高考数学 第三章 第四节 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用课件 理 新人教A版.ppt

第四节函数y asin x 的图象及三角函数模型的简单应用 1 用 五点法 作函数y asin x a 0 0 的图象的一般步骤 1 定点 如表 0 a 0 2 作图 在坐标系中描出这五个关键点 用平滑的曲线顺次连接这些点 就得到y asin x 在一个周期内的图象 3 扩展 将所得图象 按周期向两侧扩展可得y asin x 在r上的图象 2 由函数y sinx的图象变换得到y asin x a 0 0 的图象的步骤 0 0 缩短 伸长 sin x a 3 函数y asin x a 0 0 x 0 的物理意义 1 振幅为a 2 周期t 3 频率f 4 相位是 5 初相是 x 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 作函数y sin x 在一个周期内的图象时 确定的五点是 0 0 1 0 1 2 0 这五个点 2 利用图象变换作图时 先平移 后伸缩 与 先伸缩 后平移 中平移的长度一致 3 将y 3sin2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y 3sin 2x 4 y sin x 的图象是由y sin x 的图象向右移个单位得到的 5 由图象求解析式时 振幅a的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的 解析 1 错误 五点应为 0 1 0 1 0 2 错误 先平移 后伸缩 的平移单位长度为 而 先伸缩 后平移 的平移单位长度为 故当 1时平移的长度不相等 3 错误 左移个单位后解析式应为y 3sin2 x 3sin 2x 4 正确 将y sin x 的图象右移个单位后得y sin x sin x 5 正确 振幅a的值是由最大值m与最小值m确定的 其中a 答案 1 2 3 4 5 1 y 2sin x 的振幅 频率和初相分别为 a 2 b 2 c 2 d 2 解析 选b 由解析式可得 a 2 t 2 f 故选b 2 函数y cosx x r 的图象向左平移个单位后 得到函数y g x 的图象 则g x 的解析式应为g x a sinx b sinx c cosx d cosx 解析 选a 将y cosx的图象向左移个单位后得 y g x cos x sinx 故选a 3 将函数y sin 2x 的图象右移个单位后得到的函数图象的对称轴是 a x k z b x k z c x k z d x k k z 解析 选b 将y sin 2x 的图象右移个单位后 得y sin 2 x sin 2x 令2x k k z 得x k z 故选b 4 已知函数f x sin x 0 的图象如图所示 则 解析 设最小正周期为t 由图象可知 t 答案 5 将函数y sin 2x 左移个单位后图象的对称中心是 解析 将y sin 2x 左移个单位后得y sin 2x 令2x k k z得 x k z 答案 0 k z 考向1函数y asin x 的图象 典例1 1 2013 珠海模拟 函数f x asin x 其中a 0 的图象如图所示 为了得到g x sin2x的图象 则只需将f x 的图象 a 向右平移个单位长度 b 向右平移个单位长度 c 向左平移个单位长度 d 向左平移个单位长度 2 将函数y sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 所得图象的函数解析式是 a y sin 2x b y sin 2x c y sin x d y sin x 3 2013 合肥模拟 设函数f x cos x 0 0 的最小正周期为 且f 求 和 的值 在给定坐标系中作出函数f x 在 0 上的图象 思路点拨 1 先根据图象求出函数的解析式 然后根据图象平移的规则求得答案 2 利用图象平移和伸缩变换的步骤逐步变换可得解析式 3 由周期得 由f 得 采用五点法作图 注意定义域 0 即可 规范解答 1 选a 由图象易得a 1 且函数f x 的最小正周期为t 4 所以 2 又由图象过点 1 得sin 2 1 则 2k k z 得 2k k z 又 所以 所以f x sin 2x 将其向右平移个单位长度 即可得到函数g x sin2x的图象 2 选c 将y sinx图象右移个单位得y sin x 的图象 再将横坐标伸长到原来的2倍得y sin x 的图象 故选c 3 最小正周期t 2 f cos 2 cos sin sin 0 由 得f x cos 2x 列表 图象如图 互动探究 若将本例题 1 中的条件改为 若已知f x cos 2x 又如何得到g x sin2x的图象呢 解析 g x sin2x cos 2x cos 2x cos 2 x 所以只需将f x cos 2x 的图象向右平移个单位即可得到g x sin2x的图象 拓展提升 函数y asin x a 0 0 的图象的两种作法 1 五点法 用 五点法 作y asin x 的简图 主要是通过变量代换 设z x 由z取0 2 来求出相应的x 通过列表 计算得出五点坐标 描点后得出图象 2 图象变换法 由函数y sinx的图象通过变换得到y asin x 的图象 有两种主要途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后平移 提醒 五点作图取值要准确 一般取一个周期之内的 函数图象变换要注意顺序 平移时两种平移的长度不同 变式备选 画出函数y 3sin 2x x r的简图 解析 由t 得t 列表 描点画图 将所得图象按周期向两侧扩展可得y 3sin 2x 在r上的图象 考向2由图象求解析式 典例2 1 2013 哈尔滨模拟 已知函数f x asin x x r a 0 0 的图象 部分 如图所示 则f x 的解析式是 a f x 2sin x x r b f x 2sin 2 x x r c f x 2sin x x r d f x 2sin 2 x x r 2 已知函数f x asin x a 0 0 的图象的一部分如图所示 求f x 的表达式 试写出f x 的对称轴方程 思路点拨 1 先确定a 后确定t 从而得 再利用特殊点确定 2 根据最值先确定a 再由 0 1 求 的值 最后根据图象的特点确定零点的对应点 规范解答 1 选a 由图象可知a 2 t t 2 由图象可知 2k k z 即 2k k z 得 2k k z f x 2sin x x r 2 观察图象可知 a 2且点 0 1 在图象上 1 2sin 0 即sin 又 是函数的一个零点 结合y sinx的图象可知 0 对应于 2 0 点 2 2 f x 2sin 2x 设2x b 则函数y 2sinb的对称轴方程为b k k z 即2x k k z 解得x k z f x 2sin 2x 的对称轴方程为x k z 互动探究 若将本例题 1 的图象改为如图所示的图象 其他条件不变 又将如何求解函数的解析式 解析 由图象知a t 4 所以t 16 则 由6 2k k z 得 所以函数的解析式为y sin x 拓展提升 确定y asin x b a 0 0 的步骤和方法 1 求a b 确定函数的最大值m和最小值m 则a b 2 求 确定函数的最小正周期t 则可得 3 求 常用的方法有 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时a b已知 或代入图象与直线y b的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 五点法 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的第一个点为突破口 具体如下 第一点 即图象上升时与x轴的交点 时 x 0 第二点 即图象的 峰点 时 x 第三点 即图象下降时与x轴的交点 时 x 第四点 即图象的 谷点 时 x 第五点 时 x 2 提醒 在求 时要注意已知中所给的 的范围 变式备选 1 如图是函数y asin x 2 a 0 0 的图象的一部分 它的振幅 周期 初相各是 a a 3 b a 1 c a 1 d a 1 2 如图是f x asin x a 0 0 的一段图象 则函数f x 的解析式为 解析 1 选c 由图象知 a 1 所以t 由 k z 得 2k k z 当k 1时 2 由图象得a 2 当x 0时 sin 因为 所以 所以由题图可知 3 所以f x 2sin 3x 答案 f x 2sin 3x 考向3三角函数性质的应用 典例3 2013 东城模拟 已知函数f x asin x a 0 0 的部分图象如图所示 1 求f x 的解析式 2 求f x 的对称中心 3 求f x 的单调区间 思路点拨 1 由函数的图象分别求a 利用特殊点求 可解 2 由函数的解析式结合正弦函数的对称中心与单调性求解 规范解答 1 由图象可知a 2 t 解得 2 将 0 代入f x 2sin 2x 结合 的取值范围得 f x 2sin 2x 2 由 1 可知f x 2sin 2x 令2x k k z得 x k z 故f x 的对称中心为 0 k z 3 由2k 2x 2k k z得 k x k k z 由2k 2x 2k k z得 k x k k z 故函数的单调增区间为 k k k z 单调减区间为 k k k z 拓展提升 函数y asin x a 0 0 的性质 1 奇偶性 k 时 函数y asin x 为奇函数 k k z 时 函数y asin x 为偶函数 2 周期性 y asin x 存在周期性 其最小正周期为t 3 单调性 根据y sint和t x 的单调性来研究 由 2k x 2k k z得单调增区间 由 2k x 2k k z得单调减区间 4 对称性 利用y sinx的对称中心为 k 0 k z 求解 令 x k k z 求得x 利用y sinx的对称轴为x k k z 求解 令 x k k z 得其对称轴 变式训练 已知函数f x asin x a 0 0 的图象与y轴的交点为 0 1 它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 x0 2 和 x0 2 2 1 求f x 的解析式及x0的值 2 求f x 的增区间 3 若x 求f x 的值域 解析 1 由题意作出f x 的简图如图 由图象知a 2 由 2 得t 4 所以 f x 2sin x f 0 2sin 1 又 f x 2sin x 由f x0 2sin x0 2 x0 2k x0 4k k z 又 x0 2 是y轴右侧的第一个最高点 x0 2 由 2k x 2k k z得 4k x 4k 所以f x 的增区间为 4k 4k k z 3 x 所以 sin x 1 所以 f x 2 所以f x 的值域为 2 满分指导 解答函数f x asin x 的综合问题 典例 12分 2012 安徽高考 设函数f x cos 2x sin2x 1 求函数f x 的最小正周期 2 设函数g x 对任意x r 有g x g x 且当x 0 时 g x f x 求函数g x 在 0 上的解析式 思路点拨 规范解答 1 f x cos 2x sin2x cos2x sin2x 1 cos2x sin2x 4分故 2 t 所以函数f x 的最小正周期t 5分 2 由已知x 0 时 g x f x sin2x 6分故当x 0 时 x 0 g x g x sin2 x sin2x 8分由g x g x 得g x g x g x g x 10分 故当x 时 x 0 g x g x sin2 x sin2x 11分所以函数g x 在 0 上的解析式为g x 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 湛江模拟 将函数f x sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g x 的图象 则函数g x 图象的一条对称轴是 a x b x c x d x 解析 选a 函数f x sin2x的图象向右平移个单位长度得g x 的图象 则g x sin2 x sin 2x 由2x k k z 得 x k z 所以k 1时 x 2 2012 浙江高考 把函数y cos2x 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 然后向左平移1个单位长度 再向下平移1个单位长度 得到的图象是 解析 选a 把函数y cos2x 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 可得y cosx 1 再向左平移1个单位长度 再向下平移1个单位长度 得到的函数解析式是y cos x 1 此函数图象是a 3 2013 东莞模拟 要得到函数y sin 2x 的图象可将y sin2x的图象 a 向右平移个单位长度 b 向左平移个单位长度 c 向右平移个单位长度 d 向左平移个单位长度 解析 选b y sin 2x sin2 x 应将y sin2x向左平移个单位长度 4 2013 江门模拟 函数f x sin x 0 的最小正周期是 若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数 则函数f x 的图象 a 关于点 0 对称 b 关于直线x 对称 c 关于点 0 对称 d 关于直线x 对称 解析 选d 函数的最小正周期是 所以t 所以 2 所以函数f x sin 2x 其图象向右平移个单位后得到函数f x sin 2 x sin 2x 的图象 此时函数为奇函数 所以有 k k z 所以 k k z 因为 所以当k 1时 所以f x sin 2x 由2x k k z 得对称轴为x k z 当k 0时 对称轴为x 5 2012 陕西高考 函数f x asin x 1 a 0 0 的最大值为3 其图象相邻两条对称轴之间的距离为 1 求函数f x 的解析式 2 设 0 则f 2 求 的值 解析 1 函数f x 的最大值为3 a 1 3 即a 2 函数图象相邻两条对称轴之间的距离为 最小正周期t 2 故函数f x 的解析式为f x 2s