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课题 抛物线及其标准方程 2020年2月13日星期四 修远中学梁成阳 请同学们思考两个问题 1 我们对抛物线已有了哪些认识 2 二次函数的图像抛物线的开口方向是什么 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点不在定直线上 定点f叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 一 定义 二 标准方程 如何建立直角坐标系 想一想 二 标准方程 k 设 kf p 设点m的坐标为 x y 由定义可知 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 则焦点f 0 准线方程l x 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 y2 2px p 0 表示抛物线的焦点在x轴的正半轴上 抛物线方程 左右型 标准方程为y2 2px p 0 开口向右 y2 2px x 0 开口向左 y2 2px x 0 标准方程为x2 2py p 0 开口向上 x2 2py y 0 开口向下 x2 2py y 0 抛物线的标准方程 上下型 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图形 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的正半轴上 x轴的负半轴上 y轴的正半轴上 y轴的负半轴上 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py f 第一 一次项的变量如为x 或y 则焦点就在x轴 或y轴 上 抛物线的特征 如何判断抛物线的焦点位置 开口方向 第二 一次项的系数的正负决定了开口方向 即 焦点与一次项变量相同 正负决定开口方向 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的方程是y 6x2 求它的焦点坐标和准线方程 3 已知抛物线的焦点坐标是f 0 2 求它的标准方程 解 方程可化为 故焦点坐标为 准线方程为 例题讲解 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 y 2x2 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 练习 注意 求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式 2 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是f 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 解 y2 12x 解 y2 x 解 y2 4x或y2 4x或x2 4y或x2 4y 练习 例2 求过点a 3 2 的抛物线的标准方程 解 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时 把a 3 2 代入x2 2py 得p 当焦点在x轴的负半轴上时 把a 3 2 代入y2 2px 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 例3 已知抛物线方程为x ay2 a 0 讨论抛物线的开口方向 焦点坐标和
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