广西钦州市灵山县第二中学高中数学 等比数列课件 新人教A版必修5.ppt

等比数列 忆一忆 一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与前一项的差等于同一个常数 那么这个数列叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 用d表示 回顾与复习 1 等差数列定义 如果一个数列从第二项开始 每一项与前一项的差等于同一个常数 这个数列叫做等差数列 定义式 d an an 1 n 2 2 等差数列的通项公式 an a1 n 1 d n n 3 推导方法 1 归纳法 2 迭加法 4 等差数列通项公式的推广公式 an am n m d n m n 国际象棋起源于印度 关于国际象棋有这样一个传说 国王要奖励国际象棋的发明者 问他有什么要求 发明者说 请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子 第二个格子上放2粒麦子 第三个格子上放4粒麦子 第四个格子上放8粒麦子 依次类推 即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍 直到第64个格子放满为止 国王慷慨地答应了他 你认为国王有能力满足上述要求吗 左图为国际象棋的棋盘 棋盘有8 8 64格 12345678 12345678 情景展示 曰 一尺之棰 日取其半 万世不竭 庄子 意思 一尺长的木棒 每日取其一半 永远也取不完 如果将 一尺之棰 视为一份 则每日剩下的部分依次为 9 92 93 94 95 96 97 堤 木 巢 鸟 雏 毛 色依次构成数列 出门见九堤 每堤有九木 每木有九巢 每巢有九鸟 每鸟有九雏 每雏有九毛 每毛有九色 问共有几堤 几木 几巢 几鸟 几雏 几毛 几色 孙子算经 某种汽车购买时的价格是36万元 每年的折旧率是10 求这辆车各年开始时的价格 单位 万元 36 36 0 9 36 0 92 36 0 93 各年汽车的价格组成数列 比一比 共同特点 从第2项起 每一项与前一项的比都等于同一常数 1 2 3 9 92 93 94 95 96 97 36 36 0 9 36 0 92 36 0 93 4 等比数列定义 一般的 如果一个数列从第2项起 每一项与它前一项的比等于同一个常数 这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 q 0 或 其数学表达式 定义式 如果一个数列从第2项起 每一项与前一项的差都等于同一个常数 那么这个数列叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 用d表示 如果一个数列从第2项起 每一项与它前一项的比都等于同一个常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 用q表示 注意 1 公比是等比数列从第2项起 每一项与前一项的比 不能颠倒 2 对于一个给定的等比数列 它的公比是同一个常数 思考 等比数列中 1 公比q为什么不能等于 首项能等于 吗 2 公比q 1时是什么数列 3 q 0数列递增吗 q 0数列递减吗 说明 1 公比q 0 则an 0 n n 2 既是等差又是等比数列为非零常数列 3 例1 求出下列等比数列中的未知项 1 2 a 8 2 4 b c 解 解得a 4或a 4 问题 已知等比数列的首项为a1 公比为q 求第n项an 方法1 不完全归纳法 方法2 累乘法 1 的通项公式是 2 的通项公式是 3 的通项公式是 题1 观察下列数列 判定它是否为等比数列 若是 写出通项公式 若不是 说理由 一个等比数列的第2项与第4项分别是8与18 求它的第3项 例1 方法1 利用通项公式 方法2 利用定义 在等比数列 an 中 若已知某一项为am 公比为q 能够求出该数列的任意项an吗 等比数列通项公式的推广公式 an amqn m am 0 an 0 m n n 例2 培育水稻新品种 如果第一代得到120粒种子并且从第一代起 由以后各代的每粒种子都可以得到下一代的120粒种子 到第五代大约可以得到这个新品种的种子多少粒 保留两个有效数字 因此 已知 是项数相同的等比数列 求证 是等比数列 例3 方法2 小结 1 等比数列的定义 1 归纳法 2 累乘法 3 等比数列通项公式的推广公式 推导方法 2 等比数列的通项公式 递推式 q an an 1 n 2 an a1qn 1 n n an amqn m n m n 常数 减 除 加 乘 加 乘 乘 乘方 累加法 累乘法 等比数列用 比 代替了等差数列中的 差 定义 数学表达式 通项公式证明 通项公式 an an 1 d n 2 练习题 1 2g a b是a g b成等差数列的 条件 2 是a g b成等比数列的 条件 等差数列 等比数列 定义 数学表达 如果一个数列从第2项起 每一项与它前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 an 1 an d 常数 符号表示 首项a1 公差d 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 首项a1 公比q q 0 d与 an q与 an d 0 an 递增d 0 an 递减d 0 an 为常数列 q 0 an 中各项同号q 0 an 中的项正负相间q 1 an 为非零常数列 通项公式 an a1 n 1 d an a1 qn 1 等比中项 a a b成等差数列 2a a b a g b成等比数列 g2 ab q 1 a 常数数列q 0 a 摆动数列 练习 1 在等差数列 an 中 a2 2 a5 54 求a8 2 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 450 则a2 a8的值为 3 在等差数列 an 中 a15 10 a45 90 则a60 4 在等差数列 an 中 a1 a2 3 a3 a4 1 则a5 a6 110 运用性质 若n m p q则am an ap aq 性质 从等差数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d 可推广 性质 若 an 是公差为d的等差数列 cn 是公差为d 的等差数列 则数列 an cn 是公差为d d 的等差数列 180 130 p503 4 p50例3 p525 性质 等差数列中 sn s2n sn s3n s2n 由等差数列的性质 猜想等比数列的性质 猜想1 若bn k bn bn k是 bn 中的三项则 证明 证明 猜想 从原数列中取出偶数项 组成的新数列公比为 可推广 猜想 若 dn 是公比为q 的等比数列 则数列 bn dn 是公比为q q 的等比数列 由等差数列的性质 猜想等比数列的性质 等差 等比数列的性质 练习 在等比数列 an 中 a2 2 a5 16 a8 在等比数列 an 中 且an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 36 那么a3 a5 在等比数列 an 中 若则a10 128 6 解题技巧的类比应用 分析 若三个数成等差数列 则设这三个数为a d a a d 由类比思想的应用可得 若三个数成等比数列 则设这三个数为 再联立方程组 三个数成等比数列 它们的和等于21 倒数的和等于 求这三个数 1 三个正数成等比数列 他们的和等于21 倒数的和等于 求这三个数 解 设三个正数为 得 已知2a 3 2b 6 2c 12 则a b c a 成等差数列不成等比数列b 成等比数列不成等差数列c 成等差数列又成等比数列d 既不成等差数列又不成等比数列 结论 若数列 an 为等比数列 则数列 logaan a 0且a 1 为等差数列 例 设 an 是由正数组成的等比数列 公比q 2 且a1a2a3 a30 230 则a3a6a9 a30 p51例4 p524 10 p527 11 12 作业 第二教材 p49新课标梯度评价选作作业 第二教材 p45新课标梯度评价 1 定义 2 公比 差 3 等比 差 中项 4 通项公式 5 性质 若m n p q q不可以是0 d可以是0 等比中项 等差中项 等差数列 ap 等比数列 gp 递增 递减 常数列 递增 递减 常数列 分类 a 0 a 0 等差 等比数列的性质 1知识点 等比数列的概念 通项公式