三、《数学物理方法与计算机仿真》习题解答.pdf

第三篇 特殊函数 1 第三篇 特殊函数部分 第三篇 特殊函数部分 第 19 勒让德多项式 球函数习题及解答 第 19 勒让德多项式 球函数习题及解答 19 1 试证明 19 1 试证明 1 1P d 0 n xx 其中 其中1 2 3 n L 19 219 2 计算 1 2 2 1 P dIxxx 答案 0 2 3 2 4 15 0 2 0nInInI 19 3 求积分 19 3 求积分 1 0 P d l Ixx 答案 答案 0 1 1 1 2 2 1 0 21 21 1 1 22 k lIlIlk kI k lkkI k 19 4 求积分 19 4 求积分 1 0 P d l Ixxx 答案 答案 1 2 0 1 2 1 1 3 21 1 0 22 2 1 1 2 1 1 k k lIlIlkkI k lk kI kk 19 5 证明 19 5 证明 3 13 32 55 xP xP x 19 6 证明 19 6 证明 11 1 1 00 1 d d mm nn mnx P xxmxPxx 19 7 证明 19 7 证明 1 22 1 2 21 1 d 0 1 2 21 n nn xP xxn n L 19 8 计算 19 8 计算 11 11 1 P d 2 23 P d nn IxxxIxxx 答案 答案 1 1 2 3 1 0 2 0 4 1 2 0 1 0nInInInInI 19 9 求球内的调和函数 19 9 求球内的调和函数u 使得它满足边界条件 使得它满足边界条件 2 1 cos r u 答案 答案 2 2 12 cos 33 u rPr 19 10 求下列定解问题 19 10 求下列定解问题 2 22 2 1 11 sin 0 01 sin cos2cos r uu rr rrrr u 答案 答案 2 111 2cos cos 2 323 u rrr 第三篇 特殊函数 2 19 11 设 19 11 设 0 1 1 1 xa f x ax 试将函数 试将函数 f x展开为广义傅里叶 勒让德级数 答案 展开为广义傅里叶 勒让德级数 答案 11 1 11 11 22 nnn n a f xPaPa P xx 19 12 在半径为 1 的球的外部求调和函数 即求下列定解问题 19 12 在半径为 1 的球的外部求调和函数 即求下列定解问题 2 1 0 cos lim0 r r u u u 答案 答案 2 33 1cos1 33 u r rrr 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 19 13 19 13 用计算机仿真方法绘出勒让德多项式 12345 P P P P P xxxxx的曲线 提示 提示 若使用 MATLAB 绘图 对于勒让德多项式可使用语句 legendre N x 解 matlab绘勒让德多项式 12345 P P P P P xxxxx的曲线的程序C19 13 m x 0 0 01 1 y1 legendre 1 x y2 legendre 2 x y3 legendre 3 x y4 legendre 4 x y5 legendre 5 x plot x y1 1 x y2 1 x y3 1 x y4 1 x y 5 1 title Legendre 21 13 21 13 试用计算机仿真方法绘出 试用计算机仿真方法绘出 00120123 12223333 Px Px P x Px Px P x Px Px的曲线 的曲线 提示 提示 若使用 MATLAB 绘图 可使用语句 legendre N x 但需注意连带勒让德函数调用格式 与勒让德多项式有所区别 可参考下一篇计算机仿真 解 matlab 绘勒让德函数 00120123 12223333 P P P P P P xxxxxx Px Px的曲线的程 序 C19 14 m x 0 0 01 1 y legendre 1 x subplot 3 1 1 plot x y 1 x y 2 题 19 13 勒让德多项式曲线 第三篇 特殊函数 3 legend P 1 0 P 1 1 y legendre 2 x subplot 3 1 2 plot x y 1 x y 2 x y 3 legend P 2 0 P 2 1 P 2 2 y legendre 3 x subplot 3 1 3 plot x y 1 x y 2 x y 3 x y 4 legend P 3 0 P 3 1 P 3 2 P 3 3 第 20 章 贝塞尔函数习题及解答 第 20 章 贝塞尔函数习题及解答 20 1 证明 01 JxJ x 20 2 求 0 d Jax dx 答案 1 Jx 20 3 求 1 d xJ ax dx 答案 0 xJx 20 4 计算积分 4 1 d Ix J xx 题 19 14 一 二 三阶连带勒让德函数 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 1 0 5 0 0 5 1 P1 0 P1 1 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 2 0 2 4 P2 0 P2 1 P2 2 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 20 10 0 10 P3 0 P3 1 P3 2 P3 3 第三篇 特殊函数 4 答案 432 012 4 8 Ix Jxx J xx Jxc 20 5 验证函数 3 2 yxJx 是方程 22 2 0 x yxy 的解 20 6 验证函数 n yxJx 是方程 222 1 0 x yxyxny 的一个特解 22 7 证明 2222 0101110 d 1 2 d2 d xJx J xx JxJxx J x xxJ xx Jxc x 20 8 证明 200300 1 1 J J J 2 J 3J 4J 0 xxxxxx x 20 9 20 9 半径为b 高为h的均匀圆柱体 下底和侧面保持为零度 上底温度分布为 2 r 求 圆柱内的稳定温度分布 解 求解区域为圆柱体 故采用柱坐标系 坐标原点取在下底的中心 z轴沿圆柱的轴 由题意可见 温度分布与 无关 可用 zru表示 因为稳定的温度分布遵守拉普拉斯方 程 故定解问题为 0 2 0 0 0 0 20 0 0 1 rbr hzz zzrrr uu ruu bzbruu r u 1 2 3 分离变量 分离变量 令 zZrRu 代入 1 和 2 中 有 Z Z R R r R 1 其中 为常数 由此可分离成两个常微分方程 0 ZZ 4 4 0 22 0 0 rbr RR RrRrRr 5 求解固有值问题 5 求解固有值问题 5 0 0201 0 rbr RR rYCrJCR 可得固有值和固有函数 0 0 2 0 r b JrR b n n n n L 2 1 n 求解关于 求解关于 zZ的常微分方程 的常微分方程 z b n z b n z n z nn nn eBeAeBeAZ 0 0 作特解的线性组合 并由边界条件定系数 作特解的线性组合 并由边界条件定系数 第三篇 特殊函数 5 2 0 0 0 1 0 0 0 ruu r b JeBeAu hzz n n z b n z b n nn 6 0 nn BA 7 2 1 0 0 0 0 rr b JeBeAu n n h b n h b n nn 8 由 7 nn AB 代入 8 中 由双曲正弦函数的定义 有 2 1 0 0 0 2rr b Jh b shAu n nn n 其中 0 3 0 0 0 2 0 2 1 2 2 b n n n n Ar Jr dr b shh Jb b 4 1 2 0 0 0 1 0 2 nn nn h b shJ b 将 n A及 nn AB 代入 6 中 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 2 4 1 2 n nn nn nn h b shJ z b shr b J bzru 注意 0 4 3 0 01 0 0 2 0 4 1 b n n nn b r Jr drJ b 20 10 设沿z方向均匀的电磁波在底半径为 1 的圆柱域内传播 在侧面沿法向方向导数等于 零 从静止状态开始传播 初速度为 2 1r 求其传播规律 假设对于极角 对称 解 本定解题归结为求如下定解问题 2 2 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 rruru tutu rtu r uau t r rrrtt 的解 利用分离变量法求解这个问题 设 tTrRtru 为方程的解 代入方程分离整理 并令分离系数为 则有 0 2 tTatT 1 第三篇 特殊函数 6 0 0 1 0 1 RR rrRrR r rR 2 对于边值问题 2 有解 0101 rYBrJArR 由自然边界条件 0 R 必取0 1 B 而由边界条件0 1 R 得 0 J 0 即 根据递推公式 0 1 J 设 1 m 是 1 J的零点 于是得本征值 2 1 2 1 L m mm 及本征函数 2 1 1 01 L mrJArR mmm 此外 对应与 tT 有 atBatAtT mmmmm 1 2 1 2 sincos 因此得到一系列解 trum 经叠加后 有 1 1 0 1 1 cos m mmmmm rJatsimbatatru 代入初始条件 以确定系数 mm ba 则0 0 1 1 0 m mm rJaru 所以0 m a 又 1 1 0 1 2 1 0 m mmm rJbarru 得 1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 m m mm rJr rdr b aJr 现计算分子积分值 111 2 1 1 1 3 000 000 1 mmm rJr rdrJr rdrJr r dr 由递推公式 有 1 1 0 1 1 1 1 rdrJrrJrd mmmmm 得 1 1 1 1 010 1 0 1 0 mm m Jr rdrrJr 及 1 11 1 32 1 1 02 1 1 2 00 2 m mm mm rJr Jr r drr dJ 再计算模值 平方 有 12 1 2 1 00 0 mm JrJr rdr 令rx m 1 则 1 2 1 22 00 1 2 0 1 2 m m m JrJx d x 第三篇 特殊函数 7 1 1 1 1 222 0000 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0000 1 2 0 2 1 22 00 1 2 0 2 1 22 000 1 2 2 1 0 11 2 11 2 12 2 12 2 1 2 m m m m mm m m m m m m m x Jxx Jx Jx dx Jx JxxJx Jx dx Jx Jx Jx Jx J 由此求得系数 4 1 2 0 3 1 1 2 mm m m Ja J b 或由递推公式 有 4 1 0 3 1 mm m Ja b 最后便得到所求解为 1 1 0 1 1 0 3 1 sin 14 m mm mm rtJa Ja tru 1 1 0 1 1 0 3 1 sin 14 m mm mm rtJa Ja tru 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 20 1120 11 计 算 机 仿 真 绘 出 第 一 类 贝 塞 尔 函 数 012345 J J J J J J xxxxxx的图形 提示提示 若用 MATLAB 仿真 对应第一类贝塞尔函 数可使用 Bessekj n x 解 matlab绘第 一 类 贝 塞 尔 函 数 012345 J J J J J J xxxxxx的图形的程序 C20 11 m clear y besselj 0 5 0 2 10 figure 1 plot 0 2 10 y 20 1220 12 计算机仿真绘出第二类贝塞尔函数 012345 N N N N N N xxxxxx的图形 提示提示 若用 MATLAB 仿真 对于第二类贝塞尔函数可使用 Besseky n x 解 matlab 绘第二类贝塞尔函数 012345 N N N N N N xxxxxx的图形的程序 C20 12 m y bessely 0 1 0 0 1 10 subplot 2 1 1 plot 0 0 1 10 y 题 20 11 第一类贝塞尔函数曲线分布 第三篇 特殊函数 8 y bessely 2 6 0 0 1 10 subplot 2 1 2 plot 0 0 1 10 y grid on 20 1320 13 计算机仿真绘出第一种汉克尔函数 第三类贝塞尔函数 1 1 1 1 0123 H H H H xxxx的图形 提示提示 若用 MATLAB 仿真 对于第一种汉 克尔函数可使用 Besselh n 1 x 解 matlab绘第 一 种 汉 克 尔 函 数 1 1 1 1 0123 H H H H xxxx的图形的程 序 C20 13 m y besselh 0 3 1 0 0 1 10 subplot 2 1 1 plot 0 0 1 10 y y besselh 2 6 1 0 0 1 10 subplot 2 1 2 plot 0 0 1 10 y grid on 20 1420 14计 算 机 仿 真 绘 出 第 二 种 汉 克 尔 函 数 第 三 类 贝 塞 尔 函 数 2 2 2 2 0123 H H H H xxxx的图形 提示提示 若用 MATLAB 仿真 对于第一种汉 克尔函数可使用 Bessekh n 2 x 解 matlab绘第 二 种 汉 克 尔 函 数 1 1 1 1 0123 H H H H xxxx的图形的程序 C20 14 m y besselh 0 3 2 0 0 1 10 plot 0 0 1 10 y grid on 012345678910 8 6 4 2 0 2 012345678910 2 5 2 1 5 1 0 5 0 0 5 x 10 9 012345678910 0 5 0 0 5 1 012345678910 0 5 0 0 5 1 第三篇 特殊函数 9 第三篇第三篇 综合测试题及其解答综合测试题及其解答 第三篇 特殊函数综合测试题 第三篇 特殊函数综合测试题 一 填空 20 分 1 1 2 3581050 1 d x Px Pxx 2 在自然边界即 1 xy 有界条件下 对于施 刘 Sturm Liouville 型本征值问题 2 2 2 d 1 0 1 d1 m xyy xy xx xx 则本征值 本征函数 3 已知 01 1 P xP xx 则 2 P x 而函数 2 1 35 2 f xxx 按 l P x的展开式为 f x 4 0u 在球域内的解为 u r 二 20 分 利用特殊函数的有关性质 计算积分 1 1 3 0 10 1 P d 2 J d a n Ix xIxxx 三