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第九章 圆锥曲线与方程 双曲线 第51讲 双曲线的定义 点评 双曲线的定义是相应标准方程和几何性质的 源 对于双曲线的有关问题 要有运用双曲线定义解题的意识 回归定义 是一种重要的解题策略 求轨迹要做到不重不漏 应把不满足条件的点去掉 运用双曲线的定义时 应特别注意定义中的条件 差的绝对值 弄清所求轨迹是整条双曲线 还是双曲线的一支 变式练习1 一动圆与圆 x 3 2 y2 1外切 又与圆 x 3 2 y2 9内切 求动圆圆心的轨迹方程 双曲线的性质 点评 本题是一道求圆锥曲线离心率的大小 或范围 的典型题 求解的关键在于根据条件列出关于该曲线的基本量a c的齐次方程 或不等式 再解方程 或不等式 进而求得离心率的值 或范围 值得注意的是 本题极易忽视题设中的条件 0 a b 从而出现增解 双曲线的综合问题 点评 圆锥曲线的定义是其性质属性的深刻反映 运用其定义法求解是最直接 最基本 也是很简洁的方法 因题设中出现双曲线上点与焦点的距离 故将 pf1 2 d pf2 化为比式 借助统一定义确定 pf1 pf2 的关系 再联系第一定义 得到矛盾不等式 两个定义联手 可谓天衣无缝 解答探索性命题 一般可先设点p存在 再利用已知条件探求 若得出矛盾 则说明p点不存在 否则 便得到p点的位置 2 1 若双曲线8kx2 ky2 8的一个焦点为 0 3 那么k的值为 1 解析 由 pf1 pf2 8及 pf1 9得 pf2 1或17 又由2a 8 c2 36 c 6知右支的顶点到f1的距离为10 而已知 pf1 9 说明点p在左支上 此时 pf2 10 因此 点p到焦点f2的距离为17 1 由给定条件求双曲线的方程 常用待定系数法 首先是根据焦点位置设出方程的形式 含有参数 再由题设条件确定参数值 应特别注意 1 当焦点位置不确定时 方程可能有两种形式 应防止遗漏 2 由已知双曲线方程求基本量 注意首先应将方程化为标准形式 再计算 并要特别注意焦点的位置 防止将焦点坐标和准线方程写错 3 熟悉双曲线的渐近线的几何特征 无限接近双曲线但与双曲线不相交 和代数特征 渐近线方程是双曲线标准方程中的 1 换为 0 平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点 但不相切 体现在代数上 直线方程代入曲线方程得到的是一次方程 已知渐近线方程为 y kx 则双曲线方程为
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