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1 椭圆的定义平面内与两个定点f1 f2距离的和等于常数2a 2a f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 ellipse 这两个定点f1 f2叫做椭圆的焦点 两焦点的距离 f1f2 叫做椭圆的焦距 a a b b a a b b 坐标轴 原点 中心 顶点 答案 c 答案 d 答案 b 5 若一个动点p x y 到两个定点a 1 0 a 1 0 的距离和为定值m 试求点p的轨迹方程 解 pa pa m aa 2 pa pa aa m 2 1 当m 2时 p点的轨迹就是线段aa 其方程为y 0 1 x 1 2 当m 2时 由椭圆的定义知 点p的轨迹是以a a 为焦点的椭圆 2c 2 2a m 思路分析 本题中 pf1f2是一个面积等于9的直角三角形 分析这个三角形的特点解决 答案 3 思路分析 利用待定系数法求椭圆方程 运用待定系数法求椭圆标准方程 即设法建立关于a b的方程组 先定型 再定量 若位置不确定时 考虑是否两解 有时为了解题需要 椭圆方程可设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 由题目所给条件求出m n即可 思路分析 关键是找到a c所满足的方程 根据点m在椭圆上解决 本题考查椭圆 两直线的位置关系等基础知识 同时考查考生运算求解能力和方程思想的运用 试题设计的思路非常明确 就是求出两条直线的交点坐标后 根据中点坐标公式求出点m的坐标 代入椭圆方程得到一个关于a c的齐次方程 从而转化为关于离心率的方程解决 思路分析 1 可根据椭圆定义来求椭圆方程 2 解法一 设斜率为k 表示出直线方程 然后与椭圆方程联立 利用根与系数的关系及中点坐标公式求解 解法二 设出a b两点坐标 代入椭圆方程 作差变形 利用中点坐标公式及斜率求解 即点差法 2 设点a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 已知圆的方程为 x 2 2 y 1 2 5 所以圆心m的坐标为 2 1 从而可设直线l的方程为 y k x 2 1 代入椭圆c的方程得 4 9k2 x2 36k2 18k x 36k2 36k 27 0 因为a b关于点m对称 即8x 9y 25 0 经检验 所求直线方程符合题意 1 求椭圆标准方程的常用方法及注意问题 1 求椭圆标准方程除了直接用定义外 常用待定系数法 2 确定椭圆标准方程包括 定位 和 定量 两个方面 定位 是指确定椭圆与坐标系的相对位置 在中心为原点的前提下 确定焦点位于哪条坐标轴上 以判断方程的形式 定量 是指确定a2 b2的具体数值 常用待定系数法 求动点的轨迹方程时 应首先挖掘图形的几何性质 看能否确定轨迹的类型 而不要起步就代入坐标 以免陷入繁琐的化简运算中 2 椭圆的几何性质 3 椭圆上任意一点p x y y 0 与两焦点f1 c 0 f2 c 0 构成的 pf1f2
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