高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.4 二面角及其度量课后导练 新人教B版选修2-1.doc

3.2.4 二面角及其度量课后导练基础达标1.在60的二面角-a-内有一点p，p到、的距离分别为3和5，求p到棱a的距离（ ）a. b. c.14 d.答案：a2.已知-l-为直二面角，a、b在l上，ac、bd分别在面、内，且ac与l的夹角为45（如下图的位置），bdl,ac=，ab=2，bd=4，求cd的长（ ）a. b. c. d.4答案：c3.过正方形abcd的顶点a，作pa平面abcd，若pa=ab，求平面abp和平面cdp所成的二面角的大小（ ）a.30 b.45 c.60 d.90答案：b4.在梯形abcd中，adbc，abc=90，ab=a,ad=3a,adc=arcsin,又pa平面abcd，pa=a,则二面角p-cd-a为_.答案：arctan5.如右图，abcd是正方形，e是ab的中点，如果将dae和cbe分别沿de和ce折起，使ae与be重合，记a与b重合后的点为p，求面pcd与面ecd所成的二面角_.答案：306.如右图，过s引三条长度相等但不共面的线段sa、sb、sc，且asb=asc=60，bsc=90.求证：平面abc平面bsc.证明：sb=sa=sc,asb=asc=60,ab=ac,取bc的中点o,连ao、so,则aobc,sobc,aos为二面角a-bc-s的平面角.设sa=sb=sc=a,又bsc=90.bc=a,so=a,ao2=ac2-oc2=a2-a2=a2.sa2=ao2+os2.aos=90.从而平面abc平面bsc.7.如右图，pa平面abc，acbc，pa=ac=1，bc=，求二面角a-pb-c的大小.解：如题图,作chab于h,因为pa平面abc,所以chpa,从而ch平面pab.作hdpb于d,连结cd,由三垂线定理得cdpb,所以cdh为二面角a-pb-c的平面角.在rtacb中,ch=.pa平面abc，pabc.又bcac,bc平面pac,bcpc.在等腰直角三角形pcb中,易知cd=1,在rtchd中,sincdh=.故二面角a-pb-c的大小是arcsin.8.如右图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，p是ad的中点，求二面角a-bd1-p的大小.解：过p作pfad1于f,ab平面aa1d1d,abpf,pf平面abd1.由点f作febd1于e,连结ef,则pe为平面abd1的斜线,ef为pe在平面abd1内的射影,则pebd1.pef为二面角a-bd1-p的平面角.rtafprtadd1,pf=.在pbd1中,pd1=pb=,pebd1,be=bd1=.在rtpbe中,pe=,在rtpef中,sinpef=,pef=30,二面角a-bd1-p的大小为30.9.如右图，在底面是直角梯形的四棱锥abcd中，abc90，a面abcd，saabbc1，ad.求面scd与面sba所成的二面角的正切值.解析：如右图,延长ba、cd相交于点e,连结se,则se是所求二面角的棱.adbc,bc=2ad,ea=ab=sa,sesb.sa面abcd,得面seb面ebc,eb是交线.又bceb,bc面seb,故sb是sc在面seb上的射影.csse.bsc是所求二面角的平面角.sb=,bc=1,bcsb,tanbsc=,即所求二面角的正切值为.综合运用10.在正方体abcd-a1b1c1d1中，m、n、p分别是ab、bc、dd1的中点.求二面角m-b1n-b的正弦值.解：用三垂线定理求二面角.beb1n,q点为垂足,mb平面bb1n,bq为斜线mq在平面bb1中的射影,且bqb1n,mqb1n.bqm为二面角m-b1n-b的平面角.设ab=1,在rtbec中,bc=1,be=,cosnbq=.在rtbnq中,bq=bncosnbq=.在rtmbq中,tanmqb=,sinmqb=.二面角m-b1n-b的正弦值为.11.已知正三棱柱abc-a1b1c1中，cc1=ab=1，m是cc1的中点，求面a1mb与面abc成的角.解：对无棱二面角传统方法是先做出棱来,本题延长a1m交ac于n,连接bn,则可确定a1ba是所求二面角之平面角.以向量法解决这一类问题可以回避做图找角的过程.这里只要求出两半平面的法向量,求法向量夹角就可以了.简解:如右图建系,设面a1mb的法向量n=（1,m,n）,由n=0、n=0,得m=,n=.又面abc的法向量p=(0,0,1),可解得cosn,p,即n,p=45.因此,所求二面角的大小为45.拓展研究12.如下图，几何体apc=90，apb=60，pb=bc=4，pc=3，求二面角b-pa-c的大小.解析：作bdap,d为垂足,cpap,二面角b-pa-c的大小等于,.在rtpbd中,bd=pbsinbpa=4sin60=23,dp=bpcosbp