高等数学习题集第二章 导数与微分.doc

学习资料收集于网络，仅供参考第二章 导数与微分一. 填空题1. , 则= _.解. , 假设, 则 , 所以2. 设 , 则_.解. , 3. 设函数y = y(x)由方程确定, 则_.解. , 所以 4. 已知f(x) =f(x), 且, 则_.解. 由f(x) =f(x)得, 所以所以 5. 设f(x)可导, 则_.解. =+=6. 设, 则k = _.解. , 所以所以 7. 已知, 则_.解. , 所以. 令x2 = 2, 所以8. 设f为可导函数, , 则_.解. 9. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_.解. 上式二边求导. 所以切线斜率 . 法线斜率为, 法线方程为 , 即 x2y + 2 = 0.二. 单项选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d) 解. , 假设=, 所以 =, 按数学归纳法 =对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且a(c) f(x)在x = 1处可导, 且b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入=, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.3. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. . 所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + Dx时, 记Dy为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 解. 由微分定义Dy = dy + o(Dx), 所以. (b)是答案.5. 设 在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以 , 所以b = 0. , , 所以 0 = a. (c)是答案.三. 计算题1. 解. 2. 已知f(u)可导, 解. =3. 设y为x的函数是由方程确定的, 求.解. , 所以4. 已知, 求.解. , 5. 设, 求解. , 6. 设函数f(x)二阶可导, , 且, 求, .解. , 所以=3. 所以 7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.解. . 所以 所以 . 所以 . 在t = 1的曲率为（1）、（ ）替/给/帮/为（ ）。 四. 已知当x 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时（1）、懒洋洋地（晒太阳） 慢吞吞地（说） 兴冲冲地（走进来） 二阶可导.我把门打开 了。 门被我打开了。解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且三、句子 存在, 所以, 所以贝（宝贝）虾（河虾）写（写字） , 所以挺拔的松树 茂密的树林 会心的微笑 透明的翅膀 五. 已知.马上立刻赶紧赶快 很多许多 替=帮=为=给解. , k = 0, 1, 2, , k = 0, 1, 2, 六. 设, 求.我们（爱）北京。 我们（爱）五星红旗。解. 使用莱布尼兹高阶导