（试题 试卷 真题）A02 专题二 函数

专题二函数【考点聚焦】考点1：函数的概念、表示法、定义域、值域、最值；考点2：函数的单调性、奇偶性、周期性；考点3：指数函数和对数函数的定义、性质（尤其是单调性）、图象和应用；考点4：反函数的定义、求反函数、函数图象的位置关系；考点5：抽象函数问题的求解考点6：运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题考点7：导数的概念及运算，导数的应用.【自我检测】1、函数的定义是_.2、对于函数定义域内任意x，若有则f(x)为奇函数，若有，则f(x)为偶函数.奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称.3、给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2D，当x10a0且a1)对数函数y=logax(a0且a1)图象a10a10a0,a1,x0),求f(x)的表达式 (2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式 思路分析 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=logax(a1，t0；0a1，t1,x0;0a1,x0恒成立，试求实数a的取值范围 思路分析 解法一运用转化思想把f(x)0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得 (1)解 当a=时，f(x)=x+2f(x)在区间1，+上为增函数，f(x)在区间1，+上的最小值为f(1)= (2)解法一 在区间1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 设y=x2+2x+a,x1,+，y=x2+2x+a=(x+1)2+a1递增，当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想 演变3：设m是实数，记M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+) (1)证明 当mM时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM (2)当mM时，求函数f(x)的最小值 (3)求证 对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1 问题3：函数的奇偶性与单调性函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.判断函数的奇偶性与单调性方法：若为具体函数，严格按照定义判断；若为抽象函数，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 复合函数的奇偶性、单调性 解决的关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数 例3：已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减 思路分析：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点 证明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；点拨与提示：根据f(a+b)=f(a)f(b)是恒等式的特点，对a、b适当赋值.利用单调性的性质去掉符号“f”得到关于x的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法.演变5：已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在0，+)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0,都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由 点拨与提示 本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力 要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题 问题4：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相关问题三个“二次”是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关复习时要理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法例4：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 (1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=,x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的对称轴方程是(2,)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()点评 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力 解答本题的关健是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合由于此题表面上重在“形”，因而一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”演变6：已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非负的，求关于x的方程=|a1|+2的根的取值范围问题5：含参数的指数函数、对数函数与不等式综合问题掌握指数函数、对数函数函数的概念、图象和性质并能灵活应用图象和性质分析问题、解决问题；特别是底是参数时，一定要区分底是大于1还是小于1，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域.例5：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0a1)的图象上，且点Pn，点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形 (1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列Cn前多少项的和最大？试说明理由 思路分析 本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，从中找出与n之间的关系式. 解 (1)由题意知 an=n+,bn=2000() (2)函数y=2000()x(0abn+1bn+2 则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn,即()2+()10，解得a5(1) 5(1)a10 (3)5(1)a10,a=7bn=2000() 数列bn是一个递减的正数数列，对每个自然数n2，Bn=bnBn1 于是当bn1时，BnBn1，当bn1时，BnBn1,因此数列Bn的最大项的项数n满足不等式bn1且bn+1;(3)若F(x)的反函数F1(x),证明 方程F1(x)=0有惟一解 问题6：函数的导数及导数的应用求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）例6已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且f(1)=1 (1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=1是函数的极小值还是极大值，并说明理由 思路分析 先求函数导数，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x=1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值 解 (1)f(x)=3ax2+2bx+cx=1是函数f(x)的极值点，x=1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根 由根与系数的关系，得又f(1)=1,a+b+c=1, 由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)当x1或x1时，f(x)0当1x1时，f(x)0函数f(x)在(,1)和(1,+)上是增函数，在(1，1)上是减函数 当x=1时，函数取得极大值f(1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=1 点评 利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解 本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化 这是解答本题的闪光点 演变8：已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)设g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)设(x)=g(x)f(x),试问 是否存在实数,使(x)在(,1)内为减函数，且在(1，0)内是增函数 点拨与提示：由ff(x)=f(x2+1)求出c，进而得到函数的解析式，利用导数研究函数的单调性.专题小结1、求解函数解析式是高考重点考查内容之一，求解函数解析式的方法主要有 （1） 待定系数法（2）换元法或配凑法，已知复合函数fg(x)的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；（3）消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法2、函数值域的常用求法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 3、函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.判断函数的奇偶性与单调性方法：若为具体函数，严格按照定义判断；若为抽象函数，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 复合函数的奇偶性、单调性 解决的关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数4、三个“二次”是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.复习时要理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法5、掌握指数函数、对数函数函数的概念、图象和性质并能灵活应用图象和性质分析问题、解决问题；特别是底是参数时，一定要区分底是大于1还是小于1，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域.6、求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）【临阵磨枪】一 选择题1 （06年广东）函数的定义域是（） A. B. C. D. 2 设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x1时，f(x)=(x+1)21,则x1时f(x)等于( )A f(x)=(x+3)21B f(x)=(x3)21C f(x)=(x3)2+1D f(x)=(x1)213 函数y=x2+ (x)的值域是( )A(,B,+C,+D(,4 函数y=x+的值域是( )A (,1B (,1C RD 1,+5 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+2)=f(x),当0x1时，f(x)=x,则f(75)等于( )A 0 5B 0 5 C 1 5D 1 56 已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a2)0,则a的取值范围是( )A (2，3)B (3，) C (2，4)D (2，3)7 若不等式(a2)x2+2(a2)x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是( )A(,2B2,2C(2,2D(,2)8 （05年天津）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）AB CD-22O1-1-119已知函数，下面四个图象中的图象大致是（ ）10 （2006年江西卷）设f（x）log3（x6）的反函数为f1（x），若f1（m）6f1（n）627，则f（mn）_11曲线在点（1,3）处的切线方程是 .12 若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x1x2),且在x2,+上单调递增，则b的取值范围是_ 13 若f(x)为奇函数，且在(0，+)内是增函数，又f(3)=0,则xf(x)0,则实数p的取值范围是_15 二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)0,b0)是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中bN且f(1)0且a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x(0,2时，y有最小值8，求a和x的值22 设函数f(x)=loga(x3a)(a0且a1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x2a,y)是函数y=g(x)图象上的点 (1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)若当xa+2,a+3时，恒有|f(x)g(x)|1,试确定a的取值范围 参考答案 1B解：由，故选B.2B 提示 数形结合，x1时，f(x)=(x+1)21的对称轴为x=1,最小值为1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为1 3 B提示 m1=x2 和m2=在(,）上都是减函数 4 A提示 令=t(t0),则y=+t= (t1)2+11值域为(,1 5 B提示 f(7.5)=f(5.5+2)=f(5.5)=f(0.5+2)=f(0.5)=f(0.5)=0.5 6 A提示 由条件得f(a3)f(a29)，即 a(2,3) 7C提示 分a20和a20两类讨论.8B提示：记，则.当时，要使得是增数，则需有恒成立，所以矛盾，排除C、D；当时，要使得是增数，则需有恒成立，所以，排除A.选B9 C提示：由图象知，所以是函数的极值点，又因为在上，在上，因此在上，单调递减，故选C.10 解：f1（x）3x6故f1（m）6f1（x）63m3n3m n27mn3f（mn）log3（36）2 11 解析 由题意得即曲线y=x3+x+1在点（1，3）处切线的斜率K=4，所以切线方程为：y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.12 解析 f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0 f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又f(x)在x2,+单调递增，故a0 又知0x1x,得x1+x20,b=a(x1+x2)0 答案 (,0）13 解析 由xf(x)0知x与f(x)异号，数形结合得：x(3,0)(0,3).14 解析只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10.答案 (3，）15 解析 由f(2+x)=f(2x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|12x22|1+2xx22|,2x0.答案2x016 解析 容易求得f- 1(x)=.得答案：17 解：（）由方程 因为方程有两个相等的根，所以，解得(舍去)或代入得的解析式 （）由及由 解得 故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是18 (1)证明 y=f(x)是以5为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又y=f(x)(1x1)是奇函数，f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0 (2)解 当x1,4时，由题意，可设f(x)=a(x2)25(a0),由f(1)+f(4)=0得a(12)25+a(42)25=0，解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4) (3)解 y=f(x)(1x1)是奇函数，f(0)=f(0),f(0)=0,又y=f(x) (0x1)是一次函数，可设f(x)=kx(0x1),f(1)=2(12)25=3, f(1)=k1=k,k=3 当0x1时，f(x)=3x,当1x0时，f(x)=3x,当4x6时，1x51,f(x)=f(x5)=3(x5)=3x+15,当6x9时，1x54,f(x)=f(x5)=2(x5)225=2(x7)25 f(x)= 19(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以解之得又所以即的取值范围为20 解 (1)f(x)是奇函数，f(x)=f(x),即c=0,a0,b0,x0,f(x)=2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,a=b2,由f(1)得即,2b25b+20,解得b2，又bN,b=1,a=1,f(x)=x+ (2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2x0,y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x022x01=0,x0=1 y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1,2)关于(1，0)对称21 解 (1）由loga得logat3=logty3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x3=,logay=x23x+3，即y=a (x0)(2)令u=x23x+3=(x)2+ (x0),则y=au若0a1,要使y=au有最小值8，则u=(x)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值若a1,要使y=au有最小值8，则u=(x)2+,x(0,2应有最小值当x=时，umin=,ymin=，由=8得a=16.所求a=16,x=22 解 (1)设点Q的坐标为(x,y)，则x=x2a,y=y 即x=x+2a,y=y 点P(x,y)在函数y=loga(x3a)的图象上，y=loga(x+2a3a),即y=loga,g(x)=loga (2)由题意得x3a=(a+2)3a=2a+20;=0,又a0且a1,0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)loga|=|loga(x24ax+3a2)|f(x)g(x)|1,1loga(x24ax+3a2)1,0a1,a+22a f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上为减函数，(x)=loga(x24ax+3a2)在a+2,a+3上为减函数，从而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),于是所求问题转化为求不等式组的解 由loga(96a)1解得0a，由loga(44a)1解得0a,所求a的取值范围是0a 【挑战自我】设函数，试证明：（1）存在两个实数满足：（2）；（3）思路：由“存在两个实数”联想到构造一个关于m的二次方程，只需证明该方程有两个不等的实根即可.证明：（1）令，将f(x)的解析式代入化简得关于m的一元二次方程：，因为，所以方程有两个不等实根，记为，故实数满足方程（2）因为是方程方程的两实根，所以，（3）由（1）知，所以0，所以点评：本题以全新的面目考查了二次方程、二次不等式的有关内容，从而将函数、方程、不等式融为一体.这里的处理由到再到是循序渐进的，若将变为，这是一个关于1m的一元二次方程，这的两个实根为，且两根之积为，这就同时证明了（1）和（2）.再将已知条件变形为y=f(x) 变形为，由0得与比较可得，即可见这里的实质上是函数f(x)的最小值、最大值.这从题（3）中可以悟出来.对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.【答案及点拨】演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案演变1：解法一(换元法）f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1令u=2cosx(1u3),则cosx=2uf(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u27u+5(1u3)f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4)解法二 (配凑法）f(2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx）+5f(x)=2x27x5(1x3),即f(x1)=2x211x+14(2x4)演变2：解 (1)当x1时，设f(x)=x+b射线过点(2，0) 0=2+b即b=2，f(x)=x+2 (2)当1x1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM (2)解析 设u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函数，当u最小时，f(x)最小.而u=(x2m)2+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)为最小值 (3)证明 当mM时，m+=(m1)+ +13,当且仅当m=2时等号成立 log3(m+)log33=1 演变4：（1） 令a=b=0，则f(0)=f(0)2， f(0)0， f(0)=1（2） 令a=x，b=-x， 则 f(0)=f(x)f(-x)， 由已知x0时，f(x)10； 当x0，f(-x)0， 又x=0时，f(0)=10， 对任意xR，f(x)0（3） 任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1)， f(x)在R上是增函数演变5 f(x)是R上的奇函数，且在0，+)上是增函数，f(x)是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f(cos23)f(2mcos