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文档简介

向量在平面几何中解题的应用 一 向量有关知识复习 1 向量共线的充要条件 与共线 2 向量垂直的充要条件 3 两向量相等充要条件 且方向相同 4 平面向量基本定理 二 应用向量知识证明平面几何有关定理 例1 证明直径所对的圆周角是直角 分析 要证 ACB 90 只须证向量 即 即 ACB 90 思考 能否用向量坐标形式证明 二 应用向量知识证明平面几何有关定理 例2 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知 平行四边形ABCD 求证 解 设 则 分析 因为平行四边形对边平行且相等 故设其它线段对应向量用它们表示 三 应用向量知识证明三线共点 三点共线 例3 已知 如图AD BE CF是 ABC三条高求证 AD BE CF交于一点 H 由此可设 利用AD BC BE CA 对应向量垂直 解 设AD与BE交于H 即高CF与CH重合 CF过点H AD BE CF交于一点 三 应用向量知识证明三线共点 三点共线 例4 如图已知 ABC两边AB AC的中点分别为M N 在BN延长线上取点P 使NP BN 在CM延长线上取点Q 使MQ CM 求证 P A Q三点共线 解 设 则 由此可得 即故有 且它们有公共点A 所以P A Q三点共线 四 应用向量知识证明等式 求值 例5 如图ABCD是正方形M是BC的中点 将正方形折起 使点A与M重合 设折痕为EF 若正方形面积为64 求 AEM的面积 分析 如图建立坐标系 设E e 0 M 8 4 N是AM的中点 故N 4 2 4 2 e 0 4 e 2 解得 e 5 故 AEM的面积为10 四 应用向量知识证明等式 求值 例5 如图ABCD是正方形M是BC的中点 将正方形折起 使点A与M重合 设折痕为EF 若正方形面积为64 求 AEM的面积 解 如图建立坐标系 设E e 0 由正方形面积为64 可得边长为8由题意可得M 8 4 N是AM的中点 故N 4 2 4 2 e 0 4 e 2 解得 e 5即AE 5 四 应用向量知识证明等式 求值 练习 PQ过 OAB的重心G 且OP mOA OQ nOB求证 分析 由题意OP mOA OQ nOB 联想线段的定比分点 利用向量坐标知识进行求解 由PO mOA QO nOB可知 O分的比为 O分的比为 由此可设由向量定比分点公式 可求P Q的坐标 而G为重心 其坐标也可求出 进而由向量 得到mn的关系 m n 四 应用向量知识证明等式 求值 练习 PQ过 OAB的重心G 且OP mOA OQ nOB求证 证 如图建立坐标系 设 所以重心G的坐
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