山东省高中数学《1.2.1 正、余弦定理在实际问题中》课件 新人教A版必修5.pptVIP

课标要求 1 熟练掌握正 余弦定理 2 能够运用正 余弦定理等知识和方法求解实际问题 核心扫描 1 求解距离 高度和角度问题 重点 2 从实际问题中抽象出数学模型 即画出三角形 难点 第1课时正 余弦定理在实际问题中的应用 1 2应用举例 测量中的常用角 1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中 把视线在水平线 的角称为仰角 视线在水平线 的角称为俯角 如下图 2 方位角指从正北方向按 转到目标方向线所成的水平角 如方位角是45 指北偏东45 即东北方向 自学导引 上方 下方 顺时针 3 方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角 如南偏西60 即以正南方向为始边 顺时针方向向西旋转60 如下图 所示 如图所示 oa ob的方位角各是多少 如何表示oa ob的方向角 提示 oa的方位角为60 ob的方位角为330 oa的方向角为北偏东60 ob的方向角为北偏西30 解三角形应用题的一般思路 1 读懂题意 理解问题的实际背景 明确已知和所求 理清量与量之间的关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形模型 3 选择正弦定理或余弦定理求解 4 将三角形的解还原为实际问题的解 注意实际问题中的单位 近似计算要求 这一思路可描述如下 名师点睛 1 解三角形应用题常见的两种情况 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及到两个 或两个以上 三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 然后逐步求出其他三角形中的解 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 解方程得出所要求的解 2 题型一测量距离问题 基地c和d测得蓝方两支精锐部队分别在a处和b处 且 adb 30 bdc 30 dca 60 acb 45 如图所示 求蓝方这两支精锐部队的距离 思路探索 可将ab放在 abc中来求 为此应先求出ac和bc 再用余弦定理求ab 例1 解三角形应用问题的一般步骤 1 准确理解题意 分清已知与所求 尤其要理解应用题中的有关名词和术语 2 画出示意图 并将已知条件在图形中标出 3 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形 通过合理运用正弦定理和余弦定理求解 求 1 a处与d处的距离 2 灯塔c与d处的距离 解 1 在 abd中 adb 60 b 45 由正弦定理得 变式1 如图所示 a b是水平面上的两个点 相距800m 在a点测得山顶c的仰角为45 bad 120 又在b点测得 abd 45 其中d点是点c到水平面的垂足 求山高cd 思路探索 由仰角为45 可知cd ad 再在 abd中应用正弦定理求解ad即可 解由于cd 平面abd cad 45 所以cd ad 因此只需在 abd中求出ad即可 在 abd中 bda 180 45 120 15 题型二测量高度问题 例2 依题意画图是解决三角形应用题的关键 在测量高度时 要理解仰角 俯角的概念 仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角 同时空间图形和平面图形要区分开 然后通过解三角形求解 2011 儋州高二检测 如图 测量河对岸的塔高ab时 可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c和d 现测得 bcd bdc cd s 并在点c测得塔顶a的仰角为 求塔高ab 解在 bcd中 bcd bdc cbd 180 变式2 某海上养殖基地a接到气象部门预报 位于基地南偏东60 距离20 1 海里的海面上有一台风中心 影响半径为20海里 正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进 预计台风中心将从基地东北方向刮过且 1 小时后开始影响基地持续2小时 求台风移动的方向 审题指导 题型三测量角度问题 例3 规范解答 如题图所示 设预报时台风中心为b 开始影响基地时台风中心为c 则b c d在同一直线上 且ad 20海里 ac 20海里 2分 题后反思 在充分理解题意的基础上画出大致图形 由问题中的有关量得出三角形中的元素 用余弦定理 勾股定理解三角形 甲船在a点发现乙船在北偏东60 的b处 乙船以每小时a海里的速度向北行驶 已知甲船的速度是每小时a海里 问甲船应沿着什么方向前进 才能最快与乙船相遇 变式3 0 cab 90 cab 30 dac 60 30 30 所以甲船应沿着北偏东30 的方向前进 才能最快与乙船相遇 方法技巧分类讨论思想在解三角形中的应用 在解决问题时由于条件的变化 问题的结果有多种情况 不能用同一种标准或同一种方法去解决 这就需要对条件分情况讨论 这就是分类讨论思想 也叫做分类与整合思想 在本节中 由于三角形解的个数的不确定性 解三角形时需讨论在不同的三角形中解的情况 在一次反恐演习中 某特警在一条笔直的公路上追击前方20公里的一恐怖分子 此时恐怖分子正跳下公路沿与前方公路成60 角的方向以每小时8公里的速度逃跑 已知特警在公路上的速度为每小时10公里 特警决定在公路上离恐怖分子最近时将其击毙 问再过多少小时 特警向恐怖分子射击 示例 思路分析 根据人物的不同位置 分情况列出相距的表达式 利用二次函数求最值的方式即可求所需时间 解设开始时特警在b地 恐怖分子在a地 t小时后两人分别到达q p两地 特警到达a地需2小时 分别画出示意图 1 当0 t 2时 如图1 在 apq中 ap 8t aq