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1 2 2单位圆与三角函数线 在用两个字母表示有向线段时 将字母写在前 字母写在后 不能将字母顺序颠倒 用有向线段表示三角函数值 有向线段的长度表示三角函数值的 其方向表示三角函数值的 起点 终点 绝对值 正负 2 用单位圆中的线段表示三角函数值如图所示 设角 的顶点在圆心o 始边与x轴的正半轴重合 终边与单位圆相交于点p 过点p作pm垂直x轴于m 则点m是点p在x轴上的 简称射影 由三角函数的定义可知 点p的坐标为 cos sin 即p cos sin 其中cos sin 也就是说 角 的余弦和正弦分别等于角 终边与单位圆交点的和 正射影 om mp 横坐标 纵坐标 重点 正确运用单位圆中的三角函数线表示任意角的三角函数值 难点 正确用单位圆中的三角函数线表示三角函数值及运用三角函数线求解简单三角不等式 1 教材比较重视单位圆中的三角函数线 与单位圆有关的三角函数线是对任意角三角函数定义的一种 形 上的补充 它作为三角函数的几何表示 使我们对三角函数的定义有了直观的理解 同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律 加深了形与数的结合 2 要清楚三角函数线的位置 正弦线为角 的终边与单位圆的交点到x轴的垂直有向线段 余弦线在x轴上 正切线在过单位圆与x轴正半轴交点的切线上 三条有向线段中有两条在单位圆内 一条在单位圆外 3 要抓准三角函数线的方向 正弦线由垂足指向 终边与单位圆交点 余弦线由原点指向垂足 正切线由切点指向切线与 终边 或终边的反向延长线 的交点 4 三角函数线的正负 即三条有向线段的正负 三条有向线段与x轴或与y轴同向则为正值 与x轴或与y轴反向则为负值 如果角 的终边在坐标轴上 就要注意考虑特殊情况 养成良好的思维习惯 正确处理特殊与一般的关系 例1 确定下式的符号 sin1 cos1 点评 熟练运用三角函数线可使问题几何化 更加直观 利用三角函数线比较三角函数值的大小 不仅要看其长度 还要看其方向 分析 解答本题的思维步骤 1 在直角坐标系中 利用单位圆 作出角 的正弦线和正切线 2 根据图形 利用相关三角形及扇形的面积 构造不等关系 3 利用三角函数的几何意义 即证得结论 点评 三角函数线的长度等于三角函数的绝对值 方向表示三角函数的正负 这为利用几何图形解决问题提供了方便 解析 如图 设 的终边与单位圆交于p点 作pm x轴 垂足为m 则sin mp cos om 在 omp中 om mp op cos sin 1 答案 b 解析 如下列各图所示 一 选择题1 已知mp om at分别是60 角的正弦线 余弦线和正切线 则一定有 a mp om atb om mp atc at om mpd om at mp 答案 b 解析 om mp at 答案 a 答案 d 二 填空题4 如图 已知角 的终边是op 角 的终边是oq 试在图中作出 的三角函数 然后用不等号填空
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