供应链网络均衡模型

A supply chain network equilibrium model Anna Nagurney , , a, June Dongb and Ding Zhangb a Department of Finance and Operations Management, Isenberg School of Management, University of Massachusetts, Amherst, MA 01003, USA b Department of Marketing and Management, School of Business, State University of New York at 供应链网络均衡模型 摘要 本文中研发了一个有竞争的供应链网络均衡模型。该模型充分处理了多层决策者和他们的自主行为。定义了供应链的网络结构和导出了均衡条件。确定了有限空间变分不等式。给出了均衡模型的定性性质和数值例子。变分法：薄，梁坤淼 关键词 : 供应链 ; 网络 ; 均衡 ; 变分不等式 ; 分散决策 文章目录 1.引言 2 分散决策者的供应链网络模型 2.1. 制造商行为和他们的最优性条件 2.2. 零售商的行为和他们的最优性条件 2.3. 需求市场的消费者和均衡条件 2.4. 供应链均衡条件 3. 定性性质 4. 算法 5. 数值例子和讨论 5.1. 数值例子 5.2. 讨论 6. 结论 致谢 参考文献 1. 引言 供应链分析的主题是跨学科 性质的，它涉及 生产、运输、物流以及零售 /销售。 事实上，由于问题的复杂性和众多因素如涉及交易和分析的制造商，零售商，消费者， (cf. Federgruen and Zipkin, 1986; Federgruen, 1993; Slats et al., 1995; Bramel and Simchi-Levi, 1997; Miller, 2001; Hensher et al., 2001 and the references therein），越来越多的相关研究文献 (see, e.g., Poirier and Poirier; Mentzer, 2000; Bovet, 2000)的主题是概念性的 (cf. Stadtler and Kilger, 2000 and the references therein)。见最近的一项关于供应链的调查结果 Ereng et al. (1999)。 Lee and Billington (1993) 提出了分散模型的需求，这个模型考虑了一般的网络结构和简单的供应链的研究。接着， Anupindi and Bassok (1996), 提出制定 具有 挑战 性 的系统 和由 分散零售商组成的信息共享 的模型 。另一方面， Lederer and Li (1997), 研究企业之间的竞争，这些企 业对推迟时间敏感的消费者生产产品或服务。 Corbett and Karmarkar (2001) 涉及到在寡头竞争供应链中均衡数量的公司。为了允许封闭形式的多公司均衡的决策，他们假设同一层的公司具有识别线性生产成本函数的特征。均衡模型在交通建模(cf. Florian and Hearn, 1995)、经济 (cf. Arrow and Intrilligator, 1982) 和金融 (see Nagurney and Siokos, 1997)中有很长的历史。 除了实践者之外，许多研究人员已经描述了包括供应链分析和管理的主要目的是优化的各种网络。相反，在这篇论文中，我们提出了一个有竞争的供应链网络均衡模型。在我们普遍水平下，这样的模型迄今为止还没有出现在文献中。本文提出了一个对价格和产品流评价的基准。 均衡模型是通过各个决策者的独立行 为和他们相互作用的影响获取的 。最后，本文为研究变化的供应链，开发动态模型提供了基础。 均衡模型是从经济，特别是，网络经济 (cf. Nagurney, 1999)中得到的。假定制造商参与生产将要运往零售商的同质产品。制造商为产品定价（内生的）和决定他们的最优生产和发货量，在考虑到生产成本和与不同的零售商开展业务相 关的交易成本的情况下。 接着，零售商由于在他们的零售店面临和产品相关的管理成本，必须和制造商就产品的发货量达成共识。此外，他们在消费者愿意为产品支付的内生价格下寻求他们的利润最大化。消费者决定他们的最优消费水平从受制于产品索要价格和进行交易成本（当然，这可能包含与从零售商获取产品相关的交易成本）的不同的零售商。 这篇文章的组织结构如下。第二章节，我们介绍了有竞争的供应链网络模型，为它的决策者导出了最优性条件，然后提出控制的均衡条件。我们也导出了问题的有限空间变分不等式公式。第三章节，我们提出了均衡模型的定性 性质和确立了证明算法的收敛的性质。在第四章节，我们描述了伴随收敛结果的计算过程。算法把网络问题分解为各个子问题，每个子问题在封闭形式下可以被精确的解出。在第五章节，我们把算法应用于几个决定均衡产品流和价格的数值例子，也给出了模型和计算结果的讨论。在第六章节我们总结了论文。 2. 分散决策者的供应链网络模型 在本节中，我们设计了包含制造商、零售商、和消费者的供应链网络模型。本节中建立的供应链网络均衡结构如图 1 所示。特别地，我们考虑涉及生产 一种产品 的 m 个制造商，这些产品接着被 n 个零售商 购买，依次，这些零售商把产品卖给位于 o 个需求市场 的消费者。我们用 i 表示特殊的制造商，用 j 表示特殊的零售商，用 k 表示特殊的需求市场。注意到在图 1 中制造公司位于网络的顶层节点；零售商位于中间层，而需求市场位于第三层或底层。供应链网络的链接表示运输 /交易链接。 1 i m1 j n1 k oM a n u f a c t u r e r sR e t a i l e r sD e m a n d M a r k e t s图 1 在均衡条件下供应链的网络结构 我们首先集中研究制造商，接着转向零售商， 最后是消费者。然后，完整的均衡模型的构造与控制均衡条件的变分不等式息息相关。 2.1. 制造商的行为和他们的最优性条件 让 iq 表示制造商 i 的产品非负生产量。我们把所有的制造商的生产量集中成列向量 mRq 。我们假设每个制造商 i 面临一个生产成本函数 if ，一般地，它依赖于整个向量的生产量，也就是， )(qff ii i （ 1） 一个制造商可能发货给所有的零售商，制造商 i 和零售商 j 之间的产品发货量用ijq表示。我们把与每个制造商和零售商对 ),( ji 相联系的交易成本用ijc表示。交易成本包含产品的运输成本。我们把制造商和零售商之间的产品发货量集中成 mn 维空间列向量 1Q 。我们考虑在制造商和零售商对情况下的交易成本为： )( ijijij qcc ji, （ 2） 为了帮助理解（参照图 2）和在均衡条件下确定最终的供应链网络结构，我们把制造 商和零售商描述为节点，制造商 i 和零售商 , 1.j j n 之间的交易如连线所示。 n21iR e t a i l e r sM a n u f a c t u r e r i图 2 制造商 i 和零售商交易的网络结构 制造商 i 的生产量必须满足下面流动守恒方程： nj iji qq 1 （ 3） 这表示制造商 i 的生产量等于从制造商发往所有零售商的产品数量的总和。 总成本由制造商 i 产生， 因此， 等于它的总的 生产成本加上总交易成本 。依次，它的收益等于制造商为产品索要的的价格（也是零售商愿意支付的）乘以所有零售商从制造商购买的产品的总数量。如果我们让 ij1表示制造商 i 对零售商 j 为产 品索要的价格（供应价格），和注意到流动守恒方程（ 3），我们可以表示制造商 i 的标准最大化利润为： s ubj e c tqcQfqM ax im iz e nj ijijiijijnj ,)()( 1111 to 0ijq for al j （ 4） 我们假设制造商在非合作条件下竞争。同样，我们假设每个制造商的 生产成本函数和交易成本函数 是连续的和凸的 。考虑到非合作行为下的管理最优性 /均衡概念是古诺、纳什均衡和纳什均衡表明每个制造商将决定他 自己的最优生产数量和发货量 ，考虑到竞争者的 最优生产和发货量 ，所有制造商的 最优性条件 同时可以表示为下面的 变分不等式 ： (cf. Bazaraa et al., 1993, Gabay and Moulin, 1980; see also Dafermos and Nagurney, 1987; Nagurney, 1999): 限定 mnRQ 1 满足： 0)()(1 1 11 ijijminj ijijijijiji qqq qcqQf mnRQ 1 （ 5） 用（ 5）表示的最优性条件有一个不错的经济解释，即如果零售商愿意为产品支付的价格精确的等于制造商的边际生产加上与零售商相关的交易成本，制造商将发往零售商产品数量为正的（符合连线的流动是正的）。如果制造商的边际生产和交易成 本超过零售商愿意为产品支付的，那么连线上的流动量为零 。 （ 边际收入必须大于边际成本，制造商才有利可图。 ） 2.2.零售商的行为和他们的最优性条件 依次，零售商涉及到包括他们希望零售店从制造商获得的产品和产品的最终用户消费者两方面的交易。因此，零售商 j 的交易网络结构如图 3 所示。因此 和 零售商进行交易是制造商和需求市场的消费者。注意到图 3 像图 2 一样，仅仅描述了交易包含的网络结构。随后，我们将流和连线、价格和节点联系起来。 1 i mj1 k oD e m a n d M a r k e t sR e t a i l e r s jM a n u f a c t u r e r s图 3 零售商 j 交易网络结构 一个零售商 j 面临一个管理成本，它包含与产品有关的展示和存储成本。我们用jc表示这个成本，在最简单情况下，我们有jc是 mi ijq1的函数，也就是，零售商的管理成本是它从不同的制造商处获得的产品多少的一个函数。然而，为了大多数人的利益和提高模型竞争力，通常， 我们允许函数依赖于其他零售商拥有的产品数量 ，因此，我们可以写成： jQcc jj ),( 1 （ 6） 在他们的零售店， 零售商将与产品相关的价格 ，对于零售商 j 来说表示 为 j2。我们将要表示的价格在模型中将是内生的。像第一节中提到的，假设零售商也是利益最大化， 零售商 j 的利益最优化问题 将被表述为： Maximize ijmi ijok jjkj qQcq 1 11 12 )( （ 7） 约束条件： mj ijok jk qq 11 （ 8） 和非负性约束： 0ijq和 0jkq， ki, 。目标函数（ 7）表示对制造商利益最大化时，收入减去管理成本和支出的差。约束（ 8）只是表示消费者不能从零售商购买比他们储存更多的产品。 我们现在考虑零售商的最优性条件，假设每个零售商面临满足约束（ 8）的最优化问题（ 7），和变量的非负性假设。这里，我们假设 零售商在非合作方式下进行竞争 ，考虑其他零售商的行为以使他的利润最大化。注意到在这一点上，我们考虑零售商寻求决策不仅取决于消费 者从他们 指定 的零售店购买的最优数量，而且取决于他们 愿意 从制造商获得的数量。在均衡中，在网络节点的代理商间的所 有的发货量将是同时发生 的。 假设每个零售商的 交易费用 是连续的和凸的，所有零售商的最优性条件和变分不等式的解同时发生：限定 nnomnRQQ ),( 21 满足： jkjknjok jjijijminj jijijj qqqqqQc1 1 21 1 11 )( 01 11 jjnjok jkmi ijqq nnomnRQQ ),( 21 （ 9） 这里的j是对零售商 j ，和约束（ 8）相关联的拉格朗日因子， 是所有因子的 n 维列向量， 2Q 表示在零售商和需求市场间 产量流的 no 维列向量 。这样的求导的更深层次的背景，见 Bertsekas and Tsitsiklis (1989)。在这个推导中，像不等 式（ 5）一样，我们没有定义价格变量。他们是完整均衡模型中的内生变量。 我们现在强调零售商的最优性条件下的经济解释。从不等式（ 9）的第二项中，我们有，如果在需求市场 k 消费者从一个特殊的零售商 j 购买产品，即如果 jkq是正的，那么零售商 j 要的价格 j2精确的等于j ，这里，从不等式的第三项中，消费市场从零售商 j 购买的价格就明确了。同样，注意到，从第二项中，我们看到如果一个特殊的零售商没有卖出产品，那么和产品相关的价格超出了消费者购买的价格。而且，从不等式（ 9）的 第一项，我们可以推断出，如果一个制造商和一个零售商的交易结果在两者之间是一个正的产品流动，那么价格 j精确的等于零售商 j 支付给制造商的价格 ij1加上零售商处产品的边际成本。 2.3.需求市场的消费者和他们的均衡条件 我们现在描述在需求市场的消费者。消费者考虑制定他们的消费 决策不仅依赖于零售商为产品索要的价格而且依赖于获得产品的交易成本。我们让jkc表示与在需求市场 k 处消费者从零售商 j 获得产品的相关的 交易成本 。和回忆起jkq表示在零售商 j 和需求市场 k 购买的产品数量。我们假设交易成本是连续的，正的和它的一般式是 kjQcc jkjk ,),( 2 （ 10） 这里的 2Q 是在零售商和消费市场之间产品流的 no 维空间列向量。 在图 4 中，描述了在需求市场 k 零售商和消费者之间的交易网络。像以前一样，每个需求市场通过节点表示和交易用线条链接。 1 2 nkR e t a i l e r sD e m a n d M a r k e t s k图 4 在需求市场 k 消费者交易网络结构 现在让k3表示需求市场 k 的产品价格。进一步，在需求市场 k 产品的需求量用kd表示和像给出的一样，假设连续的需求函数： kddkk ),( 3（ 11） 这里 3 是需求市场价格的 o 维空间列向量 。因此，根据（ 11），一般地，在需求市场消费者对产品的需求不仅依赖于需求市场的产品价格，而且依赖 于其他需求市场的产品价格。从而，在某种意义上，需求市场的消费者也和其他需求市场的消费者竞争。 消费者接受 零售商为产品索要的价格 加上和获得产品相关的 交易价格 ，对于零售商 j 通过 j2表示，来制定他们的消费决策。 因此，在需求市场 k 的消费者的均衡条件，如下的形式：对于所有的零 售商 njj .1, 0:,0:,)(3322jkkjkkjkj qifqifQc (12) 和 nj kjknj kjkk ifqifqd1 31 33 0:,0:,)( (13) 条件（ 12）声明，在均衡中，如果在需求市场 k 的消费者从零售商 j 购买产品，那么零售商为产品索要的价格加上交易成本 不超过消费者愿意为产品支付的价格 。接着，条件（ 13）表明，如果消费者在需求市场愿意为 产品支付的均衡价格是正的 ，那么从 零售商购买的产品数量将精确的等于需求市场的产品需求量。这些条件相当于著名的 空间价格均衡条件 。 (cf. Samuelson, 1952; Takayama and Judge, 1971; Nagurney, 1999 and the references therein)。 在均衡中，条件（ 12）和（ 13）适合于所有的需求市场 k ，依次，这些可以表示为一个变分不等式问题（见 e.g., Nagurney, 1999），类似于 (5) and (9)，和通过下面的式子表示：限定 nnoRQ ),( 32 满足： 0)()( 331 1 31 1 322 kkoknj kjkjkjknjok kjkjdqqqQc onoRQ ),( 32 (14) 注意到，在满足消费决策的条件下，我们利用 需求函数而不是效用函数 ，像制造商和零售商的情况，我们假设面临相当于效用函数的利润函数。当然，需求函数来源于效用函数 (cf. Arrow and Intrilligator, 1982)。因为我们预料消费者的数量比制造商和零售商的数量多得多，所以我们相信上面的公式是很自然的和易于处理的。 2.4.供应链的均衡条件 在均衡中，制造商发往零售商的产品发货量必须等于零售商从制造商接收的发货量。此外，消费者在需求市场购买的数量必须等于零售商卖出的。再者，为了使层次间的协议规范化，均衡发货和价格模式在供应链中必须满足不等式（ 5）（ 9）和（ 14）的总和。我们现在规定 明确下面的定义： 定义 1 供应链网络均衡 。供应链的平衡态是产品流动在决策者各层次之间同时发生的和产品的流动和价格满足最优性条件（ 5）（ 9）和（ 14）的和。 现在我们建立如下： 定理 1 变分不等式公式 。均衡条件控制有竞争力的供应链模型等同于变分不等式问题通过下面的形式考虑：限定 ),(321 QQ满足 jkjknjok kjjkijijminj jijjijijijiji qqQcqqq Qcq qcqQf1 1 321 111 )()()()( 0)( 331 311 11 kkok knj jkjjnjok jkmi ijdqqq ),( 321 QQ (15) 这里的 onnomnRQQQQ ),(),( 321321 证明 我们首先确定包含变分不等式（ 15）的均衡条件。事实上，（ 5）（ 9）和（ 14）的总和，经过化简后，等于不等式（ 15）。我现在建立逆向的，也就是，分解不等式（ 15）满足不等式（ 5）（ 9）和（ 14）的和，因此根据定理 1,这是一个均衡。对于不等 式（ 15）在乘号之前的第一个括号内添加项 ijij 11 和在第二个乘号之前添加项 jj 22 。这些项不改变不等式的值由于他们加起来等于 0，最后的不等式形式为 njok jjkjjkijijminj ijijjijjijijijiji Qcqqq Qcq qcqQf1 1 22321 1 1111 )()()()( 0)( 331 311 11 kkok knj jkjjnjok jkmi ijjkjkdqqqqq ),( 321 QQ (16) 这 依次 可以改写为 11111 1 1 1221 1 1 1 1( ) ( )()m n m ni j i j jii j i j i j i j j i j i ji j i ji j i j i jn o n m oj j j k j k i j j k j jj k j i kc q c QfQq q q qq q qq q q q 2 311()noj j k kjkcQ 123 3 3 311( ) 0 , ( , , , )onj k j k j k k k kkjq q q d Q Q (17) 但是不等式（ 17）等于满足（ 5）（ 9）和（ 14）的和的价格和发货模型。证明完毕。 为了在随后的章节中便于引用，变分不等式（ 15）可以改写成标准的变分不等式形式 (cf. Nagurney, 1999)如下：限定 X 满足 XXXXF ,0),( (18) 这里oknjmikjjkij FFFFXFQQX , . . . ,1,. . .1, . . .1321 ),()(),( 和 F 是特定部分通过（ 15）中乘号之前的函数项给出。形式 .,. 表示 N 维欧几里得空间内积。 在变分不等式问题中的变量是：从制造商到零售商的产品发货量： 1Q （包含（ 3）式的产品的输出量），从零售 商到需求市场的产品流动量： 2Q ，通过零售商和管理产品相关的价格： 和需求市场的价格： 3 。依次， 变分不等式问题（ 15）的解通过 ),(321 QQ来表示 。 我们现在讨论从变分不等式（ 15）的解中 怎样获得制造 商的均衡价格 ， ij1， ji, 和零售商的均衡价格， j2， j 。（在第四节中我们描述计算结果的算法）。回忆起，在先前的讨论中，我们注意到如果 0jkq对于一些 k 和 j ，那么 j2精确的等于 j，这可以从（ 15）的解中获得。价格 ij1，反过来(cf. also (5), 能通过找到一个 0ijq获得，于是得出 ijijijijij qqcqQf )()( 11我们现在构造均衡的供应链网络 (cf. Fig. 1)，像构建模型一样，利用先前在图 2，图 3 和图 4 描述的网络分别相当于在一个特殊需求市场里一个制造商，一个零售商和消费者的交易。首先，无论如何，我们需要建立在均衡中 发往每个零售商的产品总和 等于产品发出的总量的结果。这就是说假设利润最大化每个零售商仅从制造商购买的产品数量实际上在需求市场被消耗完。我们利用变分不等式（ 15）建立这样的结果。明显地，我们知道如 果 0j，那么零售商的“市场解围”就是 ok jkmi ij qq 11。让我们现在考虑当 0j对于一些 j 来说的情形。从不等式（ 15）的第一项，由于在均衡中假设生产成本函数和交易成本函数和管理成本函数是凸的和假设对每一对制造 商 /零售商边缘生产成本或者边缘交易成本或者边缘管理成本是严格正的是合理的。那么我们知道 0)()()( 11 ijjijijijiji qQcq qcqQf 这意味着 0ijq， ji, 。 (注意到我们可以设定 3322 QQ ，从（ 15）中观察到 )于是它遵循了（ 15）式的第三项 0qo1k jk ，因此 在这种情况下流入零售商的等于流出的，市场库存等于 0。因此我们建立如下： 推论 1 在供应链网络均衡中对每个零售商市场对 产品清空 。 The market for the product clears for each retailer in the supply chain network equilibrium. 在图 1 中，我们描述供应链网络均衡结构由所有的制造商，零售商和需求市场组成。因此，我们复制图 2 为所有的制造商，图 3 为所有的零售商，图 4 为所有的需求市场。这样产生的网络表示了可能的所有经济主体的交易。另外，由于在均衡中所有的交易人必须达成协议，类似的连线（他们的均衡流）必须一致，服从图 1 中网络结构。 在制造商和零售商之间的均衡发货量组成向量 1Q 和产品流动是在图 1 中最顶层节点和中间层节点间连接。在零售商和消费市场之间的均衡发货量组成向量 2Q 和产品流动是在图 1 的中间 层节点和底层节点之间连接。与需求市场相联关的均衡价格在图 1 中和底层节点联系在一起，通过向量 3给出。在图 1 中和中间层节点相联关的均衡价格与零售商相一致，通过 j2和 j给出。最后，在图 1 顶层节点中和制造商相联关的均衡价格通过 ij1， ji, 给出。 3.定性性质 在本节中，我们提出了一些 解决变分不等式（ 15）的定性性质 。特别地，我们导出了 存在性和唯一性结果。我们也研究了函数 F (cf. (18)的性质 由于变分不等式（ 15）的潜在可行集不是紧凑的，我们不能简单的从函数的连续性假设导出一个解的存在性。然而，我们可以强加一个 相对弱的条件 来保证一个解的形式存在。让 4332211321 0;0;0;0),( bbbQbQQQb (19) 这里 0),(4321 bbbbb和4332211 ; bbbQbQ 意思是321 , bbqbq jjkij ,和 43 bk 对于 kji , 。那么b是 onnomnR 的一个有界的，封闭的连续凸子集。因此，下面的变分不等式： bbbb XXXXF ,0),(20) 允许至少一个解bbX ，根据变分不等式的标准理论，由于 b 是紧的和 F 是连续的。跟随 Kinderlehrer and Stampacchia (1980) (see also Theorem 1.5 in Nagurney, 1999), 然后我们有 引理 1 变分不等式（ 18）允许有一个解当且仅当存在一个 0b 满足变分不等式（ 20）允许一个解在b 和 432211 3, bbbQbQ bbbb (21) 下。 在下面的定理 2的条件下可能构造足够大的4321 , bbbb以使受限制的变分不等 式（ 20）满足条件（ 21）的有界性，因此，对于初始的变分不等式问题一个解的存在性，根据引理 1 将被保持。 定理 2 存在性。 假设存在正的常量 RNM , 且 0R 使得满足 111 ,)()()( QMqQcqqcqQfijjijijijiji 且 jiNqij ,.(22) .,)(,.,)(33322jRNdkjNqQMQckkjkjk 且且 (23) 因此变分不等式（ 15）允许至少有一个解。 证明 伴随引理 1。 参照 Nagurney and Zhao (1993)命题 1 的存在性的证明和 Nagurney et al. (2001)中存在性的证明。 从经济观点来看 假设（ 22）（ 23）是合理的，由于在制造商和零售商对间产品的发货量是巨大的，我们可以预算边缘生产成本加上边缘交易成本加上边缘管理成本超过一个正的下界。另外，当产品流动在零售商和需求市场之间高时，我们能预测和那对相联系的交易成本是非负的和超过一个下界。而且，在一个需求市场的需求市场价格相当高的情况下，我们可以预测在需求市场的产品的需求量将会降低。 我们现在回忆在 Zhang and Nagurney (1996) 为了建立一定的定性性质在动态网络寡头问题中，引入附加的生产成本函数的定义。在变分不等式（ 18）中为了得到函数 F 的单调性这样的功能函数将被假设。 定义 2 递增的生产成本。对于每一个制造商 i 生产成本函数if是递增的，即 )()()( 21 iiiii qfqfqf (24) 这里的 )(1ii qf是依赖于制造商自己的输出量iq的内部生产成本，可能包含生产运作和设备维护，等等。和 )(2ii qf是 生产成本的相互依赖的部分 ，它是 其他所有制造商的输出量 ). . .,. . .(111 miii qqqqq 的函数，反映了 其他制造商的生产模式对制造商 i 成本的影响 。这些相互依赖部分的生产成本函数可能描述为对资源，均匀原材料的的竞争，等等。 我们现在建立的两个附加的定性性质，进入变分不等式问题函数 F 和均衡模型的唯一性 。在下面的章节中 F 的单调性和 利普西茨连续性 将被利用来证明 算法方案的收敛 。 引理 2 单调性。假设生产成本函数 mifi .1, 是递增的，像定义 2 中的定义，和 mifi .1,1 是凸函数。如果ijc和jc函数是凸的，jkc函数是单调递增的，和kd函数是一般价格的单调递减函数，对于 kji , ，那么在变分不等式（ 18）的向量函数 F 是单调的，即， ,0),()( XXXXXFXF (25) 证明 让 ),(),(321321 QQXQQX 且 XX 且 . 那么，不等式（ 25）能被看作下面的分解： minjminj ijjijjijijijiiji q Qcq QcqqqQfqQfXXXFXF1 1 1 111112121 )()()()(),()( minjnj jkjkok jkjkijijijijijijijijijij qqQcQcqqqqcqqcqq1 1 1122 )()()()( )()()()()()()(13333 ok kkkkdd (26) 由于 mifi .1, 和 mifi .1,1 是凸函数，有 0)()()(111111 mi ijijnj ijiiji qqqQfq Qf(27) jcj , 和 jicij , 的凸性，分别给出 minj ijijijjijj qqqQcqQc1 111 0)()()( (28) 和 minj ijijijijijijijij qqqqcqqc1 1 0)()()( (29) 由于 kjcjk ,假设是单调递增，和 kdk ,是单调递减，我们有 0)()()( 1 122 jkjknjok jkjkqqQcQc (30) 和 0)()()( 33133 kkok kkdd (31) 让 (27), (28), (29), (30)和 (31) 带入（ 26）的右面，我们可以推断（ 26）是非负的。证明完毕。 引理 3 严格单调性。假设引理 2 的所有条件。此外，假设三个凸函数njmicmif iji .1,.1,.1,1 和 njc j .1, 组成一 个严格凸函数。 假设 ,.1,.1, oknjc jk 和 okdk .1, 是严格单调的。那么，向量函数 F 带入到变分不等式（ 18）是严格单调的，且对于),( 321 QQ ，也就是，对于任意两个 , XX 且 ),(),( 321321 QQQQ 有： 0),()( XXXFXF (32) 证明 对于任意两个不同的 ),(),( 321321 QQQQ，我们必须至少有下面三种情况的一种： 332211)()()( iiiQQiiQQi在 这个定理的条件下，如果 )(i 是真的，那么，在（ 26）式的右边，至少 )(),(),( 是正的。如果 )(ii 是真的，那么 )( 是正的。在 )(iii 的情形下， )( 是正的。因此，我们可以推断出（ 26）的右边是大于 0 的。证明完毕。 在均衡中，引理 3 对于产品的发货量 1Q ，零售商的发货量 2Q ，需求市场的价格3的唯一性有一个重要的暗示。我们同样 注意到在均衡中 njj .1, 被期望的唯一性不能被保证。 定理 3 唯一性。在引理 3 的条件下，有一个唯一的产品输出量 1Q ，一个唯一的零售商的发货量（消耗量） 2Q 和一个唯一的需求价格向量 3满足供应链的均衡条 件。换句话说，如果变分不等式（ 18）允许有一个解，那么应该有唯一的解 21,QQ 和3。 证明 在引理 3 严格单调性的结果下，唯一性伴随着标准变分不等式理论 (cf. e.g., Kinderlehrer and Stampacchia, 1980)。 引理 4 利普西茨连续性。变分不等式问题（ 18）中的函数是利普西茨连续性的，也就是， ,)()( XXXXLXFXF (33) 在下面的条件下： )(i 每个 mifi .1, 是递增的和有一个有界的二阶 导数； )(ii ijc 和 jc 有有界的二阶导数对于 ji, ； )(iii jkc 和 kd 有有界的一阶导数对于 kj, 。 证明 . 结果是对于变分不等式问题（ 18）的向量函数 F 直接运用微分学的一个中值定理。 4.算法 在本章节中，算法被提出用于解决标准形式 (see (18)下所有变分不等式。算法是 修正后的投影法Korpelevich (1977)和保证收敛在变分不等式中的函数 F 是单调的和利普西茨连续的条件下（也就是有一个解存在）。供应链网络模型中算法（详细了解见 Nagurney, 1999）的实现如下，这里的 表示迭代 计数器： 修正投影法来解变分不等式（ 15） 步 0 ：初始化 设 ),( 0302010 QQ。让 1 和设 满足 L10 , 这里的 L 是解决问题的李普希茨常量 (cf. (33) 步 1：计算 计算 ),(321 QQ通过解变分不等式 1 1 111111 1 1 12 1 1 1 1 1 1311( ) ( )()()( ( ) ) ( )m n n oi j i j jij i j i ji j i j j ki j j ki j i j i jmojj k j k j k j k i j j kjkikc q c QfQq q q q qq q qc Q q q q q q 11 1 1 133 3 3 311123( ( ) ) 0 ,( , , , )njonj k kj j j k k k kkjqdQQ (34) 步 2：改写 计算 ),(321 QQ通过解变分不等式 1111 1 1 1021131 1 1() ()()()( ( ) ) ( )m n n oij i j jiji j i j i j i j j ki j j ki j i j i jnmjkj k j k j k j k j ji j j kj i ijjcq cQfQq q q q qq q qc Q q q q q q 1 1 233 3 3 3 311( ( ) ) 0 , ( , , , )onk k k k kjkkjq d Q Q (35) 步 3：收敛验证 如果 13311 , kkjkjkijij qqqq, ,.1,.1,.1 oknjmi 且0 ，存在一个 1jj 的公差，那么停止；否则，让 1: , 转到步 1。 注意到变分不等式子问题 (34) 和 (35)能被明确地解出和在封闭形式下的可行集是非负象限。事实上，他们产生了子问题在变量 kjiqqkjjkij , 3 。 我们现在陈述这个模型的修正投影法的收敛结果。 定理 4 收敛性 假设变分不等式（ 15）（或（ 18）的函数满足定理 2 和引理 2 和 4 的条件。那么修正投影法描述了上述变分不等式（ 15）或（ 18）解的收敛性。 证明 根据 According to Korpelevich (1977), 修正投影法收敛于形如（ 18）的变分不等式的解，如果变分不等式中的函数 F 是单调的和利普西茨连续的和有一个解存在的。根据定理 2 得出一个解的 存在性。根据引理 2 的单调性。根据引理 4 的利普西茨连续性。证明完毕。 5.数值例子和讨论 在本章节中，我们对四个数值例子运用修正投影法和提供了一个讨论的结果。 5.1 节描述了数值例子和他们的结果，而 5.2 节在例子解出的情况下充分的讨论了该模型。 5.1.数值例子 算法用程序进行执行和计算机系统是使用位于艾摩斯特市马塞诸萨州大学的 DEC Alpha 系统。收敛性判断准则使用流量和价格的绝对值在相邻两次迭代与正常值之间相差不超过 410 。 例 1 第一个数值例子由两个制造商，两个零售商，和两个需求市场组成，如图 5 所示。这个例子的数据构造是为了容易解释的目的。制造商的 生产成本函数 通过下面的式子给出 .25.2)(;25.2)( 221222121211 qqqqqfqqqqqf 交易成本函数 面临制造商和与交易相关的零售商，通过下面的式子给出 .5.35.0)(,5.35.0)(,5.35.0)(,5.35.0)(222222222212212121122121212112111111qqqcqqqcqqqcqqqc 依次，零售商的 管理成本函数 通过下面的式子给出 .)(5.0)(,)(5.0)( 221 212221 111 i ii iqQcqQc 需求市场的 需求函数 是 .1 0 0 05.12)(,1 0 0 05.12)( 313232323131 dd 和在 需求市场的零售商和消费者之间的交易成本 通过下面的式子给出 .5)(,5)(,5)(,5)( 22222212211221211211 qQcqQcqQcqQc 对于例 1 和 2，参数 在修正投影法中被设定为 0.05。修正投影法收敛于 257 次迭代后和得出下面的均衡模式：在两个制造商和两个零售商之间的产品发货量是 608.16: 222112111 qqqqQ ，在两个零售商和两个需求市场的发货量（消耗量）是 608.16: 222112112 qqqqQ ，矢量 ，等于零售商索要的价格 2，由 617.25421 组成，和需求市场的需求 价格是224.2763231 。 1