广东省湛江一中高考数学“临门一脚”试卷 理（含解析）.doc

广东省湛江一中2015届高考 数学“临门一脚”试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设c表示复数集，a=xc|x2+1=0，则集合a的子集个数是( )a0b1c3d42已知双曲线的中心在平面直角坐标系的原点，实轴长为4，一个焦点是f（0，3），则双曲线的方程是( )a=1b=1c=1d=13已知实数x，y满足约束条件：，设z=y2x，则z( )a有最大值0b最大值2c最小值0d最小值64如图空间四边形abcd中，dab=60，=，且|=|=|=1，则|=( )a2b3c1d5某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为( )a11b12c13d146已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是( )abcd7已知棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab、ad的中点，点p，q分别在棱a1b1、a1d1上，且a1p=a1q=x（0x1），设平面mef平面mpq=l，则下列结论中错误的是( )al平面abcdblacc存在x0（0，1），使平面mef与平面mpq垂直d当x变化时，l是定直线8如图一个倒三角形数表：它的排列规则是：第i（i=2，101）行的第j（j=1，2，102i）个数aij=，现设a1j=xj1（j=1，2，101），其中x0，若a101.1=，则x=( )a1b1cd二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9不等式|x3|9|x|的解集是_10函数f（x）=lnx+ax有大于1的极值点，则a的取值范围是_11已知等比数列an为递增数列，a1=2，且2（an+an+2）=5an+1，则公比q=_12在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种（用数字作答）13如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度bc约等于_m（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题。）（坐标系与参数方程选做题）14曲线（为参数）与直线y=x+a有两个公共点，则实数a的取值范围是 _（几何证明选讲选做题）15（几何证明选讲选做题）如图，圆o中的半径为1，a、b、c是圆周上的三点，满足abc=30，过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p，则图pa=_三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且cos=（1）求cosb的值；（2）若b=2，求ac的最大值17a，b两名学生在5次英语口语测试中的成绩统计如茎叶图所示（十位作为茎）（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两位同学的平均分和方差分析，选派谁参加更合适？说明理由（2）若将频率视为概率，对（1）中选派的学生在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求2的概率18如图，在圆锥po中，已知po=，o的直径ab=2，ab上的点c平分该弧（1）证明：平面pod平面pac；（2）求二面角bpac的余弦值19在数列an中，已知an2，a1=2，an+1+an2=，nn*（1）求a2的值及数列an的通项公式；（2）设kn，k+k+1，求k的值20如图，已知定点a（1，0），点b是定直线l：x=1上的动点，boa的角平分线交ab于c（1）求点c的轨迹方程；（2）若e（2，0），f（2，0），g（1，），（1）中轨迹上是否存在一点q，直线eq，fq与y轴交点分别为m，n，使得mgn是直角？如果存在，求点q坐标；如果不存在，请说明理由21已知函数f（x）=（x2x+）eax（a0）（1）求曲线f（x）在点a（0，f（0）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）是否存在实数a（1，2），使f（x）当x（0，1）时恒成立？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由广东省湛江一中2015届高考数学“临门一脚”试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设c表示复数集，a=xc|x2+1=0，则集合a的子集个数是( )a0b1c3d4考点：子集与真子集 专题：集合分析：求出集合a，然后求解子集的个数即可解答：解：a=xc|x2+1=0=i，i，集合a的子集分别为：，i，i，i，i共4个故选：d点评：本题考查集合的子集个数问题，求出集合的所有元素是解题的关键2已知双曲线的中心在平面直角坐标系的原点，实轴长为4，一个焦点是f（0，3），则双曲线的方程是( )a=1b=1c=1d=1考点：双曲线的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题意，设双曲线方程为（a0，b0），由双曲线的实轴长为4，一个焦点是f（0，3），建立关于a、b、c的方程，解出a2、b2之值，即可得到该双曲线的方程解答：解：双曲线中心在原点，焦点在y轴上，设双曲线方程为（a0，b0），双曲线的实轴长为4，一个焦点是f（0，3），2a=4，c=3，可得a=2，c=3，由此可得b2=c2a2=5，双曲线的方程是，故选：d点评：本题给出双曲线的一个焦点和实轴长，求双曲线的标准方程，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识点，属于基础题3已知实数x，y满足约束条件：，设z=y2x，则z( )a有最大值0b最大值2c最小值0d最小值6考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论解答：解：由z=y2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点a时，直线y=2x+z的截距最大，此时z取得最值，无最小值由，解得，即a（1，2）代入z=y2x，得z=22=0，即z=y2x的最大值为0故选：a点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法4如图空间四边形abcd中，dab=60，=，且|=|=|=1，则|=( )a2b3c1d考点：平面向量数量积的运算；棱锥的结构特征 专题：平面向量及应用分析：通过向量的加法法则，利用向量的平方等于其模的平方计算即可解答：解：由题可知|=1，故选：c点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于基础题5某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为( )a11b12c13d14考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人从而得出从编号481720共240人中抽取的人数即可解答：解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人所以从编号1480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481720共240人中抽取=12人故：b点评：本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题6已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是( )abcd考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象解答：解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，|a|1，t2，而d不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2对于选项a，a1，t2，满足函数与图象的对应关系，故选d点评：由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键7已知棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab、ad的中点，点p，q分别在棱a1b1、a1d1上，且a1p=a1q=x（0x1），设平面mef平面mpq=l，则下列结论中错误的是( )al平面abcdblacc存在x0（0，1），使平面mef与平面mpq垂直d当x变化时，l是定直线考点：棱柱的结构特征 专题：空间位置关系与距离分析：画出直线l，然后判断选项即可根据空间线面关系的判定方法，逐一分析四个答案的真假，可得结论解答：解：如图作出过m的中截面，棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e，f，m分别是ab、ad、aa1的中点，又p、q分别在线段a1b1、a1d1上，且a1p=a1q=x，0x1，qpef，ef中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面mef面mpq=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l面abcd，故a结论正确；几何体是正方体，acef，由三垂线定理可知：lac，故b结论正确过acc1a1的平面如图，图中两条蓝色射线的夹角，即为平面mef与平面mpq所成二面角的平面角，则当q、p与d1，b1重合时，面mef与面mpq垂直，此时x0=1（0，1），故c结论错误；直线l与ef平行，是定直线故d结论正确故选：c点评：本题考查空间想象能力，直线与平面，直线与直线的位置关系，考查逻辑推理能力8如图一个倒三角形数表：它的排列规则是：第i（i=2，101）行的第j（j=1，2，102i）个数aij=，现设a1j=xj1（j=1，2，101），其中x0，若a101.1=，则x=( )a1b1cd考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：由已知中a1j=xj1（j=1，2，101），aij=，可得ai1=（）i1，再由x0，a101.1=，可得答案解答：解：a1j=xj1（j=1，2，101），a1.1=1，a1.2=x，a1.3=x2，a1.4=x3，a1.101=x100，a2.1=，a2.2=x，a2.3=x2，a2.4=x3，a2.100=x99，a3.1=（）2，a3.2=（）2x，a3.3=（）2x2，a3.4=（）2x3，a3.99=（）2x98，a4.1=（）3，a4.2=（）3x，a4.3=（）3x2，a4.4=（）3x3，a4.98=（）3x97，a99.1=（）98，a99.2=（）98x，a99.3=（）98x2，a100.1=（）99，a100.2=（）99x，a101.1=（）100，又由a101.1=，（）100=，解得：x+1=，即x=1，或x=1（舍去），故选：a点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9不等式|x3|9|x|的解集是考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：不等式即即|x3|+|x|9，再利用绝对值的意义，求得原不等式的解集解答：解：不等式|x3|9|x|，即|x3|+|x|9而|x3|+|x|表示数轴上的x对应点到3、0距离之和，而3和6对应点到3、0距离之和正好等于9，故原不等式的解集为，故答案为：点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题10函数f（x）=lnx+ax有大于1的极值点，则a的取值范围是（1，0）考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的概念及应用分析：先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于1的极值点，故导函数有大于1的根解答：解：y=lnx+ax，y=+a，由y=0，得x=，x1，即，解得1a0a的取值范围为（1，0）故答案为：（1，0）点评：本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，求解过程中要注意导数性质的合理运用属于基础题型11已知等比数列an为递增数列，a1=2，且2（an+an+2）=5an+1，则公比q=考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由数列an为等比数列，a1=2，且2（an+an+2）=5an+1，利用等比数列的通项公式可得：，解出q，再利用等比数列an为递增数列，即可得出解答：解：数列an为等比数列，a1=2，且2（an+an+2）=5an+1，化为2q25q+2=0，解得q=或2又等比数列an为递增数列，取q=故答案为：点评：本题考查了等比数列的通项公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题 专题：排列组合分析：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张解答：解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种故答案为：60点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题13如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度bc约等于60m（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用 专题：应用题；解三角形分析：过a点作ad垂直于cb的延长线，垂足为d，分别在rtacd、rtabd中利用三角函数的定义，算出cd、bd的长，从而可得bc，即为河流在b、c两地的宽度解答：解：过a点作ad垂直于cb的延长线，垂足为d，则rtacd中，c=30，ad=46m，ab=，根据正弦定理，得bc=60m故答案为：60m点评：本题给出实际应用问题，求河流在b、c两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题。）（坐标系与参数方程选做题）14曲线（为参数）与直线y=x+a有两个公共点，则实数a的取值范围是 （，0考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：先将曲线的参数方程化成直角坐标方程，注意x的范围，将与直线y=x+a有两个公共点转化成方程在上有两个不等的根即可解答：解：曲线的直角坐标方程为y=x2，（x）与直线y=x+a有两个公共点则x2xa=0在有两个公共点1+4a0且11a0即a（，0，故答案为（，0点评：本题主要考查了参数方程化成普通方程，以及直线与圆的位置关系，属于基础题（几何证明选讲选做题）15（几何证明选讲选做题）如图，圆o中的半径为1，a、b、c是圆周上的三点，满足abc=30，过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p，则图pa=考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：连接oa，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到aoc=60因为直线pa与圆o相切于点a，且oa是半径，得到pao是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题中数据可得pa=oatan60=解答：解：连接oa，圆o的圆周角abc对弧ac，且abc=30，圆心角aoc=60又直线pa与圆o相切于点a，且oa是半径，oapa，rtpao中，oa=1，aoc=60，pa=oatan60=故答案为：点评：本题给出圆周角的度数和圆的半径，求圆的切线长，着重考查了圆周角定理和圆的切线的性质，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且cos=（1）求cosb的值；（2）若b=2，求ac的最大值考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数 专题：解三角形分析：（1）已知等式左边利用内角和定理及诱导公式化简求出sin的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简，将sin的值代入计算即可求出值；（2）利用余弦定理列出关系式，把b，cosb的值代入并利用基本不等式即可求出ac的最大值解答：解：（1）在abc中，a+b+c=，cos=cos=sin=，cosb=12sin2=；（2）由余弦定理得：b2=a2+c22accosb，把b=2，cosb=代入得：8=a2+c2ac，由a2+c22ac，得到82acac=ac，即ac6，当且仅当a=c=时，ac的最大值为6点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17a，b两名学生在5次英语口语测试中的成绩统计如茎叶图所示（十位作为茎）（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两位同学的平均分和方差分析，选派谁参加更合适？说明理由（2）若将频率视为概率，对（1）中选派的学生在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求2的概率考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图 专题：概率与统计分析：（1）根据茎叶图的数据得出平均数，方差，利用方差越小越稳定，平均数越大，水平越高（2）判断选择a，可判断过80分的概率，利用独立重复试验求解即可解答：解：（1）=（75+85+87+90+93）=86=86s=s=，因=，ss，所以选派a去更合适（2）a高于8的频率是，从而每次成绩高于8的概率p=可取值0，1，2，3，由题知b（3，），p（=2）+p（=3）=（）2（）+（）3=，所以2的概率是点评：本题考查了统计知识与概率分布问题综合解决的问题，关键是判断出独立重复试验的类型即可，准确计算18如图，在圆锥po中，已知po=，o的直径ab=2，ab上的点c平分该弧（1）证明：平面pod平面pac；（2）求二面角bpac的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）连结od，易得acod，通过po底面o可得acpo，利用线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论；（2）在平面pod中，过o作ohpd于h，易知oh平面pac，进而可得paoh在平面pao中，过o作ogpa于g，连结hg，则ogh为二面角bpac的平面角在rtoda中计算可得od=，在rtpod中计算可得oh=，在rtpoa中计算可得og=，在rtohg中计算可得sinogh=，进而由cosogh=计算即得结论解答：解：（1）连结od，oa=oc，d是ac的中点，acod，又po底面o，ac底面o，acpo，od、po是平面pod内的两条相交直线，ac平面pod，又ac平面pac，平面pod平面pac；（2）在平面pod中，过o作ohpd于h，由（1）知，平面pod平面pac，oh平面pac，又pa面pac，paoh在平面pao中，过o作ogpa于g，连结hg，则有pa平面ogh，从而pahg，故ogh为二面角bpac的平面角在rtoda中，od=oasin45=1=，在rtpod中，oh=在rtpoa中，og=，在rtohg中，sinogh=，cosogh=，二面角bpac的余弦值为点评：本题考查面面垂直的判定，考查求二面角的余弦值，注意解题方法的积累，属于中档题19在数列an中，已知an2，a1=2，an+1+an2=，nn*（1）求a2的值及数列an的通项公式；（2）设kn，k+k+1，求k的值考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由于a1=2，an+1+an2=，nn*，an2可得，解得a2=+1同理可得a3=+1，猜想an=+1验证即可（2）由（1）可得：=设sn=+=+只要证明：nn*，2（）+2，即可得出k的值解答：解：（1）a1=2，an+1+an2=，nn*，an2，解得a2=+1同理可得a3=+1，猜想an=+1an+1+an2=，nn*=，化为2an+1n=0，解得+1，因此an=+1（2）由（1）可得：=设sn=+=+下面证明：nn*，2（）+2，分别取n=1，2，3，n，则12（10），2，利用“累加求和”可得：2（）+2取n=100，则s100=+=+2=20=19+1取k=19，212=4414101，则19因此满足k+k+1的正整数k=19点评：本题考查了求数列的通项公式的方法、“累加求和”方法、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20如图，已知定点a（1，0），点b是定直线l：x=1上的动点，boa的角平分线交ab于c（1）求点c的轨迹方程；（2）若e（2，0），f（2，0），g（1，），（1）中轨迹上是否存在一点q，直线eq，fq与y轴交点分别为m，n，使得mgn是直角？如果存在，求点q坐标；如果不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设b（1，b），求得直线oa和ob的方程，设c（x，y），则0x1，c到直线oa和ob的距离相等运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到轨迹方程；（2）设点q（x0，y0），求得直线eq，fq的方程，令x=0，求得m，n的坐标，假设mgn是直角，由垂直的条件：斜率之积为1，推理判断可得解答：解：（1）设b（1，b），直线oa和ob的方程分别为y=0与y=bx，直线ab的方程为：y=（x1）设c（x，y），则0x1，c到直线oa和ob的距离相等=|y|，又c在直线ab上，所以：y=（x1），即b=，代入得：y2=（y+）2，整理得：y2（y2x）=0，若y0，则y2=x（0x1）；若y=0，则b=0，aob=，点c为（0，0），满足上式，综上，点c的轨迹方程为：y2=x（0x1）；（2）设点q（x0，y0），则直线eq，fq的方程分别为：y=（x+2），y=（x2），令x=0得y=，y=，m（0，），n（0，），直线mg，ng的斜率分别为：k1=，k2=，若mgn是直角，则k1k2=（）（）=1，整理得4y02+4y0=5x02，y02=x0（0x01），1y01，4y02+4y0=（2y01）2+11，5x025=1，式无解，从而mgn不可能是直角，（1）中轨迹上不存在点q满足题设点评：本题考查轨迹方程的求法，考查抛物线的方程的运用，直线方程