数学建模-数理统计MATLAB程序设计 [兼容模式].pdf

MATLABMATLAB概率论概率论与与数理统计数理统计程序设计程序设计 胡胡 尧尧胡胡 尧尧 贵州大学理学院数学系贵州大学理学院数学系贵州大学理学院数学系贵州大学理学院数学系 EilEilih dE Emamailil sci yhu QQ 1600391567 2014 7 贵州师范学院2014 7 贵州师范学院 数理统计数理统计部分部分数理统计数理统计部分部分 一一统统 计计 作作 图图一一 统统 计计 作作 图图 二二 参参 数数 估估 计计二二 参参 数数 估估 计计 三 假 设 检 验三 假 设 检 验 四 方 差 分 析四 方 差 分 析 一一 统统 计计 作作 图图 统统 计计 作作 图图 1 正整数的频率表 命令正整数的频率表 函数tabulatetabulate X为正整数构成的向量 返 回3列 第1列中包含X的值 第 列为这些值的个数 第 函数tabulatetabulate 格式table tabulate X 第2列为这些值的个数 第3 列为这些值的频率 Value Count Percent 1 1 14 29 Value Count Percent 1 1 14 29 2228 57 2228 57 例例 运运 clear all close all A 1 2 2 5 6 3 8 tabulate A 2 2 2 2 2828 57 57 3 1 14 29 4 0 0 00 3 1 14 29 4 0 0 00 运运 行行 结结tabulate A 5 1 14 29 6 1 14 29 5 1 14 29 6 1 14 29 结结 果果 7 0 0 00 8 1 14 29 7 0 0 00 8 1 14 29 10 8 9 10 5 6 7 2 3 4 4006008001000120014001600 0 1 2 clear all close all X 909 1086 1120 999 1320 1091 1071 1081 1130 1136 967 1572 825 914 992 1232 950 775 1203 1025 1096 808 12241572 825 914 992 1232 950 775 1203 1025 1096 808 1224 1044 871 1164 971 950 866 738 tabulate X 频率表 hi tfit X 直方图拟合直方图拟合histfit X 直方图拟合直方图拟合 hist X 直方图直方图 ecdfhist 频率直方图频率直方图 2 经验累积分布函数图形验累积分布函数图形 函数cdfplotcdfplot 格式cdfplot X 作样本X 向量 的累积分布函数图形格式cdfplot X 作样本X 向量 的累积分布函数图形 h cdfplot X h表示曲线的环柄 h stats cdfplot X stats表示样本的一些特征 例例 clear all close all X normrnd 0 1 50 1 1 Empirical CDF X normrnd 0 1 50 1 h stats cdfplot X h 172 0016h 172 0016 0 7 0 8 0 9 1 运运 行行 h h 172172 00160016 stats min 2 1707 stats min 2 1707 0 4 0 5 0 6 0 F x 行行 结 果 结 果 max 2 1832 mean 0 0393 max 2 1832 mean 0 0393 di0 1196di0 1196 0 1 0 2 0 3 memedidian an 0 0 11961196 std 0 9760std 0 9760 2 5 2 1 5 1 0 500 511 522 5 0 x 3 最小二乘拟合直线 函数lslinelsline 格式lsline 最小二乘拟合直线 为直线的句柄h lsline h为直线的句柄 例例 clear all close all clear all close all X 2 3 4 5 6 8 11 12 3 13 8 16 18 8 19 9 X 2 3 4 5 6 8 11 12 3 13 8 16 18 8 19 9 X X 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 8 8 1111 1212 3 3 1313 8 8 1616 1818 8 8 1919 9 9 plot X plot X lslinelsline 20 lslinelsline 14 16 18 运 行 运 行 结结 8 10 12 结结 果果 4 6 8 12345678910 2 4 绘制正态分布概率图形 函数normplotnormplot 格式normplot X 若X为向量 则显示正态分布概率图形 若X 为矩阵 则显示每列的正态分布概率图形为矩阵 则显示每一列的正态分布概率图形 h normplot X 返回绘图直线的句柄 说明说明 样本数据在图中用 显示 如果数据来自正态分布 则说明说明 样本数据在图中用 显示 如果数据来自正态分布 则 图形显示为直线 而其它分布可能在图中产生弯曲 Normal Probability Plot 运运 例例 clear all close all 0 90 0 95 0 98 0 99 Normal Probability Plot 运运 行行 结结 X normrnd 0 1 50 1 normplot X 0 50 0 75 0 90 obability 结结 果果 0 05 0 10 0 25 Pro 1 5 1 0 500 511 5 0 01 0 02 Data 5 绘制Weibull概率图形 函数eibploteibplot函数w weibploteibplot 格式weibplot X 若X为向量 则显示威布尔 Weibull 概率 图形 若X为矩阵 则显示每一列的威布尔概率图形 图形 若X为矩阵 则显示每列的威布尔概率图形 h weibplot X 返回绘图直线的柄 说明说明 绘制Weibull概率图形的目的是用图解法估计来自威布尔说明说明 绘制Weibull概率图形的目的是用图解法估计来自威布尔 分布的数据X 如果X是威布尔分布数据 其图形是直线的 否则图 形中可能产生弯曲 Weibull Probability Plot 例例 clear all close all 0 50 0 75 0 90 0 96 0 99 运运 r weibrnd 1 2 1 5 50 1 weibplot r 0 10 0 25 0 50 robability 运运 行行 结结 0 02 0 05 0 10 P 结结 果果 10 1 10 0 0 01 Data 6 样本数据的盒图 函数函数 boxplot 格式 boxplot X 产生矩阵X的每一列的盒图和 须 图 须 是从盒的尾部延伸出来 并表示盒外数据长度的线 如果是从盒的尾部延伸出来 并表示盒外数据长度的线 如果 须 的外面没有数据 则在 须 的底部有一个点 boxplot X notch 当notch 1时 产生一凹盒图 notch 0时产p 产凹 产 生一矩箱图 boxplot X notch sym sym表示图形符号 默认值为 bl h 当时 生成水平盒图boxplot X notch sym vert 当vert 0时 生成水平盒图 vert 1时 生成竖直盒图 默认值vert 1 boxplot X notch sym vert whis whis定义 须 图的长度boxplot X notch sym vert whis whis定义须图的长度 默认值为1 5 若whis 0则boxplot函数通过绘制sym符号图来 显示盒外的所有数据值 例例 clear all close all X1 normrnd 5 1 100 1 X2 normrnd 6 1 100 1 X x1 x2 boxplot x 1 g 1 0 运运 boxplot x 1 g 1 0 运运 行行 结结 7 8 结结 果果 6 ues 5 Valu 3 4 12 3 Column Number 7 给当前图形加一条参考线 函数 refline 格式 refline slope intercept 表示直线斜率表示截距 slope表示直线斜率 intercept表示截距 refline slope slope a b 图中加一条直线 y b ax 例例 clear all close all y 3 2 2 6 3 1 3 4 2 4 2 9 3 0 3 3 3 2 2 1 2 6 plot y 运行结果运行结果 plot y refline 0 3 3 5 运行结果运行结果 3 2 5 1234567891011 2 8 在当前图形中加入一条多项式曲线 函数 refcurve 格式 h refcurve p 在图中加入一条多项式曲线 h为曲线的 环柄 为多项式系数向量其中为环柄 p为多项式系数向量 p p1 p2 p3 pn 其中p1为 最高幂项系数 例火箭的高度与时间图形 加入条理论高度曲例火箭的高度与时间图形 加入一条理论高度曲 线 火箭初速为100m 秒 llllll 500 clear all close all H 85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400 356 350 400 450 plot H refcurve 4 9 100 0 200 250 300 运运 行行 100 150 行行 结 果 结 果 02468101214 0 50 9 样本的概率图形 函数 capaplot 格式 p capaplot data specs data为所给样本数据 specs指定 范围表示在指定范围内的概率范围 p表示在指定范围内的概率 说明说明 返回来自于估计分布的随机变量落在指定范围内的概率 P b bilit B tLi it0 95267 例例 clear all close all data normrnd 0 1 30 1 0 35 0 4 Probability Between Limits 0 95267 data normrnd 0 1 30 1 p capaplot data 2 2 0 25 0 3 运行结果运行结果 p 0 15 0 2 p 0 9527 0 05 0 1 3 2 10123 0 10 附加有正态密度曲线的直方图 函数 histfit 格式 histfit data data为向量 返回直方图和正态曲线 hi tfit d tbi bi指定b 的个数 缺省时为d t 中数据histfit data nbins nbins指定bar的个数 缺省时为data中数据 个数的平方根 例例 20 例例 clear all close all R normrnd 10 1 100 1 16 18 20 histfit R 12 14 运运 行行 8 10行行 结结 果果 2 4 6果果 7891011121314 0 2 11 在指定的界线之间画正态密度曲线 函数 normspec 格式 p normspec specs mu sigma specs指定界线 mu sigma为正 态分布的参数 为样本落在上下界之间的概率态分布的参数p 为样本落在上 下界之间的概率 例例 clear all close all 例例 clear all close all normspec 10 Inf 11 5 1 25 0 35 Probability Greater than Lower Bound is 0 88493 运行结果运行结果 0 25 0 3 0 35 ans 0 8849 0 15 0 2 0 25 Density 0 05 0 1 0 15 78910111213141516 0 0 05 Critical Value 12 画正态检验的正态概率图 normplotnormplot 0 95 Normal Probability Plot 0 90 0 95 0 75 y 0 50 Probability 0 25 0 05 0 10 102030405060708090 Data 13 画Weibull检验的概率图 weibplotplot Weibull Probability Plot 0 90 0 96 y 0 75 0 50 ability 0 25 Proba 0 10 10 1 1 10 1 3 10 1 5 10 1 7 10 1 9 0 05 1010101010 Data 二 参 数 估 计二 参 数 估 计 常用分布的参数估计函数 函数名 调 用 形 式 函 数 说 明 binofit PHAT binofit X N PHAT PCI binofit X N Binomial 分布的概率的 MLE 置信度为 95 的参数估计和置信区间 常用分布的参数估计函数 PHAT PCI binofit X N ALPHA 返回水平 的参数估计和置信区间 poissfit Lambdahat poissfit X Lambdahat Lambdaci poissfit X Lambdahat Lambdaci poissfit X ALPHA Poisson 分布的参数的最大似然估计 置信度为 95 的参数估计和置信区间 返回水平 的 参数和置信区间 Lambdahat Lambdaci poissfit X ALPHA 返回水平 的 参数和置信区间 normfit muhat sigmahat muci sigmaci normfit X muhat sigmahat muci sigmaci normfit X ALPHA Normal 分布的 MLE 置信度为 95 返回 水平 的期望 方差值和置信区间 betafit PHAT betafit X 返回 Beta 分布参数 a 和 b 的 MLE betafit PHAT PCI betafit X ALPHA 返回最大似然估计值和水平 的置信区间 unifit ahat bhat unifit X ahat bhat ACI BCI unifit X ahat bhat ACI BCI unifit X ALPHA Uniform 分布参数的 MLE 置信度为 95 的参数估计和置信区间 返回水平 的参数估计和置信区间 说说明明 各函数返回已各函数返回已给给数据向量数据向量X的参数的参数MLE和置信度和置信度为为 ahat bhat ACI BCI unifit X ALPHA 返回水平 的参数估计和置信区间 expfit muhat expfit X muhat muci expfit X muhat muci expfit X alpha Exponential 分布参数的 MLE 置信度为 95 的参数估计和置信区间 返回水平 的参数估计和置信区间 说说明明 各函数返回已各函数返回已给给数据向量数据向量X的参数的参数MLE和置信度和置信度为为 1 100 的置信区间的置信区间 的默认值为的默认值为0 05 即置信度为即置信度为95 gamfit phat gamfit X phat pci gamfit X phat pci gamfit X alpha Gamma 分布参数的 MLE 置信度为 95 的参数估计和置信区间 返回 MLE 值和水平 的置信区间 phat weibfit X Weibull 分布参数的 MLE weibfit phat weibfit X phat pci weibfit X phat pci weibfit X alpha Weibull 分布参数的 MLE 置信度为 95 的参数估计和置信区间 返回水平 的参数估计及其区间估计 phat mle dist data 分布函数名为 dist 的 MLE 置信度为的参数估计和置信区间 Mle phat pci mle dist data phat pci mle dist data alpha phat pci mle dist data alpha p1 置信度为 95 的参数估计和置信区间 返回水平 的 MLE 值和置信区间 仅用于 Binomial 分布 pl 为试验总次数 1 1 常见分布的参数估计常见分布的参数估计 命令命令BetaBeta分布的参数分布的参数a a和和b b的的MLEMLE值值和置信区和置信区间间命令命令BetaBeta分布的参数分布的参数a a和和b b的的MLEMLE值值和置信区和置信区间间 函数betafit 格式 函数betafit 格式PHAT betafit X PHAT betafit X PHAT PCI betafit X ALPHA PHAT PCI betafit X ALPHA 说明说明PHAT为样本X的 分布的参数a和b的估计量PCI为样本X 的 分布参数a和b的置信区间 是一个2 2矩阵 其第1例为的 分布参数a和b的置信区间 是个2 2矩阵 其第1例为 参数a的置信下界和上界 第2例为b的置信下界和上界 ALPHA 为显著水平 1 100 为置信度 例例 随机产生100个 分布数据 相应的分布参数真值为 5和2 则5和2的MLE值和置信度为99 的置信区间为5和2 则5和2的MLE值和置信度为99 的置信区间为 clear all close all X betarnd 5 2 100 1 产生产生100个个 分布的随机数分布的随机数 PHAT PCI betafit X 0 01 求置信度为求置信度为99 的置信区间的置信区间 和参数和参数b的估计值的估计值结结果果显显示示和参数和参数a b的估计值的估计值结结果果显显示示 PHAT 4 28231 82604 2823 1 8260 PCI 2 7774 1 2283 5 7871 2 4238 说明说明估计值的置信区间是 估计值说明说明估计值4 2823的置信区间是 2 77745 7871 估计值 1 8260的置信区间是 1 22832 4238 命令Normal分布的参数估计命令Normal分布的参数估计 函数函数normfitnormfit函数函数normfitnormfit 格式 muhat sigmahat muci sigmaci 格式 muhat sigmahat muci sigmaci normfit X normfit X muhat sigmahat muci sigmaci muhat sigmahat muci sigmaci normfit X alpha normfit X alpha 说明说明 muhat sigmahat 分别为 Normal 分布的参数 和 的估计值 muci sigmaci 分别为置信区间 其置信度为 100 1 alpha 给出显著水平 缺省时默认为 0 05 即置信度为 95 例例有两组 每组100个元素 正态随机数据 其均值为78 均方差为例例有两组 每组100个元素 正态随机数据 其均值为78 均方差为 9 求95 的置信区间和参数估计值 R normrnd 78 9 100 2 产产生两列生两列正正态态随机数据随机数据od 8 9 00 产产生两列生两列态态随机数据随机数据 mu sigma muci sigmaci normfit R mu 76 3355 77 9517 各列的均值的估计值 Sigma 8 7397 8 8862 muci 74 6013 76 1884 78 0696 79 7149 各列的均方差的估计值 说明说明muci sigmaci中各列分别为 Sigmaci 7 6735 7 8022 10 1527 10 3229 原随机数据各列估计值的置信区间 置 信度为95 例例 分别使用金球和铂球测定引力常数例例分别使用球和铂球测定引力常数 1 用金球测定观察值为 6 683 6 681 6 676 6 678 6 679 6 672 2 用铂球测定观察值为 6 661 6 661 6 667 6 667 6 664 设测定值总体为 2 和为未知 对 两种情况分别求和设测定值总体为 N 2 和 为未知 对 1 2 两种情况分别求 和 的置信度为 0 9 的置信区间 clear all close all X 6 683 6 681 6 676 6 678 6 679 6 672 Y 6 661 6 661 6 667 6 667 6 664 mu sigma muci sigmaci normfit X 0 1 金球测定的估计金球测定的估计 MU SIGMA MUCI SIGMACI normfit Y 0 1 铂球测定的估计铂球测定的估计 6 6782mu 6 6782 sigma 0 0039 muci 6 6750 6 6813 sigmaci 0 0026 0 0081 MU 6 6640 SIGMA 0 0030 MUCI 6 6611 6 6669 SIGMACI 0 0019 0 0071 命令 利用 mle 函数进行参数估计 命令 利用 mle 函数进行参数估计 函数函数mlemle函数函数 mlemle 格式 phat mle格式 phat mle X tdis 返回用 dist 指定分布的最大似然估计值 p phathat p pci mleci mle X tdis 置信度为 95 p p p p 信度为 phat pci mle phat pci mle alpha X tdis 置信度由 alpha 确定 phat pci mle phat pci mle pl alpha X tdis Binomial 分布 pl 为试验次数 说明 说明 dist 为分布函数名 如 beta 分布 bino 二项分布 等X 为数据样本l h 为显著水平 100 1 为置信度等 X 为数据样本 alpha 为显著水平 100 1 为置信度 clear all close all 例例 c eaa c ose a X binornd 20 0 75 产生二项分布的随机数产生二项分布的随机数 p pci mle bino X 0 05 20 求概率的估求概率的估计值计值和置信区和置信区间间置信度置信度为为95 求概率的估求概率的估计值计值和置信区和置信区间间 置信度置信度为为95 X 17 0 8500 运行结果运行结果 p 0 8500 pci 0 6211 0 9679 2 非线性模型置信区间预测 命令 Gauss Newton 法的非线性最小二乘数据拟合 函数 nlinfit 命令 Gauss Newton 法的非线性最小二乘数据拟合 函数 nlinfit 格式 beta nlinfit X y FUN beta0 格式 beta nlinfit X y FUN beta0 返回在 FUN 中描述的非线性函 数的系数 FUN 为用户提供形如 X fy 的函数 该函数 返回已给初始参数估计值 和自变量 X 的的预测值 返回已给初始参数估计值 和自变量 X 的 y 的预测值y beta r J nlinfit X y FUN beta0 beta r J nlinfit X y FUN beta0 beta 为拟合系数 r 为残 差 J 为 Jacobi 矩阵 beta0 为初始预测值 差 J 为 Jacobi 矩阵 beta0 为初始预测值 说明说明若X为矩阵 则X的每一列为自变量的取值 y是一个相应的 列向量 如果FUN中使用了 则表示函数的柄列向量 如果FUN中使用了 则表示函数的柄 例例 调用MATLAB提供的数据文件reaction mat load reaction betafit nlinfit reactants rate hougen beta betafit 1 2526 0 0628 0 0400 0 1124 1 1914betafit 1 2526 0 0628 0 0400 0 1124 1 1914 命令非线性模型的参数估计的置信区间命令非线性模型的参数估计的置信区间 函数函数nlparcinlparci函数函数nlparcinlparci 格式ci nlparci beta r J 格式ci nlparci beta r J 返回置信度为95 的置信区 间 beta为非线性最小二乘法估计的参数值 r为残差 J为 Jacobian矩阵 nlparci可以用nlinfit函数的输出作为其输入 例例调用MATLAB中的数据reaction 例例调用中的数据 clear all close all load reaction beta resids J nlinfit reactants rate hougen beta ci nlparci beta resids J beta 1 2526 0 0628 0 0400 0 1124 1 1914beta 5 6 0 06 8 0 0 00 0 9 resids 0 1321 0 1642 0 0909 0 0310 0 1142 0 0498 0 0262 0 3115 0 0292 0 1096 0 0716 0 1501 0 3026 J 6 8739 90 6525 57 8634 1 9288 0 1614 2 1141J 6 8739 90 6525 57 8634 1 9288 0 1614 2 1141 ci 0 7467 3 2519 0 0377 0 1632 0 03120 1113 0 0312 0 1113 0 0609 0 2857 0 7381 3 1208 命令非线性拟合和显示交互图形命令非线性拟合和显示交互图形 数数函函数数nlintool 格式nlintool x y FUN beta0 nlintool 格式nlintool x y FUN beta0 返回数据 x y 的非线性曲线 的预测图形 它用2条红色曲线预测全局置信区间的预测图形 它用2条红色曲线预测全局置信区间 beta0为参数的初始预测值 置信度为95 nlintool x nlintool x y y FUN beta0 al FUN beta0 alp pha ha 置信度为 1 alpha 100 ypyp信度p load reaction nlintool reactants rate hougen beta g 7 8 9 4 5 6 7 100150200250300350400450 1 2 3 10015020025030020406080100120 命令命令非非线线性模型置信区性模型置信区间预测间预测命令命令非非线线性模型置信区性模型置信区间预测间预测 函数nlpredci 格式ypred nlpredci FUN inputs beta r J 函数nlpredci 格式ypred nlpredci FUN inputs beta r J ypred 为预 测值与前面相同为给出的适当参数为残差为矩阵测值 FUN与前面相同 beta为给出的适当参数 r为残差 J为Jacobian矩阵 inputs 为非线性函数中的独立变量的矩阵值 yp ypredred deltadelta nl nlp predciredci FUNFUN ininp putsuts betabeta r r J J delta为非线性 yp p p yp p p 为非线性 最小二乘法估计的置信区间长度的一半 当r长度超过beta的长度并且J的列满秩 时 置信区间的计算是有效的 ypred delta ypred delta 为置信度为95 的不同 步置信区间步置信区间 ypred nlpredci FUN inputs beta r J alpha simopt predo pt ypred nlpredci FUN inputs beta r J alpha simopt predo pt 控制置信区间的类型 置信度为100 1 alpha simopt on 或 off 默认值 分别表示同步或不同步置信区间 predopt curve 默认值 表示输 入函数值的置信区间 predopt observation 表示新响应值的置信区间 nlpredci可以用nlinfit函数的输出作为其输入 p出作 例例续前例 在 100 300 80 处的预测函数值ypred 和置信区间半宽度和置信区间一半宽度delta ldtiload reaction beta resids J nlinfit reactants rate hougen beta ypred delta nlpredci hougen 100 300 80 beta resids J ypred ypred 10 9113 delta 10 9113 delta 0 31950 31950 0 31953195 命令 有非负限制的最小二乘 命令 有非负限制的最小二乘 函数函数函数函数 lsqnonneg 格式 x lsqnonneg C d lsqnonneg 格式 x lsqnonneg C d 返回在 x 0 的条件下使得 dxC 最小的 向量 x 其中 C 和 d 必须为实矩阵或向量向量 x 其中 C 和 d 必须为实矩阵或向量 x lsqnonneg C d x0 x lsqnonneg C d x0 x0 为初始点 x0 0 x lsqnonneg C d x0 options x lsqnonneg C d x0 options options 为指定的优化参数 参见 options 函数 x resnorm lsqnonneg x resnorm lsqnonneg resnorm 表示 norm C x d 2 的残差 x resnorm residual x resnorm residual lsqnonneg lsqnonneg residual 表示 C x d 的残差 x x resnormresnorm residual residual lsqnonneg lsqnonneg residual 表示 C x d 的残差 clear all close all 0 0372 0 2869 0 6861 0 7071 0 6233 0 6245 0 6344 0 6170 A 0 0372 0 2869 0 6861 0 7071 0 6233 0 6245 0 6344 0 6170 b 0 8587 0 1781 0 0747 0 8405 x resnorm residual lsqnonneg A b x 0 0 6929 resnorm 0 8315resnorm 0 8315 residual 0 6599 0 3119 0 3580 0 4130 3 3 对数似然函数 命令负Beta分布的对数似然函数 函数Betalike 命令负Beta分布的对数似然函数 函数Betalike 格式logL betalike params data 格式logL betalike params data 返回负Beta分布的对数 似然函数 params为向量 a b 是Beta分布的参数 data为样本数据 lL i f blik d lL i f blik d 返回Fi h逆信息矩阵 l logogL L i in nf fo o b betaetaliklike e params params d dataata 返回Fisher逆信息矩阵 info 如果params 中输入的参数是极大似然估计值 那么info的对角 元素为相应参数的渐近方差元素为相应参数的渐近方差 说明说明 betalike是Beta分布最大似然估计的实用函数 似然函数假设数 据样本中 所有的元素相互独立 因为b t lik 返回负B t 对数似然函据样本中 所有的元素相互独立 因为betalike返回负Beta对数似然函 数 用fmins函数最小化betalike与最大似然估计的功能是相同的 例例 本例所取的数据是随机产生的Beta分布数据 r betarnd 3 3 100 1 logLlogL 4 23934 2393r betarnd 3 3 100 1 logL info betalike 2 1234 3 4567 r logLlogL 4 23934 2393 info 0 1319 0 1111 0 1111 0 1239 info 0 1319 0 1111 0 1111 0 1239 命令负Gamma分布的对数似然估计命令负Gamma分布的对数似然估计 数数函函数数Gamlike 格式logL gamlike params data Gamlike 格式logL gamlike params data 返回由给定样本数据data 确定的Gamma分布的参数为params 即 ab 的负对数似然函数值确定的Gamma分布的参数为params 即 a b 的负对数似然函数值 logL info gamlike params data logL info gamlike params data 返回Fisher逆信息 矩阵info 如果params中输入的参数是极大似然估计值 那么info的对矩阵如果p中输数极大似然估计值 那对 角元素为相应参数的渐近方差 说明说明 gamlike是Gamma分布的最大似然估计函数 因为gamlike返回 Gamma对数似然函数值 故用fmins函数将gamlike最小化后 其结果Gaa对数似然函数值 故用s函数将gae最小化后 其结果 与最大似然估计是相同的 例例 r gamrnd 2 3 100 1 logL info gamlike 2 4212 2 5320 r logL 266 1787 info 0 0942 0 0962o0 090 096 0 0962 0 1242 命令命令负负正正态态分布的分布的对对数似然函数数似然函数命令命令负负正正态态分布的分布的对对数似然函数数似然函数 函数normlike函数normlike 格式格式logLlogL normlike params data normlike params data 返回由给定样本数据格式格式logL normlike paramslogL normlike params data data 返回由给定样本数据 data确定的 负正态分布的 参数为params 即 mu sigma 的对数似然函数值 logL info normlike params data logL info normlike params data 返回Fisher逆信 息矩阵info 如果params中输入的参数是极大似 然估计值那么info的对角元素为相应参数的渐然估计值 那么info的对角元素为相应参数的渐 近方差 命令Weibull分布的对数似然函数 函数Weiblike 命令Weibull分布的对数似然函数 函数Weiblike 格式格式lLiblik d t lLiblik d t 返回由给定样本数据d t格式格式l logogL L we weiblikiblike e params params d da at ta a 返回由给定样本数据data 确定的 Weibull分布的 参数为params 即 a b 的对数似然函数值 a b 的对数似然函数值 logL info weiblike params data logL info weiblike params data 返回Fisher逆信 息矩阵info 如果params中输入参数是MLE 则info的对角元素为相应参数的渐近方差 说明说明W ib ll分布的负对数似然函数定义为说明说明Weibull分布的负对数似然函数定义为 nn ii ii xbafxbafL 11 log loglog 例例 clear all close all ibd 00 98 100 1 r weibrnd 0 4 0 98 100 1 logL info weiblike 0 1342 0 9876 r logL logL logLlogL 241 1717 info 241 1717 info 0 0007 0 0018 0 0018 0 0096 0 0007 0 0018 0 0018 0 0096 三 假 设 检 验三 假 设 检 验 1 2 已知 单个正态总体的均值 的假设检验 U 检验法 函数函数ztestztest函数函数 格式h ztest x m sigma 格式h ztest x m sigma x为正态总体的样本 m为均值 0 sigma为标准差 显著性水平为0 05 默认值 H il h H il h 显著性水平为 l hH H ztest ztest x m sx m si igma agma al lp ph ha a 显著性水平为alpha h sig ci zval ztest x m sigma alpha tail h sig ci zval ztest x m sigma alpha tail sig 为为 观察值的概率 当sig为小概率时则对原假设提出质疑 ci 为真正均值 的1 alpha置信区间 zval为统计量的值 说明说明 若 h 0 表示在显著性水平 alpha 下 不能拒绝原假设 若 h 1 表示在显著性水平 alpha 下 可以拒绝原假设 原假设 说明说明 原假设 m H 00 若 tail 0 表示备择假设 m H 01 默认 双边检验 t il 1 表示备择假设H 单边检验 tail 1 表示备择假设 m H 01 单边检验 tail 1 表示备择假设 m H 01 单边检验 例例某车间用一台包装机包装葡萄糖 包得的袋装糖重是一个随 机变量它服从正态分布当机器正常时其均值为0 5公斤标机变量 它服从正态分布 当机器正常时 其均值为0 5公斤 标 准差为0 015 某日开工后检验包装机是否正常 随机地抽取所包 装的糖9袋 称得净重为 公斤 0 497 0 506 0 518 0 524 0 498 0 511 0 52 0 515 0 512 问机器是否正常 解 解 总体 和 已知 该问题是当 2 为已知时 在水平05 0 下 根据样本值判断 0 5 还是5 0 为此提出假设 原 假 设 5 0 H 00 备择假设 5 0 H1 X 0 497 0 506 0 518 0 524 0 498 0 511 0 52 0 515 0 512 h sig ci zval ztest X 0 5 0 015 0 05 0 运 行 运 行 结结 h 1 h 1 说明在水平h 1 说明在水平05 0 下 拒绝原假设下 拒绝原假设 认为包装机工作不正常 sig 0 0248 样本观察值的概率 ci 0 5014 0 5210 置信区间均值 0 5 在此区间之外 结结 果果 ci 0 5014 0 5210 置信区间 均值 0 5 在此区间之外 zval 2 2444 统计量的值 h p ci zval ztest X mu sigma alpha tail dim p g p X 8 05 8 15 8 2 8 1 8 25 h p ci zval ztest X 8 0 2 0 05 h 0 p 0 0935 ci 7 97478 3253ci 7 9747 8 3253 zval 1 6771 注注 注注 p为观察值的概率 i为置信区间 zval统计量值 若h 0 表示在显著性水平alpha下 不能否定原假设 若表示在显著性水平下 否定原假设若h 1 表示在显著性水平alpha下 否定原假设 若tail 0 表示双边假设检验 若tail 1 表示单边假设检验 mu mu0 若tail 1 表示单边假设检验 mu mu0 若tail 0 表示单边假设检验 mu mu0 dim表示根据指定的维数进行检验 h p ci zval ztest X mu sigma alpha X normrnd mu sigma N M 随机产生均值为随机产生均值为mu 标准差标准差 X normrnd mu sigma N M 随机产生均值为随机产生均值为mu 标准差标准差 为为sigma的的M行行N例随机数例随机数 X normrnd 100 5 100 1 mu mean X sigmal 5 g h p ci zval ztest X 100 5 0 05 mu 99 8810 h 0 p 0 8119 i98 9011100 86100 23 9ci 98 9011 100 8610 zval 0 2379 X 14 7 15 1 14 8 15 0 15 2 14 6 X 14 7 15 1 14 8 15 0 15 2 14 6 h p ci zval ztest X 15 0 05 0 05 h 1 p 9 6336e 007 ci 14 8600 14 9400 zval 4 8990 运行结果 运行结果 h 1 拒绝原假设 认为 l h0 05 条件下 不认为产品平均值仍为15h 1 拒绝原假设 认为alpha 0 05 条件下 不认为产品平均值仍为15 p值 9 6336e 0070 05 表明 接受原假设 均值的置信区间为 99 7941 100 4139 统计量为0 6578 2 2 2 未知 单个正态总体的均值 的假设检验 t 检验法 未知 单个正态总体的均值 的假设检验 t 检验法 函数函数函数函数ttest 格式h ttest x m ttest 格式h ttest x m x为正态总体的样本 m为均值 0 显著性 水平为0 05水平为0 05 H ttest x m alpha H ttest x m alpha alpha为给定显著性水平 h sig ci ttest x m alpha tail h sig ci ttest x m alpha tail sig为观察值的 概 率 当sig为小概率时则对原假设提出质疑 ci为真正均值 的1l h 置信区间 的1 alpha置信区间 说明说明若 h 0 表示在显著性水平 alpha 下 不能拒绝原假设 若 h 1 表示在显著性水平 alpha 下 可以拒绝原假设 原假设 m H 00 若 tail 0 表示备择假设 m H 01 默认 双边检验 tail 1 表示备择假设 m H 01 单边检验 tail 1 表示备择假设 m H 01 单边检验 例 例 某种电子元件的寿命 X 以小时计 有 2 XN 2 均未知 现测得 16 只元件的寿命如下现测得 16 只元件的寿命如下 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149