高考数学复习 123 不等式选讲课件 理 新人教A版.ppt

不等式选讲 理 第三节 解法1 分类讨论思想 s1令每个绝对值符号里的一次式为0 求出相应的根 s2把这些根由小到大排序 它们把实数轴分成若干个小区间 s3在所分区间上 根据绝对值的定义去掉绝对值符号 讨论所得的不等式在这个区间上的解集 s4这些解集的并集就是原不等式的解集 解法2 函数与方程思想 构造函数f x x a x b c 写出f x 的分段解析式作出图象 找出使f x 0 或f x 0 的x的取值范围即可 解法3 数形结合思想 利用绝对值的几何意义求解 x a x b 表示数轴上点p x 到点a a b b 距离的和 关键找出到a b两点距离之和为c的点 取中间 取两边 注意这里c a b 若c a b 则 x a x b c的解集为 x a x b c解集为r 3 分析法 从要证明结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明过的定理 性质等 从而得出要证明的命题成立的方法 它是执果索因的方法 分析法与综合法常常结合起来运用 看由已知条件能产生什么结果 待证命题需要什么条件 两边凑一凑找出证明途径 常常是分析找思路 综合写过程 4 反证法 证明不等式时 首先假设要证明的命题不成立 把它作为条件和其它条件结合在一起 利用已知定义 定理 公理 性质等基本原理进行正确推理 逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理 性质 或公认的简单事实相矛盾的结论 以此说明原假设不正确 从而肯定原命题成立的方法称为反证法 5 放缩法 证明不等式时 根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小 使其化繁为简 化难为易 达到证明目的 这种方法称为放缩法 2 二维形式的柯西不等式 1 代数形式 设a b c d均为实数 则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 上式等号成立 ad bc 2 向量形式 设 为平面上的两个向量 则 当且仅当 是零向量或存在实数k 使 k 时 等号成立 ax b c型不等式解法 解析 原不等式可化为a 1 x a 1 又知其解集为 1 3 所以通过对比可得a 2 答案 2 不等式1 x 1 2的解集是 a x 0 x 1 b x 0 x 1或 3 x 2 c x 3 x 1 d r解析 由1 x 1 2得 1 x 1 2或 2 x 1 1 0 x 1或 3 x 2 故选b 答案 b 例2 2011 宝鸡质检 不等式 x 1 x 2 4的解集为 分析 用分段讨论 构造函数 数形结合法求解均可 但数形结合最简便 x a x b c型不等式解法 2011 江西文 15 对于x r 不等式 x 10 x 2 8的解集为 答案 0 例3 解关于x的不等式 x logax 1 分析 a b a b 当且仅当ab 0时成立 若 a b a b 则ab 0 绝对值不等式中等号成立的条件 解析 根据绝对值三角不等式 原不等式可化为xlogax0 logax1 0 x 1 不等式的解集为 x 0 x 1 例4 2011 陕西文 15 若不等式 x 1 x 2 a对任意x r恒成立 则a的取值范围是 分析 欲使a f x 恒成立 应有a f x 的最小值 集合与集合之间的关系 解析 令y x 1 x 2 由绝对值不等式 a b a b a b 知y x 1 x 2 x 1 2 x x 1 2 x 3 所以a 3 答案 3 2011 陕西长安五校一模 如果存在实数x使不等式 x 1 x 2 f x 的最小值 答案 k 3 例5 已知x y r 求证 sinx siny 1 sinxsiny 分析 将sinx siny看作一个整体 则不等式变成了在 a 1 b 1时 a b 1 ab的形式 可用作差比较法证明 比较法 证明 sinx siny 1 sinxsiny sinx 1 siny 1 siny 1 siny sinx 1 1 sinx 1 1 siny 1 1 siny 0 sinx 1 0 1 siny sinx 1 0 即sinx siny 1 sinxsiny 2011 福建理 21 设不等式 2x 1 1的解集为m 1 求集合m 2 若a b m 试比较ab 1与a b的大小 解析 1 由 2x 1 0 故ab 1 a b 综合法 分析法 柯西不等式的应用 3 本部分内容是新增选学 各省市自主选考的内容 对该不等式的一般形式要求很低 只要了解即可 考虑高考的导向作用 新一轮高考命题可能要有这部分的内容 答案 1 3 2 2011 宝鸡统考 不等式log3 x 4 x 5 a对于一切x r恒成立 则实数a的取值范围是 答案 2 解析 由绝对值的几何意义知 x 4 x 5 9 则log3 x 4 x 5