普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（山东卷解析版）.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（山东卷，解析版）第1卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 已知全集，集合 ，则（） )（c） (d) (2) 已知，其中为虚数单位，则 (a)-1 (b)1 (c)2 (d)3【答案】b 【命题意图】本题考查了复数的运算以及复数相等的意义，考查了同学们的计算能力。【解析】由得,所以由复数相等的意义知:,所以1,故选b. (3) 的值域为 （a） （b） （c） （d）【答案】a【命题意图】本题考查了对数函数值域的求法。【解析】因为，所以，故选a。（4）在空间，下列命题正确的是 （a）平行直线的平行投影重合 (b)平行于同一直线的两个平面 （c）垂直于同一平面的两个平面平行 （d）垂直于同一平面的两个平面平行【答案】d【命题意图】本题考查了平行投影以及线面垂直与平行的有关性质，属基础题。【解析】两平行直线的投影不一定重合，故a错，由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知b、c显然是错误的，故选d。（5）设为定义在上的函数。当时，则 (a) -3 (b) -1 (c) 1 (d) 3(6 )在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为(a) 92，2 (b) 92 ，2.8（c) 93，2 （d）93，2.8【答案】b【命题意图】本题考查了样本的平均数与方差知识，考查了同学们的计算能力。【解析】去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5位数分别为90、90、93、94、93所以，故选b。（7）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件（c）充分而不必要条件 （d）既不充分也不必要条件【答案】c 【命题意图】本题是在等比数列与充要条件的交汇处命题，考查了同学们综合解决问题的能力。【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得且，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。（8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（a）13万件 （b）11万件 （c）9万件 （d）7万件（9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（a） （b）（c） （d）（10）观察，,，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记的导函数，则（a） （b） （c） （d）【答案】d【命题意图】本题考查了函数的求导与归纳推理，考查了同学们观察、归纳推理的能力。【解析】由观察可知，偶函数的导函数都是奇函数，所以有，故选d。 (11)函数的图像大致是(12)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令.下面说法错误的是（a）若共线，则（b）（c）对任意的（d） 【答案】b 【命题意图】本题是一个信息题，考查了同学们对信息的理解能力以及利用信息分析解决向量问题的能力。【解析】若与共线，则有，故a正确；因为，而 第卷（共90分）二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分（13）执行右图所示流程框图，若输入，则输出的值为_.【答案】【命题意图】本题考查了循环结构的程序框图，考查了同学们的识图与分类讨论的能力。【解析】 当x=4时，y=1， ，此时x=1；当x=1时，y= ，此时x=；当x=时，y=，；故此时输出y= (14) 已知，且满足，则的最大值 为_.【答案】3【命题意图】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力。【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为3。（15） 在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为_. 已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆的标准方程为_【答案】【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。【解析】：设圆心为，则圆心到直线的距离为因为圆截直线所得的弦长，根据半弦、半径、弦心距之间的关系有，即，所以或（舍去），半径r=3-1=2所以圆c 的标准方程为三、解答题：本题共6小题，共74分 。（17）（本小题满分12分） 已知函数的最小正周期为.（）求的值. （）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值。【答案】本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力。 所以。 当时， 所以因此 ，故 在区间内的最小值为1.【命题意图】：本题考查了三角函数的恒等变换、诱导公式、三角函数图象的平移变换以及三角函数在闭区间上的最值问题，考查了同学们综合运用三角函数知识的解题能力。点评：三角函数的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性，它和代数、几何有着密切的联系，是研究其它部分知识的工具，在实际问题中也有着广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能考查的重要内容之一。有关三角函数的试题，其解题特点往往是先通过三角公式进行三角恒等变形，再利用三角函数的图象和性质解题，是高考的热点。（18）（本小题满分12分） 已知等差数列满足：.的前 项和为。（）求及；（）令，求数列的前项和.【答案】本小题主要考察等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。解：（）设等差数列的首项为，公差为，由于，所以，解得 ，由于,所以,（）因为， 所以，【命题意图】：本题考查了等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，考查了同学们灵活运用所学知识解决问题的能力。点评： 求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后在微观上要明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性。数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳、猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出。而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视，因此，在平时要加强对能力的培养（19）（本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为，（）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于的概率；（）先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率。【答案】（19）本小题主要考察古典概念、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的能力。满分12分。解：（i）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个。从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个。因此所求事件的概率为。（ii）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一（20）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，,分别为、的中点，且.() 求证：平面;()求三棱锥.【答案】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力。满分12分。（i）证明：由已知 所以 又 ，所以 因为 四边形为正方形，所以 , 又 ， 因此 - 在中，因为分别为的中点，所以 因此 又 ，所以 .【命题意图】：本题考查了空间几何体的线面与面面垂直的性质与判定以及几何体的体积计算等问题，考查了同学们的识图能力以及空间想象能力以及计算能力。【点评】空间几何问题通常包括点、线、面的位置关系的判断与证明以及点、线、面之间的角度或长度求解、体积计算等问题，一般可以通过辅助线的构造，结合点、线、面的相应概念、性质、定理判断与求解。（21）（本小题满分12分） 已知函数()当()当时，讨论的单调性.【答案】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。满分12分。 解：（） 当 所以 因此， 即 曲线 又 即 解得 当时， 恒成立，此时，函数f在上单调递减; 当时，时，,此时,函数单调递减时，,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减【命题探究】本题考查了导数的运算、导数的几何意义、直线方程的求解以及利用导数讨论函数的单调性，考查了学生利用导数知识解决函数问题的能力以及分类讨论与等价转化的数学思想。点评： 利用导数的工具研究函数的性质，不仅体现教材改革的一种理念，也是初等数学和高等数学一个很好的衔接点，该题解法中应用到函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与化归的思想都是考试说明要求较高的思想方法，达到了知识内容考查和思想方法考查相结合的目的。（22）（本小题满分14分）如图，已知椭圆过点（1，），离心率为 ，左右焦点分别为.点为直线：上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和为坐标原点.（） 求椭圆的标准方程；（）设直线、斜率分别为. 证明：（)问直线上是否存在一点，使直线的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由. 所以因此结论成立-（）解：设，. 联立直线与椭圆的方程得 化简得 因此 由于 的斜率存在， 所以 ，因此 因此若，须有=0或=1.当=0时，结合（）的结论，可得=2，所以解得点p的坐标为（0，2）；当=1时，结合（）的结论，可得=3或=1（此时=1，不满足，舍去），此时直线cd的方程为，联立方程得，因此 .综上所述，满足条件的点p的坐标分别为，（，）。【命题意图】：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率等知识，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力以及数形结合、分类讨论数学思想，。其中问题（）是一个开放性的探索问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。 【点评】解决此类问题时既要利用圆锥曲线的概念、性质，又要结合图形，利用平面几何的性质。对于直线与圆锥曲线的相交问题，一般考虑把直线方程与圆锥曲线方程联立组成方程组，通过消去一个未知数，得到一元二次方程，利用韦达定理、纵坐标的关系式、并结合中点坐标公式、斜率公式、弦长公式以及已知条件等解决问题。由于开放性问题它能有效地考查学生的思维品质和创造性地分析问题、解决问题的能力，所以越来越受到命题人员的青睐，成为高考中的热点问题（17）本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力。满分12分。解： （）因为， 所以 由于0，依题意得 所以 （）由（）知， 所以。 当时，（）因为， 所以， 因此 故 = (1- + - +-) =(1-) =所以数列的前项和= 。（19）本小题主要考察古典概念、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的能力。满分12分。解：（i）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个。从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个。因此所求事件的概率为。（ii）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一所以 因为 四边形为正方形，所以 , 又 ， 因此 - 在中，因为分别为的中点，所以 因此 又 ，所以 .（ ）解：因为,四边形为正方形，不妨设， 则 ， 所以 由于的距离，且 所以即为点到平面的距离，三棱锥 所以 （21）本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。满分12分。 解：（） 当 所以 因此， 即 曲线 又 所以曲线 （）因为 ， 所以 ， 令 （1） 当时，所以 当时，此时，函数单调递减；当函数（2） 当时，由，即 解得 当时，函数在（0,1）上单调递减;函数在 (1,+) 上单调递增当时,函数在(0,+)上单调递减当时，函数在（0,1）上单调递减；函数在上单调递增； 函数在（,+）上单调递减。(22)本小题主要考