高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质课件 理（选修41）.ppt

选考部分选修系列4 理解相似三角形的定义与性质 了解平行截割定理 证明直角三角形射影定理 请注意此部分多和圆的有关知识 结合考查 平行线 一条 平分 平分 1 平行线等分线段定理如果一组 在 直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 第三边 推论2 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线 另一腰 2 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线 所得的 线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成 3 相似三角形的判定判定定理1 两角对应 两三角形相似 判定定理2 两边对应 且夹角 两三角形相似 判定定理3 三边对应 两三角形相似 对应 比例 相等 成比例 相等 成比例 4 直角三角形相似的判定定理1 如果两个直角三角形有一个 角对应相等 那么它们相似 定理2 如果两个直角三角形的两条 边对应 那么它们相似 定理3 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的 和一条 对应成比例 那么这两个直角三角形相似 锐 直角 成比例 斜边 直角边 5 相似三角形的性质定理 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于 比 2 相似三角形周长的比等于 比 3 相似三角形面积的比等于相似比的 4 相似三角形外接圆的直径比 周长比等于 比 外接圆的面积比等于相似比的 相似 相似 平方 相似 平方 6 直角三角形的射影定理和逆定理 1 定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例 两直角边分别是它们在斜边上 与 的比例中项 2 逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的 那么这个三角形是直角三角形 中项 射影 斜边 比例中项 答案b 答案9 4 在rt abc中 c 90 cd ab于d 已知ac 4 ad 2 则bd的长是 答案6 题型一平行线分线成比例 答案 1 略 2 1 探究1利用平行线分线段成比例定理来计算或证明 首先要观察平行线组 再确定所截直线 进而确定比例线段及比例式 同时注意合比性质 等比性质的运用 如图 ad是 abc的中线 e是ca边的三等分点 be交ad于点f 则af fd为 a 2 1b 3 1c 4 1d 5 1 思考题1 答案 c 例2 1 如图所示 在 abc中 ad为bc边上的中线 f为ab上任意一点 cf交ad于点e 求证 ae bf 2de af 题型二相似三角形的判定应用 答案 略 探究2 1 证明相似三角形一般的思路 先找两对内角对应相等 若只有一个角对应相等 再判定这个角的两邻边是否对应成比例 若无角对应相等 应要证明三边对应成比例 2 作平行线的方法 利用中点作出中位线可得平行关系 利用已知线段的比例 作线段的平行线 注意 解决平面几何问题时 当条件较分散时 可适当添作辅助线 使得分散的条件适当集中 3 相似三角形性质的作用 可用来证明线段成比例 角相等 可间接证明线段相等 为计算线段长度及角的大小创造条件 可计算周长 特征线段长等 1 如右图 已知正方形abcd的边长为4 p为ab上的点 且ap pb 1 3 pq pc 则pq的长为 思考题2 答案 b 2 如图 在梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd e f分别是ab bc的中点 ef与bd相交于点m 若db 9 则bm 答案 3 题型三直角三角形射影定理的应用 方法二 设ab bc 4a 由题意 ae a oa ob 2a ed 3a oe2 a2 2a 2 5a2 oc2 ob2 bc2 2a 2 4a 2 20a2 ec2 ed2 cd2 3a 2 4a 2 25a2 oe2 oc2 ec2 eoc是直角三角形 又 ok ec ok2 ke kc 答案 略 2 如图 在rt abc中 bac 90 ad bc于d df ac于f de ab于e 求证 ad3 bc be cf 证明 在rt abc中 因为ad bc 所以ad2 bd dc 且ad bc ab ac 在rt abd和rt adc中 因为de ab df ac 由射影定理 得bd2 be ba dc2 cf ac 所以bd2 dc2 be ba cf ac be cf ad bc ad4 所以ad3 bc be cf 答案 略 探究3 1 应用射影定理有两个条件 一是直角三角形 二是斜边上的高 2 应用射影定理可求直角三角形的边长 面积等有关量 3 利用直角三角形的射影定理可证明有关命题 如图 ac为 o的直径 bd ac于p pc 2 pa 8 则cd的长为 cos acb 思考题3 1 相似三角形的判定定理的选择 1 已知有一角相等时 可选择判定定理1 2 2 已知有两边对应成比例时 可选择判定定理2 3 3 判定直角三角形相似时 首先看是否可以用判定直三角形的方法来判定 如不能再考虑用判定一