杭州下城培训机构新王牌教育1.1正弦定理和余弦定理习题.ppt

1 1正弦定理和余弦定理习题课 杭州下城培训机构新王牌教育 杭州下城新王牌培训机构 题型一正弦定理的应用 1 在 ABC中 a b B 45 求角A C和边c 2 在 ABC中 a 8 B 60 C 75 求边b和c 3 在 ABC中 a b c分别是 A B C的对边长 已知 且a2 c2 ac bc 求 A及的值 已知两边及一边对角或已知两角及一边 可利用正弦定理解这个三角形 但要注意解的个数的判断 题型分类深度剖析 杭州下城培训机构新王牌教育 解 a b A 60 或A 120 当A 60 时 C 180 45 60 75 当A 120 时 C 180 45 120 15 杭州下城培训机构新王牌教育 2 B 60 C 75 A 45 3 a b c成等比数列 b2 ac 又 a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 ABC中 由余弦定理得 杭州下城培训机构新王牌教育 1 已知两角一边可求第三角 解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可 2 已知两边和一边对角 解三角形时 利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角 这是解题的难点 应引起注意 杭州下城培训机构新王牌教育 题型二余弦定理的应用在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 且 1 求角B的大小 2 若b a c 4 求 ABC的面积 由利用余弦定理转化为边的关系求解 解 1 由余弦定理知 杭州下城培训机构新王牌教育 杭州下城培训机构新王牌教育 1 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键 2 熟练运用余弦定理及其推论 同时还要注意整体思想 方程思想在解题过程中的运用 杭州下城培训机构新王牌教育 知能迁移2已知 ABC中 三个内角A B C的对边分别为a b c 若 ABC的面积为S 且2S a b 2 c2 求tanC的值 解依题意得absinC a2 b2 c2 2ab 由余弦定理知 a2 b2 c2 2abcosC 所以 absinC 2ab 1 cosC 即sinC 2 2cosC 杭州下城培训机构新王牌教育 题型三三角形形状的判定在 ABC中 a b c分别表示三个内角A B C的对边 如果 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 判断三角形的形状 利用正弦定理 余弦定理进行边角互化 转化为边边关系或角角关系 解方法一已知等式可化为a2 sin A B sin A B b2 sin A B sin A B 2a2cosAsinB 2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为 sin2AcosAsinB sin2BcosBsinA 杭州下城培训机构新王牌教育 sinAsinB sinAcosA sinBcosB 0 sin2A sin2B 由0 2A 2B 2 得2A 2B或2A 2B 即A B或A B ABC为等腰或直角三角形 方法二同方法一可得2a2cosAsinB 2b2sinAcosB由正 余弦定理 可得 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 即 a2 b2 a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 ABC为等腰或直角三角形 杭州下城培训机构新王牌教育 判断三角形形状可通过边和角两种途径进行判断 应根据题目条件 选用合适的策略 1 若用边的关系 则有 若A为锐角 则b2 c2 a2 0 若A为直角 则b2 c2 a2 0 若A为钝角 则b2 c2 a2 0 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 杭州下城培训机构新王牌教育 知能迁移3在 ABC中 已知2sinAcosB sinC 那么 ABC一定是 A 直角三角形B 等腰三角形C 等腰直角三角形D 正三角形解析方法一因为在 ABC中 A B C 即C A B 所以sinC sin A B 由2sinAcosB sinC 得2sinAcosB sinAcosB cosAsinB 即sinAcosB cosAsinB 0 即sin A B 0 杭州下城培训机构新王牌教育 又因为 A B 所以A B 0 即A B 所以 ABC是等腰三角形 故选B 方法二利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB sinC可化为即a2 c2 b2 c2 即a2 b2 0 即a2 b2 故a b 所以 ABC是等腰三角形 答案B 杭州下城培训机构新王牌教育 题型四正 余弦定理的综合应用 12分 在 ABC中 a b c分别是A B C的对边 且满足 2a c cosB bcosC 1 求角B的大小 2 若b a c 4 求 ABC的面积 1 用正弦定理 将边用角代换后求解 2 用余弦定理 配方出现a b后代换 求出ac即可 解 1 在 ABC中 由正弦定理得 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 代入 2a c cosB bcosC 杭州下城培训机构新王牌教育 整理得2sinAcosB sinBcosC sinCcosB 4分即2sinAcosB sin B C sinA 在 ABC中 sinA 0 2cosB 1 B是三角形的内角 B 60 6分 2 在 ABC中 由余弦定理得b2 a2 c2 2ac cosB a c 2 2ac 2ac cosB 8分将b a c 4代入整理 得ac 3 10分 12分 杭州下城培训机构新王牌教育 在求角问题中 一般都是用正 余弦定理将边化为角 由三角函数值求角时 要注意角的范围 在应用余弦定理时 要注意配方这一小技巧 通过配方 使之出现 a b 2或 a b 2 将a b或a b作为一个整体 可以带来非常好的效果 杭州下城培训机构新王牌教育 知能迁移4 2008 辽宁理 17 在 ABC中 内角A B C对边的边长分别是a b c 已知c 2 1 若 ABC的面积等于 求a b的值 2 若sinC sin B A 2sin2A 求 ABC的面积 解 1 由余弦定理及已知条件 得a2 b2 ab 4 又因为 ABC的面积等于 所以absinC 所以ab 4 杭州下城培训机构新王牌教育 2 由题意得sin B A sin B A 4sinAcosA 即sinBcosA 2sinAcosA 当cosA 0时 得sinB 2sinA 由正弦定理得b 2a 杭州下城培训机构新王牌教育 方法与技巧1 正 余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点 利用三角形内角和 边 角之间的关系 三角函数的变形公式去判断三角形的形状 求解三角形 以及利用它们解决一些实际问题 2 应熟练掌握和运用内角和定理 A B C 中互补和互余的情况 结合诱导公式可以减少角的种数 思想方法感悟提高 杭州下城培训机构新王牌教育 3 正 余弦定理的公式应注意灵活运用 如由正 余弦定理结合得sin2A sin2B sin2C 2sinB sinC cosA 可以进行化简或证明 4 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径 1 化边为角 2 化角为边 并常用正弦 余弦 定理实施边 角转换 失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角 进而求出其他的边和角时 有时可能出现一解 两解 所以要进行分类讨论 杭州下城培训机构新王牌教育 11 在 ABC中 角A B C所对边长分别为a b c 设a b c满足条件b2 c2 bc a2和求角A和tanB的值 解由b2 c2 bc a2 得