixfxH iin 则称 H2n 1 x 是 f x 的的 Hermite 插值 多项式 且余项 R x f x H2n 1 x 22 1 2 0 22 22 n n xxxxxx n f xR 43 设 Pk xk yk k 1 2 5 为函数 y x2 3x 1 上的 5 个互异的点 过 P1 P5且次数 不超过 4 次的插值多项式是 解 4 y x2 3x 1 44 用1n个作不超过n次的多项值插值 分别采用 Lagrange 插值方法与 Newton 插 值方法所得多项式 相等 相等 不相等 6 拟合 1 采用正正交交多多项项式式拟拟合合可 可避避免免最最小小二 二乘乘或或最最佳佳平 平方方逼逼近近中中常 常见见的的 法方程组病态 问问题题 2 试确定 0 1 区间上 2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式 p x 该多项式唯一 否 答 p x 3 2 x 唯一 3 设 f x C a b f x 的最佳一致逼近多项式是 一定 存在的 4 在函函数数的最佳一致逼近问题中 评价逼近程度的指标用的是函数的 10 范数 在函数的最佳平方逼近问题中 评价逼近程度的指标用的是函数的 11 范数 无穷范数 f 2 范数 5 若 0 x 1 x n x 是 a b 上的正交族 n k kk xax 0 为 f x 的最佳平方 逼近 系数 ak 1 0 nk f a kk k k 6 在函数的最佳一致逼近问题中 评价逼近程度的指标用的是函数的 无穷 范数 在函数的最佳平方逼近问题中 评价逼近程度的指标用的是函数的 2 范数 无 穷范数 2 范数 1 范数 7 7 设 f x 2x4在 1 1 上的不超过 3 次最佳一致逼近多项式 P x 2x2 1 4 8 采采用用正正交交多多项 项式式拟拟合合可可避 避免免最最小小二二乘 乘或或最最佳佳平平方 方逼逼近近中中常常见 见的的 9 问 问题题 9 在函函数数的最佳一致逼近问题中 评价逼近程度的指标用的是函数的 10 范数 10 函数的最佳平方逼近问题中 评价逼近程度的指标用的是函数的 11 范数 11 函数 f x x 在 1 1 的 次数不超过一次的最佳平方逼近多项式是 1 2 7 积分 45 Gauss 型求积公式不是 插值型求积公式 限填 是 或 不是 46 n 个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过 n 1 次 47 设 n k C称为柯特斯系数 则 0 n n k k C 1 48 为辛卜生 Simpson 公式具有 3 次代数精度 49 2n 阶 Newton Cotes 公式至少具有 2n 1 次代数精度 50 设公式 n k kkn xfAI 0 为插值型求积公式 则 1 0 d nkxxlA b a kk 且 0 n k k A b a 51 n 个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过 2n 1 次 52 Gauss 点与积分区间 无关 但与被积函数 有关 53 当常数 A 10 9 B 10 9 a 12 5 时 数值积分公式 2 2 16 0 9 f x dxAfafBf a是 Gauss 型积分公式 54 Simpsons 数 值 求 积 公 式 具 有 3 次 代 数 精 度 用 于 计 算 dxxxx 45 02 2 ln 2 1 0 4 所产生的误差值为 120 1 55 形如 b a n k kk xfAdxxf 0 的插值型求积公式 其代数精度至少可达到 n 阶 至多可达到 2n 1 阶 56 勒让德 Legendre 多项式是区间 1 1 上 带权 1 正交的正 交多项 3 用梯形公式计算积分 23 2 x edx 9 219524E 003 此值比实际值 小 大 小 57 用复化梯形公式计算积分 1 0 f x dx 要把区间 0 1 一般要等分 41 份才能 保 证满足误差小于 0 00005 的要求 这里 2 1fx 如果知道 2 0fx 则 用复化梯形公式计算积分 1 0 f x dx 此实际值 大 大 小 58 若用复化梯形求积公式计算积分 1 0 x Ie dx 区间 0 1 应分 2129 等分 即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 7 1 10 2 若改用复化 Simpson 公式 要达到同样精度区间 0 1 应分 12 等分 即要计算个 25 点的函数值 59 Simpsons 数 值 求 积 公 式 具 有 3 次 代 数 精 度 用 于 计 算 dxxxx 45 02 2 ln 2 1 0 4 所产生的误差值为 120 1 60 形如 b a n k kk xfAdxxf 0 的插值型求积公式 其代数精度至少可达到 n 阶 至多可达到 2n 1 阶 61 若用复化梯形求积公式计算积分 1 0 x Ie dx 区间 0 1 应分 2129 等分 即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 7 1 10 2 若改用复化 Simpso