13年第一题获全国数学建模二等奖作品.pdf

2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承诺诺书书 我们仔细阅读了 全国大学生数学建模竞赛章程 和 全国大学生数学建模竞赛参 赛规则 以下简称为 竞赛章程和参赛规则 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网 上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的 如果引用别人的成果或 其他公开的资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛章程和参赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为 我们将受到严肃处理 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会 可将我们的论文以任何形式进行公开展 示 包括进行网上公示 在书籍 期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等 我们参赛选择的题号是 从 A B C D 中选择一项填写 A 我们的参赛报名号为 如果赛区设置报名号的话 所属学校 请填写完整的全名 长春工程学院 参赛队员 打印并签名 1 王云飞 2 王震 3 周福泉 指导教师或指导教师组负责人 打印并签名 张淼 论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致 只是电子版中无需签名 以上内容 请仔细核对 提交后将不再允许做任何修改 如填写错误 论文可能被取消评奖资格 日期 2013年 9 月 16 日 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 赛区评阅记录 可供赛区评阅时使用 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号 由赛区组委会送交全国前编号 全国评阅编号 由全国组委会评阅前进行编号 1 车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 本文针对 由于交通事故导致城市车道被占用 这一社会现象 从交通事故横断面 的实际通行能力 上游路段车流量 被占车道的差异 车辆排队长度等方面入手 探究 车道被占用对城市道路通行能力的影响 针对问题 1 首先观察附件 1 中的视频 以上游路口信号周期为间隔统计出事故 横断面的实际通行能力 然后建立多项式拟合模型 运用 Matlab 绘制拟合曲线 得到 断面处实际通行能力和事故持续时间的函数关系式 3 最后得出 随着事故持续时 间的推移 事故路段截面的实际通行能力整体呈下降趋势 并且实际通行能力上升 下 降交替变化 最终趋于稳定 针对问题 2 首先以问题 1 的建模为基础 统计出附件 2 视频中事故横断面 的实际通行能力 然后对比两视频事故横断面实际通行能力拟合曲线 利用 SPSS 软件 进行配对样本 t 检验 最后得到 1 视频 2 事故横断面的实际通行能力明显强于视频 1 事故横断面的实际通行能力 2 三车道相比一车道对道路通行能力影响更大 针对问题 3 首先统计视频 1 中出现 120 米标志时刻 利用车辆排队长度公式 4 计算车辆排队长度 并观察视频统计事故横断面实际通行能力等数据 然后建立多元线 性回归模型 寻找各个变量之间的关系 最后得到以车辆排队长度为应变量 事故横断 面实际通行能力 事故持续时间 路段上游车流量为自变量的函数关系式 15 相关 性如下 各自变量与车辆排队长度的相关性 事故横断面实际通行能力 pcu h 负相关 事故持续时间 s 正相关 路段上游车流量 pcu h 正相关 针对问题 4 是问题 3 的实际应用 将已知量代入式 15 解得当事故持续 时间长达 14 4 分钟时 车辆排队长度将到达上游路口 关键词 通行能力多项式拟合配对样本 t 检验交通波多元线性回归 2 1 问题重述 影响道路通行能力 1 的主要因素有道路状况 车辆性能 交通条件 交通管理 环 境 驾驶技术和气候等条件 因交通事故车道被占用对道路通行能力影响越来越受到社 会的广泛关注 车道被占用将导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低 如果 不及时解决也可能降低路段所有车道的通行能力 也可能引起车辆排队 出现交通阻塞 所以研究车道被占用对城市道路通行能力的影响是十分必要的 本题要求完成如下工作 1 观察视频 1 附件 1 统计事故所处横断面实际通行能力 并分析交通事故发 生至撤离期间 事故所处横断面实际通行能力的变化过程 2 观察视频 2 附件 2 并以问题 1 的结论为依据 分析说明同一横断面交通事 故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异 3 车道被占用将会导致车辆排队现象 结合视频 1 探求车辆排队长度与事故横断 面实际通行能力 事故持续时间 路段上游车流量间存在何种潜在关系 4 根据交通事故发生地点的不同 路段上游车流量的变化试估算从事故发生开始 车辆排队长度将到达 140 米所需要的事故持续时间 2 问题分析 交通问题已经成为全球性的 城市通病 车道被占用是城市 交通病症 的主要 表现 由于各种因素引起的车道被占用而导致的交通问题 严重影响着人的类交通出行 然而解决其导致的道路通行能力的下降问题 是提高道路交通服务水平 促进道路交通 和谐发展的关键 对问题 1 的分析 要想描述视频中交通事故发生至撤离期间 事故所处横断面实 际通行能力的变化过程 即必须先要统计事故所处横断面实际车流量 然后可以建立多 项式拟合 2 数学模型 得到事故所处横断面实际通行能力与事故持续时间的函数关系 这样就可以科学的描述事故所处横断面实际通行能力的变化过程 对问题 2 的分析 可从两个视频中发现被占用不同的车道后 其事故横断面道 路通行能力也发上了变化 附件 3 给出了三条车道的分流比例 在忽略两个事故发生在 不同时间的影响下 探究被占不同车道的分流比例和事故横断面道路通行能力的关系是 解决问题的关键 问题 3 和问题 4 属于同一类问题 问题 4 是对问题 3 所得结论的具体 应用 探求车辆排队长度与事故横断面实际通行能力 事故持续时间 路段上游车流量 间的关系 实质上是研究一个应变量与多各自变量之间的函数关系 所以可以建立多元 线性回归 3 数学模型探求它们之间的相关性及具体关系 3 模型假设 1 忽略两个视频的不完整对数据采集的影响 2 假设小区路口进 出车流量对路段上游车流量没有影响 3 假设路段上游车辆驶过十字叉口时为绿色信号灯开启时刻 4 忽略人为统计数据产生的误差 3 4 符号说明 i 0 1 2 n 0 1 2 直行车道的设计通行能力 信号灯周期 L 车辆排队长度 折减系数 xf 断面处实际通行能力 误差平法和 车辆排队长度 事故断面实际通行能力 事故持续时间 路段上游车流量 回归系数 5 模型的建立与求解 5 1 问题 1 的建模与求解 5 1 1 通行能力的基本概念及计算公式 通行能力是指道路设施所能疏导交通流的能力 即在一定时段 通常取 15min 或 1h 和正常的道路 交通 管制以及运行质量要求下 道路设施通过交通流质点的能力 通行能力被规定为在通常的道路 交通和管制条件下 被分析为设施的人和断面都 是不变的 通常条件的任何变化 都会引起设施通行能力的变化 道路通行能力与交通 量不尽相同 交通量是指道路在某一定时段内实际通过的车辆数 一般道路的交通量均 小于道路的通行能力 当道路上的交通量比其通行能力小得多时 则司机驾车行进时操 作的自由度就越大 既可以随意变更车速 转移车道 还可以方便地实现超车 当交通 量等于或接近于道路通行能力时 车辆行驶的自由度就逐渐降低 一般只能以同一速度 循序行进 如稍有意外 就会发生降速 拥挤 甚至阻滞 当交通量超过通行能力时 车辆就会出现拥挤 甚至堵塞 因此 道路通行能力同河流的过水能力一样 是道路在 一定条件下所能通过的车辆的极限数值 条件不同 要求不同 其通行能力也就不同 故通行能力是一个变数 根据附件 4 事故发生路段的上游是十字形交叉路口 对于十字形信号控制交叉口 其通行能力等于各进道通行能力之和 从上游十字形交叉路口进入到事故发生路段的通 行能力为直行车道的通行能力 由 城市道路设计规范 推荐方法可得直行车道的设计 通行能力公式 1 式中 4 1 条直行车道的设计通行能力 pcu h 信号灯周期 由附件 5 可知为 60s 信号每周期内的绿灯时间 由附件 5 可知为 27 s 绿灯亮后 第一辆车启动 通过停车线的 可采用 2 3s 直行或右行车辆通过停车线的平均时间 可采用 2 s pcu 折减系数 可采用 0 9 计算得到 721pcu h 即事故发生路段的设计通行能力是 721pcu h 5 1 2 视频 2 中断面实际通行能力 交通事故对道路行车造成的影响 不仅跟事故本身的严重程度有关 而且与事故发 生的地点与时间有密切关系 通过对附件一的视频的仔细观察 交通事故发生至撤离期 间 事故所处横断面实际通行能力的变化过程与事故持续时间有一定关系 断面实际通 行能力可由此时实际车流量进行表征 因此需要统计出视频中事故所处横断面实际车流 量的实时数据 本文以事故发生时为时间零点 以 1 分钟为时间间隔统计出每一时间段 断面实际车流量 在数据统计中出现如下几个问题并进下说明 1 选取 1 分钟为时间间隔 与附件 5 中上游路口信号配时周期为 60 秒相符合 2 考虑到有无大车时通行能力的差异 将视频中不同车型的车辆折算出标准车当量 流量 折算关系如下表 1 表 1各汽车代表车型与车辆这算系数 汽车代表车型车辆折算系数说明 小型车1 0 19 座的客车和载质量 12t 的货车 中型车1 5 19 座的客车和载质量 2t 7t 的货车 大型车2 0载质量 7t 14t 的货车 3 视频中个别时间段内出现了跳跃 无法统计出这一时间段内实际的车流量 所以 采用将已知数据求的平均值补全缺失的数据 4 根据题目假设 忽略了四轮以下的车辆 最后整理出的视频 1 的实际车流数量数据见表 2 表 2视频 1 事故横断面实际车流量数据 时间间隔 min 小型车 pcu 大型车 pcu 标准车当量流量 pcu min 114320 217221 316016 415117 515015 618120 719019 8缺失缺失18 918120 1018120 5 1115117 1214116 1316118 14缺失缺失18 15缺失缺失18 16缺失缺失18 17缺失缺失18 5 1 3 视频 1 事故横断面实际通行能力的变化 为了直观的体现事故所处横断面实际通行能力的变化过程 运用 excel 软件把表 2 数据制成折线统计图 1 图 1视频 1 事故横断面实际通行能力变化折线 为了进一步探究横断面处实际通行能力的变化规律 建立目标函数 xf表征断面 处实际通行能力与事故持续时间的函数关系 众多的数学模型中多项式拟合模型在反映 变量之间函数关系时更加简明准确 而 11 阶多项式拟合结果与本文数据吻合度较高 故采用此法建模 以下是对断面处实际通行能力和事故持续时间的拟合过程 设函数关系式 01 2 2 10 10 11 11 axaxaxaxaxf 11 0 n n n a x 2 将数据用 Matlab 进行多项式拟合 程序如下 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 r 20 21 16 17 15 20 19 18 20 20 17 16 18 18 18 18 18 aa polyfit t r 11 xi 1 0 2 17 yi polyval aa xi plot t r k xi yi r 6 hold off hold on axis 1 17 0 25 xlabel t ylabel r title 视频1事故横断面实际通行能力拟合曲线图 xlabel 时间 min ylabel 通行能力 pcu h 拟合后图像如下图 2 图2视频1事故横断面实际通行能力拟合曲线图 Matlab运行后得多项式系数 结果如下表3 表 3多项式系数 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 38 776 11279 317 5 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 0 1 2 10 1 1 2 10 3 8 0 10 4 3 3 10 6 8 0 10 8 8 3 10 即 拟合函数式为 71 8394106118 102 1100 8103 3100 8103 8 xxxxxxf 7 387611279315 72 1 123456 xxxxxx 3 所得函数是视频中交通事故发生至撤离期间 事故所处横断面实际通行能力与事故持续 时间的函数关系 5 1 3 结论 通过绘制折线统计图 函数拟合可以发现 随着事故持续时间的推移 事故路段 截面的实际通行能力整体呈下降趋势 但是因为路段上游存在交通信号灯 从拟合图中 可以看出实际通行能力上升 下降交替变化 最后趋于稳定 7 5 2 问题 2 的建模与求解 5 2 1 视频 2 事故横断面实际交通能力 观察视频 2 附件 2 采用处理视频 1 的方法得到视频 2 断面实际通行能力数据 见下表 4 表 4视频 2 断面实际通行能力数据 时间间隔 min 小型车 pcu 大型车 pcu 标准车当量流量 pcu min 119223 219223 320122 418324 519121 614320 718222 821123 924228 1015219 1117119 1220020 1312216 1414422 1518120 1621123 1721021 1818120 1918120 2018222 2119121 2217221 2318324 2417221 2512318 2617221 2716220 2818324 2921123 为了直观的体现事故所处横断面实际通行能力的变化过程 运用 excel 软件把表 4 数据制成折线统计图 3 8 图 3视频 2 事故横断面实际通行能力变化折线 5 2 2 交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异 仅从两个视屏事故横断面的实际交通能力数据看不出明显差异 于是本文两个视频 中断面通行能力拟合曲线作图进行对比程序见附录 1 如下图 4 图 4不同车道道路截面通行能力比较曲线 从图中不难发现 视频 2 事故横断面的实际通行能力明显强于视频 1 事故横断面的实际 通行能力 为探究视频 1 2 事故横断面实际通行能力的差异 与事故所占车道不同的深层关 系 本文采用统计分析软件 SPSS 对断面车流量进行分析 SPSS 的配对样本 t 检验 4 过 程是假设检验中的方法之一 跟所有的假设检验一样 其依据的基本原理是统计学中的 9 小概率反证法 原理 通过配对样本 t 检验 我们可以实现对成对数据的样本的均值 比较 分析结果如下 1 数据基本统计量表 从表 5 中可以读出如下信息 样本共 17 个 视频一中交通事故发生后横断面的 平均通行能力是 18 18 pcu h 标准差是 1 667 均值的标准误是 0 404 视频二中交通事故发生后横断面的平均通行能力是 21 53 pcu h 显著上升 标准差是 2 601 均值的标准误是 0 631 表 5数据基本统计量表 2 配对样本相关系数表 从表 6 并结合附件 3 可以看出交通事故所占车道的差异对通行能力影响的相关 系数很高而且显著性很高 表 6数据基本统计量表 3 配对样本 t 检验结果表 从表 7 可以发现 t 统计量的值是 5 050 95 的置信区间是 4 760 1 946 临界置信水平为 0 000 远小于 5 所以说明车道分流能力的不同对道路的通行 能力有显著影响 即 视频二中道路横断面通行能力明显比视频一中道路横断面 的通行能力强 表 7独立样本 t 检结果表 5 2 3 结论 视频二中道路横断面通行能力明显比视频一中道路横断面的通行能力强 主要原 因是车流在一车道右转比例 21 在三车道左转比例 35 三车道所占车流比一车道高 出 14 所以三车道被占后使横断面的通行能力下降更明显 5 3 问题 3 的建模与求解 5 3 1 车辆排队的原因 10 城市道路或叉口一旦发生交通事故 就会堵塞部分车道甚至完全阻断交通 此时 车辆速度降低甚至停车 产生的车辆排队向上游迅速延伸 使若干道路和叉口也产生严 重拥堵 事故发生后车辆排队现象的原因实质上是产生了交通波 5 3 2 影响排队长度相关数据的获取 观察视频 1 附件 1 我们可以发现视频中一共出现 6 次标注有 120 米的画面 除 去事故发生时出现 120 米的画面 将这 6 次的车辆排队长度与 120 米标注的长度作对 比 计算车辆排队长度 公式如下 NS L B 4 式中 L车辆排队长度 米 N标准车当量数 辆 S一辆标准车占道路的面积 可采用 19 5 米 B三条车道总宽 9 75 米 统计整理得到 6 次车辆排队长度 如下表 8 表 86 次车辆排队长度 排队次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次 车辆排队长度 米 605565105120120 观察视频 1 得到事故断面实际通行能力 事故持续时间及路段上游车流量的数据 如下 表 9 表 9视频 1 事故断面实际通行能力 事故持续时间及路段上游车流量的数据 排队次数断面实际通行能力 pcu h 事故持续时间 s 路段上游车流量 pcu h 第一次1286143600 第二次10643181302 第三次10954901403 第四次11025521520 第五次11026141618 第六次10977071655 探究视频 1 附件 1 中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通 行能力 事故持续时间 路段上游车流量间的关系 可以建立回归数学模型 在回归分 析中 如果有两个或两个以上的自变量 就称为多元回归 事实上 一种现象常常是与 多个因素相联系的 由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量 比只用一个自 变量进行预测或估计更有效 更符合实际 在实际问题中 一个变量往往受到多个变量 的影响 在线性回归模型中的解释变量有多个 这样的模型被称为多元线性回归模型 本文中设车辆排队长度为应变量 用表示 事故断面实际交通能力 事故持续时间 及路段上游车流量均为自变量 分别用 表示 所以多元线性回归的表达式为 01 12233 Yxxx 5 0 1 2 3 i i 其中 称为回归系数 5 3 3 多元线性回归计算模型 11 这是一个多元线性回归表达式 01 122kk Yxxx 6 多元线性回归模型的参数估计 同一元线性回归方程一样 也是在要求误差平方和 e 为最小的前提下 用最小二乘法或最大似然估计求解参数 设 11121112 pnnnpn xxxyxxxy 是一个样本 用最大似然估计法估计 参数 取01 pb bb 当 01 01 p p bb bbbb 时 2 011 1 n iipip i Qybb xb x 达到最小 011 1 0 011 1 2 0 2 0 n iipip i n iipipij i j Q ybb xb x b Q ybb xb xx b 7 1 2 jp 化简可得 01122 1111 2 01112121 11111 2 01122 11111 nnnn iipipi iiii nnnnn iiiipiipipi iiiii nnnnn ipipiipipipipi iiiii bbxbxbxy bxbxbx xbx xx y bxbx xbx xbxx y 8 引入矩阵 11121 21222 12 1 1 1 p p nnnp xxx xxx X xxx 9 12 1 2 n y y Y y 10 0 1 n b b B b 11 方程 10 可化简得 X XBX Y 12 可得最大似然估计值 0 1 1 p b b BX XX Y b 13 1201 1 ppp x xxbb xb x 的估计是 012 12 p p ybb xb xb x 14 公式 14 为P元经验线性回归方程 5 3 4 Matlab 多元线性回归的实现 运用 Matlab 对四组数据进行多元线性回归计算 程序如下 x1 1286 1064 1095 1102 1102 1097 x2 14 318 490 552 614 707 x3 3600 1302 1403 1520 1618 1655 y 60 55 65 105 120 120 X ones length y 1 x1 x2 x3 把行向量转秩为列向量 Y y 把行向量转秩为列向量 b bint r rint stats regress Y X b bint stats rcoplot r rint 13 Matlab 运行后 结果如下 b 284 8297 0 3394 0 1703 0 0583 bint 1 0e 003 3 03663 6062 0 00380 0031 0 00000 0004 0 00030 0004 stats 0 89235 52250 1571255 1516 因此我们可得 0b 284 8297 0b 的置信区间 3036 6 3606 2 1b 0 3394 1b 的置信区间 3 8 3 1 2b 0 1703 2b 的置信区间 0 0 4 3b 0 0583 3b 的置信区间 0 3 0 4 函数式 123 284 82970 33940 17030 0583Yxxx 15 得到残差图 如下图 5 14 图 5残差图 从残差图可以看出数据的残差离零点的远近 残差的置信区间均包含零点 这说明回归 模型能较好的符合原始数据 5 3 5 结论 针对影响路段车辆排队长度的三个因素建立多元线性回归数学模型 求解以车辆 排队长度为应变量 事故横断面实际通行能力 事故持续时间 路段上游车流量为自变 量的函数关系 得到关系式 123 284 82970 33940 17030 0583Yxxx 并总结出各 变量之间的关系 如下表 10 表 10 各自变量与车辆排队长度的相关性 各自变量与车辆排队长度的相关性 事故横断面实际通行能力 pcu h 负相关 事故持续时间 s 正相关 路段上游车流量 pcu h 正相关 5 4 问题 4 的求解 5 4 1 事故持续时间的确定 依据问题 假设视频 1 附件 1 中的交通事故所处横断面距离上游路口变为 140 米 路段下游方向需求不变 路段上游车流量为 1500pcu h 事故发生时车辆初始排队长 度为零 且事故持续不撤离 估算从事故发生开始 经过多长时间 车辆排队长度将到 达上游路口 我们可以得到以下信息 车辆排队长度 140 米 即Y 140 路段上游车流 量 1500pcu h 即 3 x 1500 因为路段下游方向需求不变 所以断面实际通行能力可知 通过对表 9 中断面实际通行能力求均值得 1124pcu h 即 1 x 1124 解以下方程组 15 123 1 3 284 82970 33940 17030 0583 140 1124 1500 Yxxx Y x x 16 解得 2 867 3x s 即约为 14 4 分钟 5 4 2 结论 显然 问题 4 是对问题 3 所得结论的实际应用 当事故持续时间长达 14 4 分钟时 车辆排队长度将到达上游路口 6 模型的评价与推广 6 1 模型的优点 1 本文的模型简单 其算法直观 浅显易懂 应用范围广 2 本文对题目要求解决的每一个问题都给出