安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第19讲数列求和教案.docx

数列求和教学目标1探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；2能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。命题走向数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。有关命题趋势：1数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；2数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等；4有关数列的应用问题也一直备受关注。预测2017年高考对本将的考察为：1可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。教学准备多媒体课件教学过程1等差数列的前n项和公式Snna1d2等比数列的前n项和公式Sn3一些常见数列的前n项和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)24682nn2n1辨明两个易误点(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解2数列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(4)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减(5)并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解1数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17()A9B8C17 D16解析：选A.S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.2(必修5 P47习题2.3 B组T4改编)数列an中，an，若an的前n项和为，则项数n为()A2 014 B2 015C2 016 D2 017解析：选B.an，Sn11，所以n2 015.3等差数列an的通项公式为an2n1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为()A120 B100C75 D70解析：选C.因为Snn(n2)，所以n2.故75.4若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为_解析：Sn2n12n2.答案：2n1n225已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_解析：Sn12222323n2n，所以2Sn122223324n2n1，得Sn222232nn2n1n2n1，所以Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12考点一分组转化法求和(2015高考福建卷)等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和； (2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和1.已知等比数列an中，首项a13，公比q1，且3(an2an)10an10(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列bn的通项公式和前n项和Sn.解：(1)因为3(an2an)10an10，所以3(anq2an)10anq0，即3q210q30.因为公比q1，所以q3.又首项a13，所以数列an的通项公式为an3n.(2)因为是首项为1，公差为2的等差数列，所以bnan12(n1)即数列bn的通项公式为bn2n13n1，前n项和Sn(13323n1)(3n1)n2.考点二错位相减法求和(2015高考湖北卷)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.(1)由题意有 即解得 或 故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.用错位相减法求和时应注意的两点(1)要善于识别题目类型， 特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式. 2.已知函数f(x)x2bx为偶函数，数列an满足an12f(an1)1，且a13，an1.令bnlog2(an1)(1)证明：数列bn1为等比数列；(2)设cnnbn，求数列cn的前n项和Sn.解：(1)证明：因为函数f(x)x2bx为偶函数，所以b0，所以f(x)x2，所以an12(an1)21，所以an112(an1)2，所以2，所以数列bn1是公比为2的等比数列(2)因为a13，所以b1log221，所以bn12n，即bn2n1，所以cnn2nn，设An12222323n2n，所以2An122223324n2n1，所以An222232nn2n1n2n12n1n2n12，所以An(n1)2n12.设Bn1234n，所以SnAnBn(n1)2n12.考点三裂项相消法求和(高频考点)裂项相消法求和是每年高考的热点，题型多为解答题，难度适中，属中档题高考对裂项相消法的考查常有以下两个命题角度：(1)求前n项和；(2)比较大小或不等式证明(2015高考安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.(1)由题设知a1a4a2a38，又a1a49，可解得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn，所以Tnb1b2bn1.利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.3.(2016长春质量监测)等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1a79，S9.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn.解：(1)设数列an的公差为d，则由已知条件可得：解得于是可求得an.(2)证明：由(1)知，Sn，故bn，故Tn，又因为.规范解答数列求和(本题满分12分)(2015高考山东卷)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.(1)(2)(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13.(1分)当n2时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(4分)(2)因为anbnlog3an，所以b1.当n2时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；(6分)当n2时，Tnb1b2b3bn，所以3Tn1，(8分)两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，(10分)所以Tn.(11分)经检验，n1时也适合综上可得Tn.(12分)利用Sn求an时不要忽视n1的情况；根据已知条件合理选择数列的求和方法，错位相减时不要漏项或算错项数板书设计数列求和1等差数列的前n项和公式Snna1d2等比数列的前n项和公式Sn3一些常见数列的前n项和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)24682nn2n4数列求和的常用方法(1)倒序相加法 (2)错位相减法(3)裂项