八年级数学下册 5.1 矩形（第1课时）例题选讲课件 （新版）浙教版.ppt

第5章特殊平行四边形 5 1矩形 第1课时 矩形的性质 例1如图 已知矩形abcd中 对角线ac bd相交于点o e f是对角线bd上的两点 且bf de 1 按边分类 aob是三角形 2 猜想线段ae cf的大小关系 并证明你的猜想 分析 1 由矩形的性质可得oa ob oc od 2 若猜想ae cf 则可以证明这两条线段所在的两个三角形全等 即 ade cbf 也可以证明ae cf所在的四边形aecf是平行四边形 解 1 等腰 2 ae cf 证明 如图 连结af ce 由四边形abcd是矩形 得oa oc ob od de bf oe of 四边形aecf是平行四边形 ae cf 注意点 证明两条线段相等的方法有很多 通常的思路是 1 当两条线段位于一个三角形中时 可以借助于 等角对等边 来证明 2 两条线段不在一个三角形中时 可以借助于两三角形全等来证明 3 当两条线段是一个四边形的两条对边时 可以借助于证明这个四边形是平行四边形来证明等 变式 如图 在矩形abcd中 ac bd相交于o ae平分 bad 交bc于e 若 cae 15 求 boe的度数 答案 四边形abcd是矩形 abc bad 90 ac bd ao co ac bo do bd ao bo ae平分 bad bae bad 45 又 cae 15 bao bae cae 60 aob是等边三角形 ob ab abo 60 obe abc abo 90 60 30 bea 90 bae 45 bae ab be ob be boe 75 与矩形有关的折叠问题 例2如图 把矩形纸片abcd沿ef折叠 使点b落在边ad上的点b 处 点a落在点a 处 1 求证 b e bf 2 设ae a ab b bf c 试猜想a b c之间的一种关系 并给予说明 分析 1 可由 b fe bfe b ef 得b e b f bf 2 由于b e bf c a b ab b a e ae a 故由勾股定理可求得a b c之间的关系 证明 1 四边形abcd是矩形 ad bc bfe b ef 由题意可得 b fe bfe b f bf b fe b ef b e b f bf 2 a2 b2 c2 理由 a a 90 b e2 a b 2 a e2 由 1 可知b e bf c 由已知可知a b ab b a e ae a a2 b2 c2 注意点 图中折叠矩形 则 b fe是一个等腰三角形 这一结论在解决折叠问题时有很重要的作用 矩形的综合问题 例3如图 在矩形abcd中 e f分别是边ab cd上的点 ae cf 连结ef bf ef与对角线ac交于点o 且be bf bef 2 bac 1 求证 oe of 2 若bc 2 求ab的长 分析 1 根据矩形的对边平行可得ab cd 再根据两直线平行 内错角相等求出 bac fco 然后利用 角角边 证明 aoe和 cof全等 再根据全等三角形即可得证 2 连结ob 根据等腰三角形三线合一的性质可得bo ef 再根据矩形的性质可得oa ob 根据等边对等角的性质可得 bac abo 再根据三角形的内角和定理列式求出 abo 30 即 bac 30 根据直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半求出ac 再利用勾股定理列式计算即可求出ab 证明 1 在矩形abcd中 ab cd bac fco 在 aoe和 cof中 aoe cof aas oe of 2 如图 连结ob be bf oe of bo ef 在rt beo中 bef abo 90 由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知 oa ob oc bac abo 又 bef 2 bac 即2 bac bac 90 解得 bac 30 bc 2 ac 2bc 4 ab 6 ae cf bac fco aoe cof 注意点 本题要结合基本图形 运用了矩形的性质 全等三角形的判定与性质 等腰三角形三线合一的性质 直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半 作辅助线并求出 bac 30 是解题的关键 例1如图 把一张矩形纸片abcd沿ef折叠后 点c d分别落在c d 的位置上 ec 交ad于点g 已知 efg 58 那么 beg 错答 由于ad bc 所以 cef efg 58 再根据折叠 得 beg gef 61 正答 beg 180 2 58 64 错因 矩形的折叠问题是中考的常见题型 要注意折叠后的图形与原图的折叠部分关于折叠线成轴对称 此解法折叠对应的两个角 cef feg找错了 造成错误 由于矩形纸片abcd沿ef折叠 所以 cef feg 而ad bc 所以 cef efg 58 所以 beg 180 2 58 64 故填64 例2在矩形abcd中 已知ab a 对角线ac与bd相交所成的锐角为60 试求矩形对角线的长 错答 如图1 在矩形abcd中 aob 60 根据矩形的对角线相等且互相平分 得到ob oc acb 30 ac 2ab 2a 正答 1 当ab边是矩形中较短边时 如错解 求得对角线ac的长为2a 2 当ab边是矩形中较长边时 如图2 在矩形abcd中 aod 60 根据矩形的对角线相等且