分段函数的常见题型及解法(广东用).doc

分段函数的常见题型及解法分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 奇偶性; 方程; 不等式. 1求分段函数的定义域和值域2求分段函数的函数值3求分段函数的最值4求分段函数的解析式5作分段函数的图像7判断分段函数的奇偶性8判断分段函数的单调性9解分段函数的方程10解分段函数的不等式1求分段函数的定义域和值域例1求函数的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知的定义域为, 值域为. _2_x3yxO.练习已知f（x） 是定义在上的奇函数，当时，f（x） 的图象如右图所示，那么f（x） 的值域是 2求分段函数的函数值1、设，则的值为（ ）A. B. C. D.2、给出函数，则（ ）A. B. C. D. 3求分段函数的最值例4求函数的最大值方法1先求每个分段区间上的最值，后比较求值。当0时,=2+3,此时显然有maX= =3;当01时，=+5，此时无最大值.比较可得当=1时,max=4.方法2 利用函数的单调性Y4321 0 1 2 3 4 5 x由函数解析式可知，在(,0)上是单调递增的，在(0,1)上也是递增的，而在(1,+)上是递减的，由的连续性可知当=1时有最大值4方法3利用图像，数形结合求得作函数=的图像（图1），显然当=1时max=4.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.例3求函数的最大值. 【解析】当时, , 当时, , 当时, , 综上有. 4求分段函数的解析式例已知奇函数f（x） (xR)，当x0时，f（x）= x(5x)+1.求f（x）在R上的表达式。解f（x）是定义域在R上的奇函数， f（0）=0.又当0时，0,故有f（x）=x 5(x)+1=x (5+x)+1。再由f（x）是奇函数,f（x）=f（x）=(5+)1.练习1某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当居民用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元。若某月某用户用水量为x吨，交水费为y元。（1）求y关于x的函数关系（2）若某用户某月交水费为31.2元，求该用户该月的用水量。2如图，动点从单位正方形顶点开始，顺次经、绕边界一周，当表示点的行程，表示之长时，求关于的解析式，并求的值3等腰梯形的两底分别为，作直线交 于，交折线于，记，试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数，并写出函数的定义域.5作分段函数的图像1已知函数（1）在图5给定的直角坐标系内画出的图象；（2）写出的单调递增区间图56求分段函数得反函数例6已知是定义在上的奇函数, 且当时, , 设得反函数为, 求的表达式. 【解析】设, 则, 所以, 又因为是定义在上的奇函数, 所以, 且, 所以, 因此, 从而可得. 7判断分段函数的奇偶性例1判断函数的奇偶性. 【解析】当时, , , 当时, , 当, , 因此, 对于任意都有, 所以为偶函数. 练习已知函数（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断函数在上的单调性并加以证明8判断分段函数的单调性例写出函数的单调减区间. 【解析】, 画图易知单调减区间为. 练习已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为A B C D 9解分段函数的方程例10（01年上海）设函数, 则满足方程的的值为 【解析】若, 则, 得, 所以（舍去）, 若, 则, 解得, 所以即为所求. 练习1已知，若，则 2已知函数若，则实数的值等于A1 B2 C3 D43已知函数 则函数的零点个数为A1 B2 C3D410解分段函数的不等式例设函数, 若, 则得取值范围是（ ） 【解析1】因为, 当时, , 解得, 当时, , 解得, 综上的取值范围是. 故选D. 【解析2】首先画出和的大致图像, 易知时, 所对应的的取值范围是. 例12设函数, 则使得的自变量的取值范围为（ ）A B. C. D. 【解析】当时, , 所以, 当时, , 所以, 综上所述, 或, 故选A项. 【点评：】 以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显. 7、设函数，若，则关于的方程 的解的个数为（ ）A1 B2 C3 D4例8判断函数